江西省新余市2020-2021学年高二下学期期末理科数学试题

新余市2020—2021学年度下学期期末质量检测

高二数学试题卷（理科）

说明：

1. 本卷共有三个大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.

2. 本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分.

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合，集合，其中为虚数单位，则集合与集合的关系是（    ）

A.  B. C.  D.

2. 是的（    ）

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件

C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

3. 已知向量，，且，则（    ）

A. -8 B. -12 C. 8 D. 12

4. 若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 若函数在处取得极小值，则的最小值为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

6. 已知点是抛物线：上一点，点为抛物线的焦点，点，则的周长的最小值为（    ）

A. 3 B. 1 C.  D.

7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（    ）

A.

B. 直线与平面所成角为

C. 平面

D. 异面直线与所成角为

9. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以下排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为（    ）

1

2  3

4  5  6

7  8  9  10

……………………

A. 193  B. 192

C. 174  D. 173

10. 已知，则（    ）

A. 242 B. 243 C. 404 D. 405

11. 已知，，，为球的球面上的四个点，，，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数是定义在的可导函数，为其导函数，当且时，，若曲线在处的切线的斜率为-1，（    ）

A.  B. 0 C.  D. 1

二、填空题（每小题5分，共4小题20分）

13. __________.

14. 用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为__________.

15. 在正方体中，点是线段的中点，则直线与所成角的余弦值是___________.

16. 若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则__________.

三、解答题（共6小题，第17题10分，第18题、第19题、第20题、第21题、第22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为.观测点、同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

18. 已知，设：，恒成立，命题：，使得.

（1）若是真命题，求的取值范围；

（2）若为假，为真，求的取值范围.

19. 如图，在四棱柱中，底面，，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角所成角的余弦值.

20. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

（1）求的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

21. 已知椭圆：的离心率为，点，是椭圆的左右焦点，点是上任意一点，若面积的最大值为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线：与椭圆在第一象限的交点为，直线：与椭圆交于，两点，连接，，与轴分别交于，两点，求证：始终为等腰三角形.

22. 已知函数.

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）若有两个极值点分别为，求的最小值.

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高二数学（理）参考答案

一、选择题（12×5=60分）

二、填空题（5×4=20分）

13.      14.     15.     16. 0

三、简答题（17题10分，18—22题每题12分，共70分）

17.【答案】（1）；（2）观测点、测得离航天器的距离分别为和4时，应向航天器发出变轨指令.

17.【解析】

（1）由题意，设抛物线的方程为，

因为抛物线经过点，所以，解得；

故航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程.

（2）联立可得，

所以在观测点处测得离航天器的距离为4时，应向航天器发出变轨指令；

因为，所以在观测点处测得离航天器的距离为时，应向航天器发出变轨指令.

故观测点、测得离航天器的距离分别为和4时，应向航天器发出变轨指令）

18.【解析】

（1）若为真，即：，恒成立，

可得，解得，

若为真，即：，使得，

则，解得或，

若是真命题，则，为真，可得，所以，

所以的取值范围.

（2）因为为假，为真，所以，一真一假，即，同真同假，

当，都真时，由（1）知，

当，都假时，，即，

综上可得：或.

19.【解析】（1）证明：，，

所以，，

因为，

所以，所以，即，

因为底面，所以底面，所以.

因为，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）如图，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，

令，得，

设平面的法向量为，则，

令，得，

所以，

由图知二面角为锐角，

所以二面角所成角的余弦值为.

20.【答案】（1） （2）当销售价格为4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

【解析】

解析：（1）因为时，，

所以，解得.

（2）由（1）可知，该商品每日的销售量，

所以商场每日销售该商品所获得的利润，.

从而.

于是当变化时，，的变化情况如下表：

由上表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点.

所以当时，函数取得最大值，且最大值等于42.

故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

21.【解析】（1）由，可得，

由面积的最大值为知，，

解得，，，

∴椭圆的方程为.

（2）证明：联立，解得，

联立得，

∵直线与椭圆交于，两点，

∴，∴，且，

设直线，的斜率分别为，，设，，则，.

又，，，，

则

，

∴，从而始终为等腰三角形.

22.【解析】

解析：（1）因为，

所以，

由得或.

①当时，因为，不满足题意，

②当时，在上单调递减，在上单调递增，

于是，解得，

所以的取值范围为.

（2）函数，定义域为，，

因为，是函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等正根，

则有，，，

得，对称轴，故，，

且有，，

.

令，则，

，，

当时，单调递减，当时，单调递增，

所以，

所以的最小值为.