2019届二轮复习专题1.1集合及其运算学案（全国通用）

第一节　集合及其运算
最新考纲
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．
2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
5．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及运算．
知识梳理
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系　　　
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同[来源:Z§xx§k.Com][来源:学_科_网Z_X_X_K]
A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算

并集
交集
补集
图形表示



符号表示
A∪B
A∩B
∁UA
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．
(2)任何集合是其本身的子集，即：A⊆A.
(3)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.学=科网
(5)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．

典型例题
考点一　集合的基本概念
【例1】　(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1 B．3
C．5 D．9
【答案】C
【解析】因为A＝{0,1,2}，所以B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．
(2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．±1
【答案】C
【解析】由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.

(3)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A. B．
C．0 D．0或
【答案】D
【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.
当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，
所以a的取值为0或.
(4)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a＝________.
【答案】－1
【解析】由A∩B＝{－3}知，－3∈B.又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.
①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}．
故a＝0舍去．
②当a－2＝－3时，a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，
满足A∩B＝{－3}，故a＝－1.

规律方法 解决集合概念问题的一般思路
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B中的代表元素为实数p－q.
(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．

【变式训练1】
(1)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【答案】－
(2)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为(　　)
A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6
【答案】B
【解析】因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3时，x＝5,6,7.
当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8.
由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8.
即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．

(3)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】C
【解析】 因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，
所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.
(4)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________.
【答案】a