【数学】新疆乌鲁木齐市第四中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

新疆乌鲁木齐市第四中学2019-2020学年

高二下学期期末考试（理）

一、单选题

1．复数（是虚数单位）的虚部为（ ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

2．已知集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

3．在中，，，的对边分别是，，，且，，，，则边上的高线的长为（    ）

A． B． C． D．

4．设函数，则（ ）

A．为的极大值点 B．为的极小值点

C．为的极大值点 D．为的极小值点

5．已知，则（    ）

A．    B．    C．    D．

6．设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为

A． B． C． D．

7．设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和．已知，S3＝7，则S5＝（ ）

A． B． C． D．

8．已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是

A．若则        B．若，，则

C．若，，则    D．若，，则

9．已知A、B分别为椭圆C：1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点，F是C的左焦点，若FB⊥AB，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

10．若双曲线（，）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

11．已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，，若点M为的中点，则下列说法正确的个数为（    ）

（1）平面    （2）四棱锥P-ABCD的体积为24

（3）平面     （4）点A到面PBC的距离为

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为

A． B． C． D．

二、填空题

13．数列的前n项和，则_________

14．已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的焦点到渐近线的距离为________.

15．已知函数，则函数的极大值为 ___________．

16．点是椭圆右顶点，过椭圆中心的直线交椭圆于两 点，满足，。则该椭圆的离心率为________．

三、解答题

17．已知函数 (mR)

（1）当时，

①求函数在x=1处的切线方程；

②求函数在上的最大值和最小值．

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围

18.如图，在三棱柱中，平面，，，， 分别为，，，的中点，，．

(1)求证：⊥平面；

(2)求二面角的余弦值

19．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

（I）求曲线和直线的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线交于P、Q两点，求的值.

20．双曲线上一点到左、右两焦点距离的差为2．

（1）求双曲线的方程；

（2）设是双曲线的左右焦点，是双曲线上的点，若，

求的面积；

（3）过作直线交双曲线于两点，若，是否存在这样的直线，使为矩形？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．

21．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面⊥平面，

点为的中点，，．

（1）求证：//平面，

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

22. 在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为，(t为参数,0≤α<π).

(1)若，求l的普通方程，写出C的直角坐标方程;

(2)若l与C有两个不同的交点A、B，且P(2,1)为AB的中点，求|AB|.

参考答案

一、选择题：

二、填空题

13、________________23____________      14、_______________________

15、________________________      16、______________________

三、解答题：

17、（1）证明见解析；（2）

18、(1)在三棱柱中，

∵⊥平面，

∴四边形为矩形．

又，分别为，的中点，

∴⊥．

∵．

∴⊥，

∴⊥平面．

(2)由(1)知⊥，⊥，∥．

又⊥平面，∴⊥平面．

∵平面，∴⊥．

如图建立空间直角坐称系．

由题意得，，，，．

∴，，

设平面的法向量为，

∴，∴，

令，则，，

∴平面的法向量，

又∵平面的法向量为，

∴．

由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．

(3)平面的法向量为，∵，，

∴，∴，∴与不垂直，

∴与平面不平行且不在平面内，∴与平面相交．

19、(1)曲线的直角坐标方程为．

当时，的直角坐标方程为，

当时，的直角坐标方程为．

(2)将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．

又由①得，故，于是直线的斜率．

20.如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，则，，，以为基底，建立空间直角坐标系．

因为，

所以．

(1)因为为的中点，所以，

从而，

故．

因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．

(2)因为Q为BC的中点，所以，

因此，．

设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，

则即

不妨取，

设直线CC1与平面AQC1所成角为，

则，

所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．

21、【解析】(1)的直角坐标方程为．

当时，与交于两点．

当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．

综上，的取值范围是．

(2)的参数方程为为参数，．

设，，对应的参数分别为，，，则，

且，满足．

于是，．又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是为参数，．