【数学】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试（文）
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一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 设复数z满足，则
A. 1 B. C. D. 2
- 为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图两坐标轴单位长度相同，用回归直线近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是
A. 线性相关关系较强，b的值为
B. 线性相关关系较强，b的值为
C. 线性相关关系较强，b的值为
D. 线性相关关系太弱，无研究价值
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- 若m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
- 在正方体中，如图，M，N分别是正方形ABCD，的中心．则过点，M，N的截面是（ ）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 梯形 D. 直角三角形
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- 九章算术是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积底面的圆周长的平方高，则该问题中的体积为估算值，其实际体积单位：立方尺，一丈=10尺应为
A. B. C. D.
- 从11，12，13，14，15中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则等于
A. B. C. D.
- 函数的图象大致为
A. B.
C. D.
- 如图，在正方体中，P，Q，M，N，H，R是各条棱的中点．直线平面MNP；；，Q，H，R四点共面；平面其中正确的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
- 已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，且球心O在三棱锥的内部．若该三棱锥的侧面积为，，则球O的表面积为
A. B. C. D.
10. 如图，四棱锥中，与是正三角形，平面平面，，则下列结论不一定成立的是
A． B．平面
C． D．平面平面
11.如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，E为PC上靠近点C的三等分点，则三棱锥与四棱锥的体积比为
A. B. C. D.
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12.已知P为双曲线C：左支上一点，，分别为C的左、右焦点，M为虚轴的一个端点，若的最小值为，则C的离心率为
A. B. C. D.
二、 填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知x，y取值如表：
x | 0 | 1 | 3 | 5 | 6 |
y | 1 | m | 3m |
画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为，则__________．
14.若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径，满足，且圆台的侧面积为，则 ．
15.甲乙两人练习射击，命中目标的概率分别为1/2和1/3，甲乙两人各射击一次，目标被命中的概率是__________．
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16.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，由勾股定理有：设想将正方形换成正方体，把截线换成截面．这时从正方体上截下一个角，那么截下一个三棱锥如果该三棱锥的三个侧面面积分别为1，2，4，则该三棱锥的底面EFG的面积是________．
三、 解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为：为参数，曲线：．
Ⅰ在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；
Ⅱ射线与的异于极点的交点为A，与的交点为B，求．
18.在直三棱柱中，，，D是AB的中点．
求证：平面；
若点P在线段上，且，求证：平面．
19.BMI指数身体质量指数，英文为BodyMassIndex，简称是衡量人体胖瘦程度的一个标准，体重身高的平方．根据中国肥胖问题工作组标准，当时为肥胖．某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如图：
Ⅰ求被调查者中肥胖人群的BMI平均值；
Ⅱ填写下面列联表，并判断是否有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．
| 肥胖 | 不肥胖 | 合计 |
高血压 |
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非高血压 |
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合计 |
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|
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k |
附：，其中．
20.四棱锥如图所示，其中四边形ABCD是直角梯形，，，平面ABCD，，AC与BD交于点G，COS，点M线段SA上．
若直线平面MBD，求的值；
若，求点A到平面SCD的距离．
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21.如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且，平面平面ABC．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ若，，求几何体的体积．
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22.已知函数，．
若，恒成立，求实数m的取值范围；
设函数，若在上有零点，求实数a的取值范围．
参考答案
一 选择题 1-12、ABBAB BDCDB BC
二 填空题 （13）3/2 （14）2 （15） （16）
三解答题
17.解：Ⅰ曲线为参数可化为普通方程：，
由可得曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
Ⅱ射线与曲线的交点A的极径为，
射线与曲线的交点B的极径满足，解得，
所以．
18.证明：连结，设交于点O，连结OD．
四边形是矩形是的中点．在中，OD分别是，AB的中点，
又平面，平面，平面；
，D是AB的中点，
又在直三棱柱中，底面侧面，交线为AB，
平面ABC，平面平面，．
， ，，又，
∽，从而，所以，．又，平面，平面 平面．
19.解：Ⅰ被调查者中肥胖人群的BMI平均值；
Ⅱ高血压人群中肥胖的人数为：人，不肥胖的人数为：人，
非高血压人群中肥胖的人数为：，不肥胖的人数为：人，所以列联表如下：
| 肥胖 | 不肥胖 | 合计 |
高血压 | 70 | 130 | 200 |
非高血压 | 230 | 770 | 1000 |
合计 | 300 | 900 | 1200 |
则K 的观测值：，
有的把握认为35岁以上成人患高血压与肥胖有关．
20.【答案】解：连接MG．
，，且AB，CD在同一平面内，，
设，，得，
平面MBD，平面平面，平面SAC，，
故；
在平面SAD内作于点N 平面ABCD ，
又，，得平面SAD．
平面SAD，． 又，平面SCD．
角SCA的余弦值为，
即， 又，，
则，而，，求得，，
即点A到平面SCD的距离为．
21.证明：取BC的中点D，连接AD，D.
四边形是正方形，，
又平面平面ABC，平面平面．
平面ABC，平面ABC ．中，，，，又，平面． 四边形是梯形，，且．，四边形是平行四边形，
，又，，四边形是平行四边形．
，平面．又平面，
平面平面．
Ⅱ解：由可得：三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形，底面． 直三棱柱的体积，
四棱锥的体积．
几何体的体积．
22.解：由题意得的定义域为，
．
，、随x的变化情况如下表：
x | 3 | ||
0 | |||
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
由表格可知：．
在上恒成立，．
函数在上有零点，
等价于方程在上有解．
化简，得． 设．
则，
，、随x的变化情况如下表：
x | 1 | 3 | |||
0 | 0 | ||||
单调递增 | 单调递减 | 单调递增 |
且，，，
．
作出在上的大致图象如图所示
当时，
在上有解．
故实数a的取值范围是．
