2019届二轮复习【高中数学】必须掌握的题型之二次函数学案（全国通用）

【高中数学】必须掌握的题型之二次函数【知识概括】1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：.②顶点式：.③零点式: .(2)二次函数的图象和性质解析式图象定义域值域单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减对称性函数的图象关于对称 题型一　求二次函数的解析式例1　(1)(2016·南京模拟)已知二次函数与轴的两个交点坐标为和且有最小值，则        .【答案】　【解析】　设函数的解析式为，所以，由，得，所以.(2)已知二次函数的图象经过点，它在轴上截得的线段长为，并且对任意，都有，求的解析式.【答案】【解析】　对任意恒成立，的对称轴为.又的图象被轴截得的线段长为.的两根为和.设的解析式为，又的图象过点，，所求的解析式为，即.【思维升华】　求二次函数解析式的方法题型二　二次函数的图象和性质例2 二次函数的单调性　函数在区间上是递减的，则实数的取值范围是         .【答案】　【解析】　当时，在上递减，满足条件.当时，的对称轴为，由在上递减知，解得.综上，的取值范围为.例3 二次函数之定轴定区间已知函数在闭区间上取值范围为       .【答案】【解析】画图像，找出最高点和最低点，即可。【思维升华】如果认定端点处一定取得最值的，拉出去打一顿，打到怀疑人生即可.二次函数之定轴动区间例4：已知函数在闭区间上有最大值，最小值2，则的取值范围为       .【答案】　【解析】　如图，由图象可知的取值范围是.例5：求函数在闭区间上的取值范围为       .【答案】见解析【解析】1.如图2.（2咋来的？清楚不？），（认为最小的，可以拉出去打了，不过要打满5分钟哦）  ，（最小值写成3的，开打吧）二次函数之动轴定区间例6.已知二次函数，求函数的值域.【答案】见解析【解析】1.时如图，值域为  时当时，值域为；当时，值域为（这里理解没？）3.值域为【思维升华】都是根据对称轴和开口方向来画草图，在草图上找到最高点和最低点的.二次函数之动轴动区间高中碰到的不多，这里不做赘述了　二次函数中的恒成立问题例7 (1)已知是实数，函数在上恒小于零，则实数的取值范围为        .【答案】　【解析】　在上恒成立.当时，，成立；当时，，因为，当时，右边取最小值，所以.综上，实数的取值范围是 .(2)(2016·江苏徐州一中质检改编)若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】【解析】　求二次函数在给定区间上的最大值，二次函数的图象的对称轴为直线.①当，即时，或，由，得且，解得，又，故；②当，即时，函数在上单调递增，故，由，得，又，故；③当，即时，函数在上单调递减，故，由，得，又，故.综上知，实数的取值范围为.【思维升华】　(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：恒成立，恒成立.分类讨论思想在二次函数最值中的应用　已知函数在区间上有最大值，求实数的值. 思想方法指导　已知函数的最值，而图象的对称轴确定，要讨论的符号.【答案】的值为或. 【解析】　.            （1）当时，函数在区间上的值为常数，不符合题意，舍去；  (2)当时，函数在区间上是增函数，最大值为，解得；(3)当时，函数在区间上是减函数，最大值为，解得.综上可知，的值为或.