2019届二轮复习二次函数学案（全国通用）








一、二次函数的解析式的三种形式
1． 一般式：
2． 顶点式：，其中为抛物线的顶点坐标.
3． 交点式（零点式）：， 为抛物线与轴的交点坐标.
二、二次函数的图象及性质
二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是.
当时，函数在上是增函数，在上是减函数；
当时，函数在上是增函数，在上是减函数.
三、根与系数关系
设的两根为，
则有
四、一元二次方程根的分布:
设的两根为，
1． 2.
3.
4. 5.
6. 7.
8.
9. 10.
11. 在内恰有一解或（检验另一根在内）或（检验另一根在内）
12.
讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置
五、一元二次函数在给定区间上的值域
设，
1．当时，的值域为；
2. 当时, ，；（如果再细分的话，是什么情况呢，让同学思考）
3. 当时，的值域为.
讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②开口方向
六、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系
设
①函数的图像与x轴无交点方程无实根不等式的解集为R不等式的解集为；
②函数的图像与x轴相切方程有两个相等的实根不等式的解集为；
③函数的图像与x轴有两个不同的交点方程有两个不等的实根：不等式的解集为不等式的解集为.





一、二次函数的概念
【例1】若的图像关于对称，则_________．
【难度】★
【答案】2
【解析】由题意可知，解得，∴，解得.

【例2】已知二次函数，如果(其中)，则____________.
【难度】★
【答案】

【例3】若函数是偶函数，则在区间上是
A．增函数 B．减函数 C．常数 D．可能是增函数，也可能是常数
【难度】★
【答案】D
【解析】函数是偶函数 Þ Þ ，当时，是常数；当时，，在区间上是增函数，故选D．

【例4】已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围为________．
【难度】★
【答案】或
【解析】函数的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是，
∵已知函数在上是单调函数，∴区间应在直线的左侧或右侧，
即有或，解得或．

【巩固训练】
1.若函数是偶函数，则点的坐标是________．
【难度】★
【答案】
【解析】根据题意可知应有且，即且，∴点的坐标是.

2．已知函数，且是偶函数，则的大小关系是(　　)
A． B．)
C． D．
【难度】★
【答案】A
【解析】由是偶函数可知函数关于直线对称，所以，又该函数图象开口向上，当时单调递增，故，故答案为A.

3．已知函数，且函数在上是单调函数，则的取值范围是____________.
【难度】★
【答案】或

二、和二次函数相关的函数的值域和最值问题
【例5】如果函数定义在区间上，求的最小值.
【难度】★★
【答案】
【解析】函数，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上.
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值.

图1
如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即.当时，函数取得最小值.

图2
如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即.当时，函数取得最小值.

图3
综上讨论，

【例6】已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值.
【难度】★★
【答案】或
【解析】
（1）若，不符合题意；
（2）若则，由，得；
（3）若时，则，由，得；
综上知或
【例7】已知函数在区间上的最小值是3，最大值是3，求，的值.
【难度】★★
【答案】
【解析】由，知，则，
又∵在上当增大时也增大所以，解得.
【例8】函数的值域是
【难度】★★
【答案】
【解析】设，则，则，，，故，又因为，所以原函数的值域为

【例9】已知函数的最大值为，最小值为，则的值是
【难度】★★
【答案】
【解析】由题意得，解得，，所以当时，的最大值，当或时，的最小值，

【巩固训练】
1．若函数的取值范围是____________.
【难度】★
【答案】

2．设求函数的最小值的解析式.
【难度】★★
【答案】

3．函数的值域是
【难度】★★
【答案】
【解析】令，则，由和非负性得到，则，可得原函数的值域为

4．函数的值域为
【难度】★★
【答案】
【解析】由题意得，解得，，所以可得，由的非负性知原函数的值域为

5．已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数的值.
【难度】★★★
【答案】或
【解析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪.若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了.
具体解法为：
（1）令，得
此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意；
（2）令，得
此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；
（3）若，得
此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意.
综上，或.


三、一元二次方程根的分布
【例10】求实数的范围，使关于的方程．
（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小．
（2）有两个实根，且满足．
（3）至少有一个正根．
【难度】★★
【答案】（1）;（2）;（3）
【解析】．
(1)依题意有，即，得．
(2)依题意有
　　　　　　　　解得：．
(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：
　　　　　①有两个正根，此时可得，即．
　　　　　②有一个正根，一个负根，此时可得，得．
　　　　　③有一个正根，另一根为０，此时可得　　．
　　　综上所述，得．

【例11】已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．
【难度】★★
【答案】或
【解析】函数在区间上有零点，即方程在上有解，
时，不符合题意，所以,方程在上有解或或或或.
所以实数的取值范围是或.

【例12】对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点，已知函数.
（1）当时，求函数的不动点；
（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1），是的不动点，则，得或，函数的不动点为和.
（2）∵函数恒有两个相异的不动点，∴恒有两个不等的实根，
对恒成立，∴，得的取值范围为.

【例13】设二次函数，方程的两个根满足.
（1） 当时，证明；
（2） 函数的图像关于直线对称，证明：.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】(1)由题意可知
,当∴ 当时，.
又,
且，，综上可知，所给问题获证.
（2）由题意 ，它的对称轴方程为，
由方程的两个根满足, 可得
且,
∴ ，
即 ，而，故 .

【巩固训练】
1．已知方程有两个负根，求的取值范围．
【难度】★
【答案】

2．已知抛物线与直角坐标平面上两点为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求取值范围．
【难度】★★
【答案】

3．已知关于的二次方程.
(1) 若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求的范围.
(2) 若方程两根均在区间内，求的范围.
【难度】★★
【答案】;

4．二次函数中实数满足， 其中，求证
(1) ；
(2) 方程在内恒有解.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】(1)

,
由于是二次函数，故, 又, 所以，．
(2)由题意，得，
①当时，由(1）知，
若,则,又,所以在内有解；
若,则,
又，所以在内有解.
②当时同理可证.
故方程在内恒有解．

四、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的联系
【例14】是否存在实数，使关于的不等式的解为？若存在，请解不等式；若不存在，请说明理由．
【难度】★
【答案】存在，且时满足条件；不等式解集为

【例15】已知不等式组的整数解的集合是，求实数的取值范围．
【难度】★★
【答案】

【例16】已知二次函数的图象过点，问是否存在常数，使不等式对一切都成立？
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】假设存在常数满足题意，
∵的图象过点 ，∴①
又∵不等式对一切都成立，
∴当时，，即，∴②
由①②可得：，∴，
由对一切都成立得：恒成立，
∴的解集为，
∴且，即且，∴，
∴，∴存在常数使不等式对一切都成立．

【巩固训练】
1．不等式的解集为，则不等式的解集为__________.
【难度】★
【答案】

2．已知关于的不等式恰好有一个解，则的值为____________.
【难度】★★
【答案】

3．不等式的解集为A，集合.设Z为整数集，若，则实数a的取值范围是________.
【难度】★★
【答案】

五、二次函数的实际应用问题
【例17】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4（尾/立方米）时，的值为2（千克/年）；当时，是的一次函数；当达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，的值为0（千克/年）.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大，并求出最大值．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）由题意：当时，；
当时，设，显然在是减函数，
由已知得，解得
故函数= .
（2）依题意并由（1）可得
当时，为增函数，故；
当时，，
．
所以，当时，的最大值为．
当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米．

【例18】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部是矩形，其中米，米；上部是等边三角形，固定点为的中点．是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．
（1）设与之间的距离为米，试将的面积（平方米）表示成关于的函数；
（2）求的面积（平方米）的最大值．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）①如图1所示，当在矩形区域滑动，
即时，的面积；
②如图2所示，当在三角形区域滑动，
即时，如图，连接，交于点，交于点，
∵ 为中点，
∴ 为中点，，且.
又∵ ，∴ ．
∴ ，即
故的面积；
综合可得：

（2）①当在矩形区域滑动时，，所以有；
②当在三角形区域滑动时，.
因而，当（米）时，得到最大值，最大值（平方米）.
∵ ，∴ S有最大值，最大值为平方米.

【巩固训练】
1．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间（分钟）的变化规律（越大，表明学生的注意力越集中），经过实验分析得知：

（1） 讲课开始后多少分钟，学生的注意力最为集中？能持续多少分钟？
（2） 讲课开始后分钟和讲课开始后分钟比较，何时学生的注意力更为集中？
（3） 一道数学难题，需要讲解分钟，并且要求学生的注意力至少达到，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）
则最大值为，即开课开始后分钟，学生的注意力最为集中，能持续分钟.
（2） ，，，所以开课后分钟学生的注意力更为集中.
（3）
当时，，；
当时，恒成立；
当时，，
则时，学生注意力至少达到，，则从第分钟开始讲课，老师可以在学生达到所需状态下讲授完这道题目.

2．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
项 目
类 别
年固定
成本
每件产品
成本
每件产品
销售价
每年最多可
生产的件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计．另外，年销售件B产品时需上交万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
（Ⅰ）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润与生产相应产品的件数之间的函数关系并指明其定义域；
（Ⅱ）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）由年销售量为件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润分别为：
且


（2），，，为增函数，
时，生产A产品有最大利润为（万美元），又时，生产B产品有最大利润为460（万美元） .
现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：

所以：当时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；
当时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；
当时，投资生产B产品100件可获得最大年利润．

六、二次函数的综合应用
【例19】直线与曲线有四个交点，则实数的取值范围是__________.
【难度】★★
【答案】

【例20】设函数给出下列4个命题
① 当时，只有一个实数根；
② 当时，是偶函数；
③ 函数的图像关于点对称；
④ 当时，方程有两个实数根.
上述命题中，所有正确命题的序号是___________.
【难度】★★
【答案】①③

【例21】对于定义域为D的函数，若同时满足：①在D上单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为,那么把（）叫做闭函数.
（1）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（2）若是闭函数,求实数的取值范围.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）函数在定义域内不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数.　　
（2）若是闭函数，∵函数在定义域内单调递增，∴，∴为方程的两个实数根.
方程=有两个不相等的实根.
∴有，解得，∴实数的取值范围为.
【例22】设，函数．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若，写出函数的单调区间（不必证明）；
（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．
【难度】★★★
【答案】（1）当，时，
作函数图像（图像略），可知函数在区间上是增函数，所以的最大值为．
（2）
①当时，，
因为，所以，
所以在上单调递增．
②当时，，
因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
（3）①当时，，，所以在上是增函数，关于的方程不可能有三个不相等的实数解．
②当时，由（1）知在和上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程有三个不相等的实数解．
即．
令，在时是增函数，故．
所以，实数的取值范围是．

【巩固训练】
1．已知函数，若，关于的方程有三个不相等的实数解，则的取值范围是__________．
【难度】★★
【答案】

2．已知函数,．给出下列命题:
必是偶函数；
时, 的图像必关于直线对称；
若,则在区间上是增函数；
有最大值．
其中, 正确命题的序号是___________．
【难度】★★★
【答案】
【解析】令,当,即时,恒成立,从而.此时的图像为开口向上,且以执行为对称轴的抛物线, 在上是增函数,即命题正确．
当,即时, 的图像可把的图像在轴下方部分沿轴翻折到轴上方得到,如图所示．







因为未必为0，所以命题假.又因为在上无最大值，故命题也假.
当，时，的根有4个：，.若令，则的对称轴不是直线.所以命题假．
　　 综上所述，四个命题中只有命题是正确的．

3．设关于的不等式和的解集分别是A和B.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1），
①当时，，，由，
得： 解得：，
②当时，，显然成立
③当时，，由，
得： 解得：，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）假设存在实数，使得，则：
①当时，，，由，得： 不存在
②当时，，显然不成立
③当时，，由，，得：
综上所述，不存在实数使得成立.

4．已知函数，.研究函数的图像与函数的图像公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论.
【难度】★★★
【答案】公共点的横坐标满足.
即是方程=的实数解.
设，则直线与有公共点时的横坐标与上述问题等价.
当或时，；
解方程，即，得，；
当时，.
解方程即，得或；
结论1：无论取何实数值，点必为两函数图像的公共点.
结论2：（对某些具体的取值进行研究）.
当时，两图像有一个公共点；
当时，公共点有2个，坐标为、；
当时，公共点有2个，坐标为、.
结论3：当时，公共点有3个，
坐标为、、.
结论4：叙述完整，结论正确，给满分.具体包括下面几个方面：
当时，公共点有2个，坐标为、；
当时，公共点有2个，坐标为、.
当时，公共点有1个，坐标为.
当时，公共点有3个，
坐标为、、.




二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延。 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征。从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是高中数学中一种非常重要的思想方法。而分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略，它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题，也是我们解决二次型函数问题的主要方法。
一般地，对于二次函数求最值的问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

④

③
②
①

①表示对称轴在区间的左侧，②表示对称轴在区间内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。
含参数的二次函数求最值的问题大致分为两种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系来进行分类讨论。




1．函数=（常数，R）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式= .
【难度】★
【答案】

2．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】

3．函数的图像关于任意直线对称后的图像依然为某函数图像，则值域为 .
【难度】★★
【答案】0

4．已知函数是偶函数，直线与函数的图像自左至右依次交于四个不同点、、、，若，则实数的值为________．
【难度】★★★
【答案】

5．已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为____________.
【难度】★★★
【答案】

6．为何值时，关于 的方程 的两根：
（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；
（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间.
【难度】★★
【答案】；；；；

7．不等式的解集是, 则等于_________.
【难度】★
【答案】-10
8．若、是关于x的方程的两个实根, 则的最小
值为 .
【难度】★
【答案】8

9．已知, 若在区间上的最大值为, 最小值为, 令.
(1) 求的函数表达式；
(2) 判断的单调性, 并求出的最小值.
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】(1) 函数的对称轴为直线, 而
∴在上
①当时，即时，
②当2时，即时，

(2).

10．设，若时均有，则= .
【难度】★★★
【答案】

11．已知，，，则的最值是（ ）
A.最大值为，最小值为 B.最大值为，无最小值
C.最大值为3，无最小值 D.既无最大值，又无最小值
【难度】★★
【答案】B

12．若关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为多少？
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】当时，显然是方程的一个实数解；
当时，方程可化为（），设（），，原题可以转化为两函数有三个非零交点.
，易得，解得.

13．已知函数的值域是，则实数的取值范围是 .
【难度】★★
【答案】

14．已知函数（），给出下列四个命题：
① 当且仅当时，是偶函数；
② 函数一定存在零点；
③ 函数在区间上单调递减；
④ 当时，函数的最小值为。
那么所有真命题的序号是 .
【难度】★★
【答案】①④
15．某公司生产某种消防安全产品，年产量台时，销售收入函数（单位：百元），其成本函数满足（单位：百元）．已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000（百元）．
（1）求利润函数；
（2）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？
（3）在经济学中，对于函数，我们把函数称为函数的边际函数，记作．对于（1）求得的利润函数，求边际函数；并利用边际函数的性质解释公司生产利润情况．（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等）
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）由题意，，所以

（2） （，）
所以或
（百元）
（3）（，）
边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少；当时，边际函数取得最大值为2480，说明生产第一台的利润差最大；当时，边际函数为零，说明生产62台时，利润达到最大. 】

16．已知函数.
(1) 在区间上画出函数的图像；
(2) 设集合，，试判断集合间的关系，并给出证明；
(3)当时，求证: 在区间上，的图像位于函数的上方.
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）如图.
（2）BA；A.（3）联立方程得，易得时相切，结合图像可得解.