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2019届二轮复习分类与整合思想、转化与化归思想学案（全国通用）
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分类与整合思想、转化与化归思想
一、概念、定理分类整合
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.
1.若一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为____________.
答案 x＋y－7＝0或2x－5y＝0
解析 设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，将点(5,2)代入，求得a＝7，则直线方程为x＋y－7＝0.
2. 已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为________.
答案 32
解析 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.
因为Sn＝2an－2，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，
两式相减得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
则数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，
则S5－S4＝a5＝25＝32.
3.已知集合A＝，B＝{x|mx－1＝0，m∈R}，若A∩B＝B，则所有符合条件的实数m组成的集合是________.
答案 {0，－1,2}
解析 因为A∩B＝B，所以B⊆A.若B为∅，则m＝0；
若B≠∅，则－m－1＝0或m－1＝0，解得m＝－1或2.综上，m∈{0，－1,2}.
4.设函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能取值的集合是________.
答案
解析 f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.
由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.
当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1.
当－1
所以a2＝2k＋(k∈Z)，k只能取0，此时a2＝.
因为－1
二、图形位置、形状分类整合
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.
5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________.
答案 4或
解析 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×××4＝4；
当长、宽分别为4和6时，体积V＝×××6＝.
6.已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝________.
答案 0或－
解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足.
结合图形可知斜率k的值为0或－.
7.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足PF1∶F1F2∶PF2＝4∶3∶2，则曲线C的离心率为________.
答案 或
解析 不妨设PF1＝4t，F1F2＝3t，PF2＝2t，其中t>0.
若该曲线为椭圆，则有PF1＋PF2＝6t＝2a，
F1F2＝3t＝2c，e＝＝＝＝；
若该曲线为双曲线，则有PF1－PF2＝2t＝2a，
F1F2＝3t＝2c，e＝＝＝＝.
8.抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________.
答案 4
解析 当PO＝PF时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当OP＝OF时，点P的位置也有两个；对FO＝FP的情形，点P不存在.事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则FO＝p，FP＝，
若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，
又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，
当x＝0时，不构成三角形.当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P有4个.
三、含参问题分类整合
某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.
9.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率是________.
答案 或
解析 因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4，
当m＝4时，圆锥曲线＋x2＝1是椭圆，其离心率e＝＝；
当m＝－4时，圆锥曲线x2－＝1是双曲线，其离心率e＝＝＝.
综上知，e＝或e＝.
10.若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为________.
答案 [－1，＋∞)
解析 当a＝0时，f(x)＝4x－3在[0,2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.
当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋4x－3＝a2－3－，其对称轴为x＝－.
当a>0时，f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.
当a<0时，只有当－≥2，即－1≤a<0时，f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.
综上，当a≥－1时，函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2).
11.设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)<0和g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为________.
答案 (7，＋∞)
解析 由f(x)＝x2－ax＋a＋3知，f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)<0，所以Δ＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax－2a的图象恒过点(2,0)，故当a>6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a<－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示.
由函数的图象知，当a>6时，若g(x0)<0，则x0<2，
∴要使f(x0)<0，则需
解得a>7.
当a<－2时，若g(x0)<0，则x0>2，此时函数f(x)＝x2－ax＋a＋3的图象的对称轴x＝<－1，
故函数f(x)在区间上为增函数，
又f(1)＝4，∴f(x0)<0不成立.
综上，实数a的取值范围为(7，＋∞).
12.已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1(n∈N*)，若不等式≤对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为________.
答案 －21
解析 因为S2n－1＝＝(2n－1)an，所以a＝(2n－1)an，又an≠0，所以an＝2n－1，
则an＋1＝2n＋1，
故不等式可化为λ≤对任意n∈N*恒成立，
当n＝2k，k＝1,2,3，…时，
λ≤＝4k＋＋17对任意k∈N*恒成立，又4k＋＋17≥25(当且仅当k＝1时，等号成立)，所以λ≤25，
当n＝2k－1，k＝1,2,3，…时，
λ≤对任意k∈N*恒成立，
又＝2(2k－1)－－15≥－21，
当且仅当k＝1时，等号成立，所以λ≤－21.
综上λ≤－21.
一、特殊与一般的转化
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.
1.已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0”“＝”“<”)
答案 <
解析 由题设可令a＝2，m＝0，n＝1，得f(x)＝2x2＋4x＋4，则f(0)＝4，f(1)＝10，所以f(m)
答案 4a
解析 抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝y(a>0)，焦点F.
过焦点F作直线垂直于y轴，
则PF＝QF＝，∴＋＝4a.
3.△ABC的外接圆圆心为O，两条边上的高的交点为H，＝m(＋＋)，则实数m＝________.
答案 1
解析 既然三角形为任意的，设△ABC为直角三角形，∠C＝90°.
所以O为AB中点，H与C重合，所以＝.
因为＝m(＋＋)，所以＝m(＋＋)，即＝m，解得m＝1.
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________.
答案
解析 令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，且cos A＝cos C＝，代入所求式子，得＝＝.
二、命题的等价转化
将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.
5.由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是________.
答案 1
解析 命题“∃x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“∀x∈R，e|x－1|－m>0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.
6.如图所示，已知三棱锥P－ABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥P－ABC的体积为________.
答案 160
解析 因为三棱锥P－ABC的三组对棱两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，
把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG－FPDC，
可知三棱锥P－ABC的各棱分别是此长方体的面对角线.
不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，
则由已知，可得解得
从而知VP－ABC＝VAEBG－FPDC－VP－AEB－VC－ABG－VB－PDC－VA－FPC＝VAEBG－FPDC－4VP－AEB＝6×8×10－4××6×8×10＝160.
7.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________________.
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则当x＝1时，f(p)＝0，所以x≠1.
f(p)在[0,4]上恒为正等价于
即解得x>3或x<－1.
8.如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝1，那么的取值范围是________.
答案
解析 设k＝，则y表示点P(1，－3)和圆(x－2)2＋y2＝1上的点的连线的斜率(如图).从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最值，此时对应的直线斜率分别为kPB和kPA，其中kPB不存在.由圆心C(2,0)到直线y＝kx－(k＋3)的距离＝r＝1，解得k＝，所以的取值范围是.
三、 函数、方程、不等式之间的转化
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作.
9.已知函数f(x)＝lg，若对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________.
答案 (2，＋∞)
解析 根据题意，得x＋－2>1在上恒成立，即a>－x2＋3x在[2，＋∞)上恒成立，
又当x＝2时，(－x2＋3x)max＝2, 所以a>2.
10.(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________.
答案 [－5，1]
解析 方法一 因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，
所以设P点坐标为(x，±)(－5≤x≤5).
因为A(－12,0)，B(0,6)，
所以＝(－12－x，－)或＝(－12－x，)，
＝(－x,6－)或＝(－x,6＋).因为·≤20，先取P(x，)进行计算，
所以(－12－x)·(－x)＋(－)(6－)≤20，即2x＋5≤.
当2x＋5<0，即x<－时，上式恒成立.
当2x＋5≥0，即x≥－时，(2x＋5)2≤50－x2，
解得－≤x≤1，故x≤1.
同理可得当P(x，－)时，x≤－5.
又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.
故点P的横坐标的取值范围为[－5，1].
方法二 设P(x，y)，
则＝(－12－x，－y)，＝(－x,6－y).
∵·≤20，
∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，
即2x－y＋5≤0.
如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，
∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，
∴点P在上.
由得F点的横坐标为1，
又D点的横坐标为－5，
∴P点的横坐标的取值范围为[－5，1].
11.已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数.对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________.
答案
解析 由题意知，g(x)＝3x2－ax＋3a－5，
令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5(－1≤a≤1).
对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，
∴解得－
12.已知函数f(x)＝ln x.若不等式mf(x)≥a＋x对所有m∈[0,1]，x∈都成立，则实数a的取值范围为________.
答案 (－∞，－e2]
解析 由题意得，a≤mln x－x对所有的m∈[0,1]，
x∈都成立，
令H(m)＝ln x·m－x，m∈[0,1]，x∈是关于m的一次函数，
因为x∈，所以－1≤ln x≤2，
所以所以所以
令g(x)＝ln x－x，
所以g′(x)＝，
所以函数g(x)在上是增函数，在上是减函数，又g＝－1－，g(e2)＝2－e2，所以g(e2)
所以a≤2－e2.综上知a≤－e2.
1.若数列{an}满足an＝3an－1＋2(n≥2，n∈N*)，a1＝1，则数列{an}的通项公式an＝________________.
答案 2×3n－1－1
解析 设an＋λ＝3(an－1＋λ)，化简得an＝3an－1＋2λ，
∵an＝3an－1＋2，∴λ＝1，
∴an＋1＝3(an－1＋1).
∵a1＝1，∴a1＋1＝2，
∴数列{an＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴an＋1＝2×3n－1，
∴an＝2×3n－1－1.
2.设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是________.
答案
解析 令f(a)＝t，则f(t)＝2t，
当t<1时，3t－1＝2t，
令g(t)＝3t－1－2t，得g′(t)>0，
∴g(t)
当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1；
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥.
3.在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________.
答案 或6
解析 当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，S3＝3a1＝，显然成立.
当q≠1时，由a3＝，S3＝，
得
由①②，得＝3，即2q2－q－1＝0，
所以q＝－或q＝1(舍去).当q＝－时，a1＝＝6.
综上可知，a1＝或a1＝6.
4.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
答案 －
解析 当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得无解.当0
答案 (x－3)2＋(y－1)2＝10
解析 设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(a＞0，b＞0，r＞0)，由题意知，
解得
故⊙M的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
6.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2n＝n－an，a2n＋1＝an＋1，则S100＝________.(用数字作答)
答案 1 306
解析 由题设可得a2n＋a2n＋1＝n＋1，取n＝1,2,3，…，49，可得a2＋a3＝2，a4＋a5＝3，a6＋a7＝4，…，a98＋a99＝50，将以上49个等式两边分别相加，可得a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋…＋a98＋a99＝×49＝1 274.
又a3＝a1＋1＝2，a6＝3－a3＝1，a12＝6－a6＝5，a25＝a12＋1＝6，a50＝25－a25＝19，a100＝50－a50＝31，所以S100＝1＋1 274＋31＝1 306.
7. 设点P(x，y)满足约束条件则－的取值范围是________.
答案
解析 作出不等式组
所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A(2,1)，B(1,2)，令t＝，f(t)＝t－，根据t的几何意义可知，t为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连结OA，OB，显然OA的斜率最小，OB的斜率2最大，即≤t≤2.由于函数f(t)＝t－在上单调递增，故－≤f(t)≤，即－的取值范围是.
8.已知函数f(x)＝若f(x)－f(－x)＝0有四个不同的根，则m的取值范围是________.
答案
解析 若m≤0，那么f(x)－f(－x)＝0只可能有2个根，所以m＞0，
若f(x)＝f(－x)有四个实根，根据对称性可知当x＞0时，
ln x＝－有两个实根，即－m＝xln x有两个实根，设y＝xln x，则y′＝ln x＋1，
令ln x＋1＝0，解得x＝，当x∈时， y′<0，函数单调递减，当x＞时，y′>0，函数单调递增，所以当x＝时，y＝xln x有最小值－，
即－<－m<0，
即0
答案 [－，－1)∪(1，]
解析 因为f(－x)＝－x(e－x－ex)－cos(－x)＝x(ex－e－x)－cos x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，令g(x)＝x，易知g(x)在[0,3]上为增函数，令h(x)＝－cos x，易知h(x)在[0,3]上为增函数，故函数f(x)＝x(ex－e－x)－cos x在[0,3]上为增函数，所以f(x2＋1)>f(－2)可变形为f(x2＋1)>f(2)，所以2f(－2)的解集为[－，－1)∪(1，].
10.设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1>PF2，则的值为________.
答案 或2
解析 若∠PF2F1＝90°，
则PF＝PF＋F1F，
又PF1＋PF2＝6，F1F2＝2，
所以PF1＝，PF2＝，所以＝.
若∠F1PF2＝90°，则F1F＝PF＋PF，
所以PF＋(6－PF1)2＝20，且PF1>PF2，
所以PF1＝4，PF2＝2，所以＝2.
综上知，＝或2.
11.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，则椭圆C离心率的取值范围是______________.
答案
解析 当点P在短轴端点时，∠F1PF2达到最大值，
即∠F1BF2≥120°时，椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，
当∠F1BF2＝120°时，e＝＝sin 60°＝，
而椭圆越扁，∠F1BF2才可能越大，
椭圆越扁，则其离心率越接近1，
所以椭圆C离心率的取值范围是.
12.函数f(x)＝若方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________.
答案
解析 在平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象，如图.
而函数y＝mx－恒过定点，
设过点与函数y＝ln x的图象相切的直线为l1，切点坐标为(x0，ln x0).因为y＝ln x的导函数y′＝，所以图中y＝ln x的切线l1的斜率为k＝，则＝，解得x0＝，所以k＝.又图中l2的斜率为，故当方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根时，实数m的取值范围是.
一、概念、定理分类整合
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.
1.若一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为____________.
答案 x＋y－7＝0或2x－5y＝0
解析 设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，将点(5,2)代入，求得a＝7，则直线方程为x＋y－7＝0.
2. 已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为________.
答案 32
解析 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.
因为Sn＝2an－2，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，
两式相减得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
则数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，
则S5－S4＝a5＝25＝32.
3.已知集合A＝，B＝{x|mx－1＝0，m∈R}，若A∩B＝B，则所有符合条件的实数m组成的集合是________.
答案 {0，－1,2}
解析 因为A∩B＝B，所以B⊆A.若B为∅，则m＝0；
若B≠∅，则－m－1＝0或m－1＝0，解得m＝－1或2.综上，m∈{0，－1,2}.
4.设函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能取值的集合是________.
答案
解析 f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.
由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.
当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1.
当－1
所以a2＝2k＋(k∈Z)，k只能取0，此时a2＝.
因为－1
二、图形位置、形状分类整合
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.
5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________.
答案 4或
解析 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×××4＝4；
当长、宽分别为4和6时，体积V＝×××6＝.
6.已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝________.
答案 0或－
解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足.
结合图形可知斜率k的值为0或－.
7.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足PF1∶F1F2∶PF2＝4∶3∶2，则曲线C的离心率为________.
答案 或
解析 不妨设PF1＝4t，F1F2＝3t，PF2＝2t，其中t>0.
若该曲线为椭圆，则有PF1＋PF2＝6t＝2a，
F1F2＝3t＝2c，e＝＝＝＝；
若该曲线为双曲线，则有PF1－PF2＝2t＝2a，
F1F2＝3t＝2c，e＝＝＝＝.
8.抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________.
答案 4
解析 当PO＝PF时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当OP＝OF时，点P的位置也有两个；对FO＝FP的情形，点P不存在.事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则FO＝p，FP＝，
若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，
又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，
当x＝0时，不构成三角形.当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P有4个.
三、含参问题分类整合
某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.
9.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率是________.
答案 或
解析 因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4，
当m＝4时，圆锥曲线＋x2＝1是椭圆，其离心率e＝＝；
当m＝－4时，圆锥曲线x2－＝1是双曲线，其离心率e＝＝＝.
综上知，e＝或e＝.
10.若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为________.
答案 [－1，＋∞)
解析 当a＝0时，f(x)＝4x－3在[0,2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.
当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋4x－3＝a2－3－，其对称轴为x＝－.
当a>0时，f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.
当a<0时，只有当－≥2，即－1≤a<0时，f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.
综上，当a≥－1时，函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2).
11.设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)<0和g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为________.
答案 (7，＋∞)
解析 由f(x)＝x2－ax＋a＋3知，f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)<0，所以Δ＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax－2a的图象恒过点(2,0)，故当a>6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a<－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示.
由函数的图象知，当a>6时，若g(x0)<0，则x0<2，
∴要使f(x0)<0，则需
解得a>7.
当a<－2时，若g(x0)<0，则x0>2，此时函数f(x)＝x2－ax＋a＋3的图象的对称轴x＝<－1，
故函数f(x)在区间上为增函数，
又f(1)＝4，∴f(x0)<0不成立.
综上，实数a的取值范围为(7，＋∞).
12.已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1(n∈N*)，若不等式≤对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为________.
答案 －21
解析 因为S2n－1＝＝(2n－1)an，所以a＝(2n－1)an，又an≠0，所以an＝2n－1，
则an＋1＝2n＋1，
故不等式可化为λ≤对任意n∈N*恒成立，
当n＝2k，k＝1,2,3，…时，
λ≤＝4k＋＋17对任意k∈N*恒成立，又4k＋＋17≥25(当且仅当k＝1时，等号成立)，所以λ≤25，
当n＝2k－1，k＝1,2,3，…时，
λ≤对任意k∈N*恒成立，
又＝2(2k－1)－－15≥－21，
当且仅当k＝1时，等号成立，所以λ≤－21.
综上λ≤－21.
一、特殊与一般的转化
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.
1.已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0
答案 <
解析 由题设可令a＝2，m＝0，n＝1，得f(x)＝2x2＋4x＋4，则f(0)＝4，f(1)＝10，所以f(m)
答案 4a
解析 抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝y(a>0)，焦点F.
过焦点F作直线垂直于y轴，
则PF＝QF＝，∴＋＝4a.
3.△ABC的外接圆圆心为O，两条边上的高的交点为H，＝m(＋＋)，则实数m＝________.
答案 1
解析 既然三角形为任意的，设△ABC为直角三角形，∠C＝90°.
所以O为AB中点，H与C重合，所以＝.
因为＝m(＋＋)，所以＝m(＋＋)，即＝m，解得m＝1.
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________.
答案
解析 令a＝b＝c，则△ABC为等边三角形，且cos A＝cos C＝，代入所求式子，得＝＝.
二、命题的等价转化
将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.
5.由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是________.
答案 1
解析 命题“∃x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“∀x∈R，e|x－1|－m>0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.
6.如图所示，已知三棱锥P－ABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥P－ABC的体积为________.
答案 160
解析 因为三棱锥P－ABC的三组对棱两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，
把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG－FPDC，
可知三棱锥P－ABC的各棱分别是此长方体的面对角线.
不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，
则由已知，可得解得
从而知VP－ABC＝VAEBG－FPDC－VP－AEB－VC－ABG－VB－PDC－VA－FPC＝VAEBG－FPDC－4VP－AEB＝6×8×10－4××6×8×10＝160.
7.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________________.
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则当x＝1时，f(p)＝0，所以x≠1.
f(p)在[0,4]上恒为正等价于
即解得x>3或x<－1.
8.如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝1，那么的取值范围是________.
答案
解析 设k＝，则y表示点P(1，－3)和圆(x－2)2＋y2＝1上的点的连线的斜率(如图).从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最值，此时对应的直线斜率分别为kPB和kPA，其中kPB不存在.由圆心C(2,0)到直线y＝kx－(k＋3)的距离＝r＝1，解得k＝，所以的取值范围是.
三、 函数、方程、不等式之间的转化
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作.
9.已知函数f(x)＝lg，若对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________.
答案 (2，＋∞)
解析 根据题意，得x＋－2>1在上恒成立，即a>－x2＋3x在[2，＋∞)上恒成立，
又当x＝2时，(－x2＋3x)max＝2, 所以a>2.
10.(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________.
答案 [－5，1]
解析 方法一 因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，
所以设P点坐标为(x，±)(－5≤x≤5).
因为A(－12,0)，B(0,6)，
所以＝(－12－x，－)或＝(－12－x，)，
＝(－x,6－)或＝(－x,6＋).因为·≤20，先取P(x，)进行计算，
所以(－12－x)·(－x)＋(－)(6－)≤20，即2x＋5≤.
当2x＋5<0，即x<－时，上式恒成立.
当2x＋5≥0，即x≥－时，(2x＋5)2≤50－x2，
解得－≤x≤1，故x≤1.
同理可得当P(x，－)时，x≤－5.
又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.
故点P的横坐标的取值范围为[－5，1].
方法二 设P(x，y)，
则＝(－12－x，－y)，＝(－x,6－y).
∵·≤20，
∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，
即2x－y＋5≤0.
如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，
∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，
∴点P在上.
由得F点的横坐标为1，
又D点的横坐标为－5，
∴P点的横坐标的取值范围为[－5，1].
11.已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数.对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________.
答案
解析 由题意知，g(x)＝3x2－ax＋3a－5，
令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5(－1≤a≤1).
对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，
∴解得－
12.已知函数f(x)＝ln x.若不等式mf(x)≥a＋x对所有m∈[0,1]，x∈都成立，则实数a的取值范围为________.
答案 (－∞，－e2]
解析 由题意得，a≤mln x－x对所有的m∈[0,1]，
x∈都成立，
令H(m)＝ln x·m－x，m∈[0,1]，x∈是关于m的一次函数，
因为x∈，所以－1≤ln x≤2，
所以所以所以
令g(x)＝ln x－x，
所以g′(x)＝，
所以函数g(x)在上是增函数，在上是减函数，又g＝－1－，g(e2)＝2－e2，所以g(e2)
所以a≤2－e2.综上知a≤－e2.
1.若数列{an}满足an＝3an－1＋2(n≥2，n∈N*)，a1＝1，则数列{an}的通项公式an＝________________.
答案 2×3n－1－1
解析 设an＋λ＝3(an－1＋λ)，化简得an＝3an－1＋2λ，
∵an＝3an－1＋2，∴λ＝1，
∴an＋1＝3(an－1＋1).
∵a1＝1，∴a1＋1＝2，
∴数列{an＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴an＋1＝2×3n－1，
∴an＝2×3n－1－1.
2.设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是________.
答案
解析 令f(a)＝t，则f(t)＝2t，
当t<1时，3t－1＝2t，
令g(t)＝3t－1－2t，得g′(t)>0，
∴g(t)
当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1；
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥.
3.在等比数列{an}中，已知a3＝，S3＝，则a1＝________.
答案 或6
解析 当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，S3＝3a1＝，显然成立.
当q≠1时，由a3＝，S3＝，
得
由①②，得＝3，即2q2－q－1＝0，
所以q＝－或q＝1(舍去).当q＝－时，a1＝＝6.
综上可知，a1＝或a1＝6.
4.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
答案 －
解析 当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得无解.当0
答案 (x－3)2＋(y－1)2＝10
解析 设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(a＞0，b＞0，r＞0)，由题意知，
解得
故⊙M的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
6.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a2n＝n－an，a2n＋1＝an＋1，则S100＝________.(用数字作答)
答案 1 306
解析 由题设可得a2n＋a2n＋1＝n＋1，取n＝1,2,3，…，49，可得a2＋a3＝2，a4＋a5＝3，a6＋a7＝4，…，a98＋a99＝50，将以上49个等式两边分别相加，可得a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋…＋a98＋a99＝×49＝1 274.
又a3＝a1＋1＝2，a6＝3－a3＝1，a12＝6－a6＝5，a25＝a12＋1＝6，a50＝25－a25＝19，a100＝50－a50＝31，所以S100＝1＋1 274＋31＝1 306.
7. 设点P(x，y)满足约束条件则－的取值范围是________.
答案
解析 作出不等式组
所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A(2,1)，B(1,2)，令t＝，f(t)＝t－，根据t的几何意义可知，t为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连结OA，OB，显然OA的斜率最小，OB的斜率2最大，即≤t≤2.由于函数f(t)＝t－在上单调递增，故－≤f(t)≤，即－的取值范围是.
8.已知函数f(x)＝若f(x)－f(－x)＝0有四个不同的根，则m的取值范围是________.
答案
解析 若m≤0，那么f(x)－f(－x)＝0只可能有2个根，所以m＞0，
若f(x)＝f(－x)有四个实根，根据对称性可知当x＞0时，
ln x＝－有两个实根，即－m＝xln x有两个实根，设y＝xln x，则y′＝ln x＋1，
令ln x＋1＝0，解得x＝，当x∈时， y′<0，函数单调递减，当x＞时，y′>0，函数单调递增，所以当x＝时，y＝xln x有最小值－，
即－<－m<0，
即0
答案 [－，－1)∪(1，]
解析 因为f(－x)＝－x(e－x－ex)－cos(－x)＝x(ex－e－x)－cos x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，令g(x)＝x，易知g(x)在[0,3]上为增函数，令h(x)＝－cos x，易知h(x)在[0,3]上为增函数，故函数f(x)＝x(ex－e－x)－cos x在[0,3]上为增函数，所以f(x2＋1)>f(－2)可变形为f(x2＋1)>f(2)，所以2
10.设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1>PF2，则的值为________.
答案 或2
解析 若∠PF2F1＝90°，
则PF＝PF＋F1F，
又PF1＋PF2＝6，F1F2＝2，
所以PF1＝，PF2＝，所以＝.
若∠F1PF2＝90°，则F1F＝PF＋PF，
所以PF＋(6－PF1)2＝20，且PF1>PF2，
所以PF1＝4，PF2＝2，所以＝2.
综上知，＝或2.
11.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，则椭圆C离心率的取值范围是______________.
答案
解析 当点P在短轴端点时，∠F1PF2达到最大值，
即∠F1BF2≥120°时，椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，
当∠F1BF2＝120°时，e＝＝sin 60°＝，
而椭圆越扁，∠F1BF2才可能越大，
椭圆越扁，则其离心率越接近1，
所以椭圆C离心率的取值范围是.
12.函数f(x)＝若方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________.
答案
解析 在平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象，如图.
而函数y＝mx－恒过定点，
设过点与函数y＝ln x的图象相切的直线为l1，切点坐标为(x0，ln x0).因为y＝ln x的导函数y′＝，所以图中y＝ln x的切线l1的斜率为k＝，则＝，解得x0＝，所以k＝.又图中l2的斜率为，故当方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根时，实数m的取值范围是.
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