2020-2021学年安徽省高中教科研联盟高二下学期期末联考理科数学试题 解析版

安徽省高中教科研联盟2020-2021学年高二下学期期末联考

数学（理科）

2021.7

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂里。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.复数z满足（i为虚数单位），则复数z的虚部为

A.     B.    C.    D.

2.若集合，，则

A.         B.

C.         D.

3.下列关系式中，成立的是

A.      B.

C.      D.

4.如图为某几何的三视图，则该几何体的体积为

A.          B.

C.          D.

5.在等差数列中，已知，，则使数列的前n项和成立时n的最小值为

A. 6     B. 7     C. 9     D. 10

6.已知点A，B，O是平面内不共线的三点，点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则

A.        B.

C.        D.

7.已知椭圆与双曲线E有公共焦点F1，F2，它们在第一象限交于点P，离心率分别为e1和e2，且线段PF1的垂直平分线过F2，则

A.     B.     C.     D.

8.一次考试表彰大会上有3名男生4名女生起上台领奖，要求男女生站成一排，如果男、女生各不相邻，则有（    ）种排法。

A.2880    B.144    C.288    D.1440

9.估算的结果，精确到0.01的近似值为（    ）

A.30.84    B.31.84    C.30.40    D.32.16

10.已知函数，对任意，不等式恒成立，则正数a的最小值为

A.    B.     C.     D.

11.已知F为抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A、B，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点P，则的最大值为

A. 1     B.     C. 2     D.

12.若函数为奇函数，函数的导函数的部分图象如图所示，当时，则的最小值为

A.     B.     C.     D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若实数x，y满足约束条件，则的最大值是           .

14.若，，则           .

15.已知函数，关于x的方程有3个相异的实数根，则a的取值范围是            .

16.已知正四面体的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体表面上任意一点，则的最小值为           .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.

（1）求角B的值；

（2）若，求的取值范围.

18.（12分）已知正项数列的首项为1，前n项和Sn满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列的前n项和为Tn，对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围.

19.（12分）已知PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，.

（1）求证：平面平面PBC；

（2）当时，求二面角的余弦值。

20.（12分）双曲线左右焦点分别为，，实轴长，点P为双曲线C右支上一点，且的最小值为.

（1）求双曲线C的标准方程：

（2）过点作直线l与双曲线C右支交于A，B两点，若，求直线l的方程.

21.（12分）已知函数，.

（1）求函数的极值；

（2）令.证明：当时，在上恒成立.

22.（12分）设随机变量X的概率密度函数为，则，若对X的进行三次独立的观测，事件至少发生一次的概率为；

（1）对X做n次独立重复的观测，若使得事件A至少发生一次的概率超过95%，求n的最小值.（，）

（2）为满足广大人民群众对接种疫苗的需求，某地区卫生防疫部门为所辖的甲、乙、丙三区提供了批号分别为1、2、3、4、5的五批次新冠疫苗以供选择，要求每个区只能从中选择一个批号的疫苗接种.由于某些原因甲区不能选择1、2、4号疫苗，且这三区所选批号互不影响.记“甲区选择3号疫苗”为事件B，且；

（i）求三个区选择的疫苗批号互不相同的概率；

（ii）记甲、乙、丙三个区选择的疫苗批号最大数为K，求K的分布列.

安徽高中教科研联盟2019级高二期末联考

数学（理科）试题参考答案与评分细则

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分

1.C 【解析】

2.D 【解析】，，

3.A 【解析】

4.B 【解析】直观图为如右图所示的四棱锥，故.

5.D 【解析】，，，，，，

6.A 【解析】

7.B 【解析】

8.B 【解析】

9.A 【解析】原式

10.A 【解析】，在单调递增，不妨取，

则，恒成立

令，即在单调递增，

又，

11.C 【解析】设，联立得：

，，

，，

12. B 【解析】，函数为奇函数，，，，

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.

【解析】最优解为（1,2），的最大值是

14.

【解析】，

15.

【解析】图象如右图，令，两零点分别为

①，

②，舍

16.

【解析】设正四面体外接球球心为O，

.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（1）

，

（2）且，即

.

18.（1）时，

，，

，

，也适合

综上：

（2）

或

19. （1）

平面

平面

又平面PBC

平面平面PAC

（2）过C作z轴平行直线PA，以CA，CB分别为x、y轴

如图建立空间直角坐标系C-xyz

设平面PBC和平面PBA的法向量分别为，

，二面角的余弦值为

20.（1），则

双曲线C方程是：

（2）设，，，，①

，②，③

由①②③得，此时检验得

方程：

21. （1）

在单调递减，单调递增

，无极大值

（2）证明：，，

令

时，

，在单调递增

22. （1）

用Y表示对X的n次独立重复观察中事件A发生的次数，则，

，则，即

解得

，对X至少做11次独立重复观测；

（2）（i）

记“三个区选择疫苗批号互不相同”为事件C

（ii）