2020年福建省厦门市中考数学质检试卷（7月份）

2020年福建省厦门市中考数学质检试卷（7月份）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
2．（4分）中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（　　）
A．37×104 B．3.7×104 C．0.37×106 D．3.7×105
3．（4分）将单项式3m与m合并同类项，结果是（　　）
A．4 B．4m C．3m2 D．4m2
4．（4分）如图是由三个小正方体叠成的一个几何体，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
5．（4分）有一组数据：35，36，38，40，42，42，75．这组数据的中位数是（　　）
A．39 B．40 C．41 D．42
6．（4分）若多项式x2+2x+n是完全平方公式，则常数n是（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
7．（4分）在平面直角坐标系中，若点（0，a）在y轴的负半轴上，则点（﹣2，a﹣1）的位置在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（4分）要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S四边形MCDN的值为（　　）

A． B． C． D．
10．（4分）函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2﹣x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（　　）
A．m＝2b+5 B．m＝4b+8 C．m＝6b+15 D．m＝﹣b2+4
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）3+|﹣2|＝　 　．
12．（4分）如图，AB＝AC，AD∥BC，∠DAC＝50°，则∠B的度数是　 　．

13．（4分）某校初一年级开展“读书月”活动，并将授予该月阅读课外书籍4册以上（含4册）的学生“阅读之星”的称号．初一年级少先队大队委进行了随机调查，结果如表所示：
阅读册数
0
1
2
3
4
5
学生数
20
18
27
70
12
3
可以估计该年级学生获得此称号的概率是　 　．
14．（4分）如图，四边形ABCD，CEFG都是正方形，点G在边CD上，它们的面积之差为51cm2，且BE＝17cm，则DG的长为　 　cm．

15．（4分）图1是某品牌台灯竖直摆放在水平桌面上的侧面示意图，其中OC为桌面（台灯底座的厚度忽略不计），台灯支架AO与灯管AB的长度都为30cm，且夹角为150°（即∠BAO＝150°），若保持该夹角不变，当支架AO绕点O顺时针旋转30°时，支架与灯管落在OA1B1位置（如图2所示），则灯管末梢B的高度会降低　 　cm．

16．（4分）如图，点P在双曲线y＝（x＞0）上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA，PB分别与双曲线y＝（0＜k2＜k1，x＞0）交于点C，D，DN⊥x轴于点N．若PB＝3PD，S四边形PDNC＝2，则k1＝　 　．

三、计算题
17．（8分）解不等式组．
18．（8分）先化简再求值：÷（m﹣1），其中m＝﹣1．
19．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，证明：BE＝DF．

20．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在边BC上，连接AD，过点D作射线DE⊥AD．
（1）在射线DE上求作点M，使得△ADM～△ABC，且点M与点C是对应点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若cos∠BAD＝，BC＝6，求DM的长．

21．（8分）探测气球甲从海拔0m处出发，与此同时，探测气球乙从海拔6m处出发．图中的l1，l2分别表示甲、乙两个气球所在位置的海拔s（单位：m）与上升时间t（单位：min）之间的关系．
（1）求l2的函数解析式；
（2）探测气球甲从出发点上升到海拔16m处的过程中，是否存在某一时刻使得探测气球甲、乙位于同一高度？请说明理由．

22．（10分）四边形ABCD是矩形，点P在边CD上，∠PAD＝30°，点G与点D关于直线AP对称，连接BG．
（1）如图，若四边形ABCD是正方形，求∠GBC的度数；
（2）连接CG，设AB＝a，AD＝b，探究当∠CGB＝120°时，a与b的数量关系．

23．（10分）某公司有500名职员，公司食堂供应午餐．受新冠肺炎疫情影响，公司停工了一段时间．为了做好复工后职员取餐、用餐的防疫工作，食堂进行了准备，主要如下：
①将过去的自主选餐改为提供统一的套餐；
②调查了全体职员复工后的午餐意向，结果如图所示；
③设置不交叉的取餐区和用餐区，并将用餐区按一定的间距要求调整为可同时容纳160人用餐；
④规定：排队取餐，要在食堂用餐的职员取餐后即进入用餐区用餐；
⑤随机邀请了100名要在食堂取餐的职员进行了取餐、用餐的模拟演练，这100名职员取餐共用时10min，用餐时间（含用餐与回收餐具）如表所示．
为节约时间，食堂决定将第一排用餐职员160人的套餐先摆放在相应餐桌上，并在12：00开始用餐，其他职员则需自行取餐．
用餐时间x/min
人数
15＜x≤17
20
17＜x≤19
40
19＜x≤21
18
21＜x≤23
14
23＜x≤25
8
（1）食堂每天需要准备多少份午餐？
（2）食堂打算以参加演练的100名职员用餐时间的平均数min为依据进行规划：前一批职员用餐min后，后一批在食堂用餐的职员开始取餐．为避免拥堵，需保证每位取餐后进入用餐区的职员都有座位用餐，则该规划是否可行？如果可行，请说明理由，并依此规划，根据调查统计的数据设计一个时间安排表，使得食堂不超过13：00就可结束取餐、用餐服务，开始消杀工作；如果不可行，也请说明理由．

24．（12分）在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，过A、B两点以r为半径作⊙O．
（1）如图，对角线AC、BD交于点M，若AB＝BC＝2，且过点M，求r的值；
（2）⊙O与边BC的延长线交于点E，DO的延长线交于点⊙OF，连接DE、EF、AC，若∠CAD＝45°，的长为r，当CE＝AB时，求∠DEF的度数．（提示：可再备用图上补全示意图）

25．（14分）在平面直角坐标系中，点（p，tq）与（q，tp）（t≠0）称为一对泛对称点．
（1）若点（1，2），（3，a）是一对泛对称点，求a的值；
（2）若P，Q是第一象限的一对泛对称点，过点P作PA⊥x轴于点A，过点Q作QB⊥y轴于点B，线段PA，QB交于点C，连接AB，PQ，判断直线AB与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）交y轴于点D，过点D作x轴的平行线交此抛物线于点M（不与点D重合），过点M的直线y＝ax+m与此抛物线交于另一点N．对于任意满足条件的实数b，是否都存在M，N是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点M（xM，yM），N（xN，yN）探究当yM＞yN时，xM的取值范围；若不是，请说明理由．

2020年福建省厦门市中考数学质检试卷（7月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共40分）
1．【解答】解：3的相反数是﹣3
故选：A．
2．【解答】解：370000＝3.7×105，
故选：D．
3．【解答】解：3m+m＝4m，
所以单项式3m与m合并同类项，结果是4m，
故选：B．
4．【解答】解：主视图，如图所示，
，
故选：A．
5．【解答】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：35，36，38，40，42，42，75，处于中间位置的数是40，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是40．
故选：B．
6．【解答】解：∵多项式x2+2x+n是一个完全平方式，
∴x2+2x+n＝（x+1）2，
∴n＝1
故选：D．
7．【解答】解：∵点P（0，a）在y轴的负半轴上，
∴a＜0，
∴a﹣1＜0，
∴点（﹣2，a﹣1）在第三象限．
故选：C．
8．【解答】解：如图D所示，有两个角是直角的圆内接四边形不一定是矩形，
故选：D．
9．【解答】解：设正六边形的边长为a．则S△PCD＝2×a2＝a2，S四边形BCDE＝3×a2＝a2，
由题意MN是△PCD的中位线，
∴S△PMN＝S△PCD＝a2，
∴S四边形MNDC＝a2﹣a2＝a2，
∴S△BMC＝S△DNE＝（a2﹣a2）＝a2，
∵PM＝CM，
∴S△PBM＝S△BMC＝a2，
∴S△PBM：S四边形MCDN＝a2：a2＝1：2，
故选：A．
10．【解答】解：函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1•x2＝6，而x2﹣x1＝4，
解得：x1＝﹣2，x2＝2+，
∵x1+x2＝﹣2b，
∴b＝﹣；
函数的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝＞3，
故当1≤x≤3时，函数在x＝3时，取得最小值，即m＝y＝x2+2bx+6＝15+6b，
故选：C．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．【解答】解：3+|﹣2|＝3+2＝5．
故答案为：5．
12．【解答】解：∵AD∥BC，∠DAC＝50°，
∴∠C＝∠DAC＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
故答案为：50°．
13．【解答】解：阅读课外书籍4册（含4册）以上的有12+3＝15人，
所以估计该年级获得此称号的概率为＝＝，
故答案为：．
14．【解答】解：∵四边形ABCD，CEFG都是正方形，
设BC为x，CE为y，
可得：，
解得：x﹣y＝3，
∴DG＝CD﹣CG＝BC﹣CE＝3（cm），
故答案为：3．
15．【解答】解：连接BA1并延长交OF于点E，过点A作AD⊥BE于点D，

过点B1作B1F⊥OC于点F，过点A1作A1H⊥B1F于点H，
∵∠OAB＝150°，∠AOA1＝30°，
∴∠OAB+∠AOA1＝180°，
∴AB∥OA1，
∵AB＝OA1，
∴四边形OABA1是平行四边形，
∴OA∥BE，BA1＝OA，
在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝30cm，
∴BD＝AB•sin60°＝30×cm，
∴BE＝BD+DE＝（30+15）cm，
∵BA1＝DE，
∴BD＝A1E＝15，
∵AO绕点O顺时针旋转30°，
∴∠AOA1＝∠OA1E＝30°，
∴∠B1A1H＝30°，
∴B1H＝＝15cm，
∴B1F＝（15+15）cm，
∴BE﹣B1F＝（30+15）﹣（15+15）＝15cm，
故答案为：15．
16．【解答】解：∵P在双曲线y＝（x＞0）上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
∴S矩形APBO＝k1，
∵点D在双曲线y＝上，DN⊥x轴，
∴S矩形BOND＝k2，
连接OC，
∵点D在双曲线y＝上，
∴S△ACO＝k2，
∵PB＝3PD，
∴S矩形APDN＝S矩形APBO＝k1，S矩形BOND＝k2＝k1，
∵PD＝AN，PB＝OA，
∴AN＝OA，
∴S△ACN＝S△AOC＝k2＝k1，
∵S四边形PDNC＝S矩形APDN﹣S△ACN＝k1﹣k1＝2，
∴k1＝9，
故答案为：9．

三、计算题
17．【解答】解：
解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x＞﹣2，
所以这个不等式组的解集是﹣2＜x≤3．
18．【解答】解：（1﹣）÷（m﹣1）
＝（﹣）÷（m﹣1）
＝•
＝•
＝，
当m＝﹣1时，原式＝＝．
19．【解答】证明：
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝90°，∠CFD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△BAE和△DCF中

∴△BAE≌△DCF（AAS）．
20．【解答】解：（1）如图点M即为所求．


（2）∵△ADM∽△ABC，
∴＝，
∵在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，
∵cos∠BAD＝，
∴＝，
∴＝，
∵BC＝6，
∴DM＝9．
21．【解答】解：（1）由题可设l2的解析式为s＝k2t+b（k2≠0），
因为当t＝0时，s＝6；当t＝5时，s＝8，
代入得，
解得，
所以l2：s＝t+6（t≥0）．

（2）由题可设l1：s＝k1t，（k1≠0）
因为当t＝5时，s＝4，代入可得l1：s＝t（t≥0），
当二者处于同一高度时，t+6＝t，
解得t＝15，
此时s＝12．
即在15min时，二者处于同一高度12m．
因为12m＜16m，
所以探测气球甲从出发点上升到海拔16m处的过程中，当上升15min时探测气球甲、乙位于同一高度．
答：探测气球甲从出发点上升到海拔16m处的过程中，当上升15min时探测气球甲甲、乙位于同一高度．
22．【解答】解：（1）连接DG，交AP于点E，连接AG，如图1，

∵点G与点D关于直线AP对称，
∴AP垂直平分DG，
∴AD＝AG．
∵在△ADG中，AD＝AG，AE⊥DG，
∴∠PAG＝∠PAD＝30°，
又∵在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴AG＝AB，∠GAB＝∠DAB﹣∠PAD﹣∠PAG＝30°，
∴在△GAB中，∠ABG＝∠AGB＝＝75°，
∴∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝15°；

（2）连接DG，AG．

由（1）可知，在△ADG中，AD＝AG，
∠DAG＝∠PAD+∠PAG＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴DG＝AG＝AD，∠DAG＝∠ADG＝∠DGA＝60°，
又∵在矩形ABCD中，AB＝DC，∠DAB＝∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB﹣∠DAG＝∠ADC﹣∠ADG，
即∠GAB＝∠GDC＝30°，
∴△GAB≌△GDC（SAS），
∴GB＝GC．
当∠CGB＝120°时，点G可能在矩形ABCD的内部或外部．
若点G在矩形ABCD的内部，
∵在△BGC中，GB＝GC，∠CGB＝120°，
∴∠GBC＝＝30°，
∴∠GBA＝∠ABC﹣∠GBC＝90°﹣30°＝60°，
在△ABG中，∠AGB＝180°﹣∠GAB﹣∠GBA＝90°，
∴在Rt△ABG中，cos∠GAB＝＝＝，
∴a＝b，
若点G在矩形ABCD的外部，
在△BGC中，∠GBC＝30°，
∴∠ABG＝120°，
又∵∠GAB＝30°，
∴∠AGB＝180°﹣30°﹣120°＝30°．
∴BA＝BG，
过点B作BH⊥AG，垂足为H，
∴AH＝AG＝b．
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠HAB＝30°，
∴cos∠HAB＝＝，
∴a＝b，
在Rt△ADP中，∠ADP＝90°，∠PAD＝30°，
∴tan∠PAD＝＝，
∴DP＝b．
所以无论点G在矩形ABCD内部还是点G在矩形ABCD外部，都有DP≤DC，均符合题意．
综上，当∠CGB＝120°时a与b的数量关系为a＝b或 a＝b．
23．【解答】解：（1）解法一：500×64%+500×28%＝460（份）．
答：食堂每天需要准备460份午餐．
解法二：500﹣500×8%＝460（份）．
答：食堂每天需要准备460份午餐．
（2）①可以估计参加演练的100名职员用餐时间的平均数为：
＝＝19（min），
参加演练的100名职员取餐的人均时间：（min）；
可以估计：该公司用餐职员的用餐时间平均为19min，取餐职员取餐时间平均为0.1 min．
根据表格，可以估计第一批职员用餐19min后，空出的座位有：160×60%＝96（个）．
而第二批职员此时开始排队取餐，取完餐坐满这96个空位所用的时间约为：96×0.1＝9.6（min）．
根据表格，可以估计：第一批职员用餐19min后，剩下的职员在6min后即可全部结束用餐，因为9.6＞6，所以第二批取餐进入用餐区的职员都能保证有座位．
②可以估计140名只取餐的职员，需要14min可取完餐．
可设计时间安排表如下：
时间
取餐、用餐安排
12：00﹣12：19
第一批160名在食堂用餐的职员用餐；
仅在食堂取餐的140名职员取餐
12：19﹣13：00
第二批160名在食堂用餐的职员取餐、用餐
13：00﹣
食堂进行消杀工作
24．【解答】解：（1）如图1，在▱ABCD中，AB＝BC＝2，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴∠AMB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴r＝AB＝1；
（2）如图2，设圆心为如图点O，连接OA，OB，OC，OD，OE，直线OC与AD交于点N，则OA＝OB＝OE＝r．
在⊙O中，的长＝．
∵的长为r，
∴＝r，
∴n＝90°．即∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°．
在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝45°．
∴∠ABE＝∠ACB＝45°．
∴∠BAC＝90°，AB＝AC．
∴在Rt△ABC中，BC＝AB，
∵CE＝AB，
∴BC＝CE．
又∵OB＝OE，
∴OC⊥BE，
∴∠OCB＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠OCB＝∠ONA＝90°．
∴OC⊥AD．
在▱ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝45°．
∴AC＝CD．
∴AN＝ND．
即直线OC垂直平分AD，
∴OA＝OD．
∴点D在⊙O上，
∴DF为⊙O的直径．
∴∠DEF＝90°．


25．【解答】解：（1）∵点（1，2），（3，a）是一对泛对称点，
∴可设3t＝2，
解得t＝，
∴a＝t×1＝．
（2）设P，Q两点的坐标分别为P（p，tq），Q（q，tp），其中0＜p＜q，t＞0．

∵PA⊥x轴于点A，QB⊥y轴于点B，线段PA，QB交于点C，
∴点A，B，C的坐标分别为：A（p，0），B（0，tp），C（p，tp），
设直线AB，PQ的解析式分别为：y＝k1x+b1，y＝k2x+b2，其中k1 k2≠0．
分别将点A（p，0），B（0，tp）代入y＝k1x+b1，
得，解得．
分别将点P（p，tq），Q（q，tp）代入y＝k2x+b2，
得，解得．
∴k1＝k2．
∴AB∥PQ．
（3）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）交y轴于点D，
∴点D的坐标为（0，c）．
∵DM∥x轴，
∴点M的坐标为（xM，c），
又点M在抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）上．
可得axM 2+bxM+c＝c，即xM（axM+b）＝0．
解得xM＝0或xM＝﹣．
∵点M不与点D重合，即xM≠0，也即b≠0，
∴点M的坐标为（﹣，c）．
∵直线y＝ax+m经过点M，
∴将点M（﹣，c）代入直线y＝ax+m可得，a•（﹣）+m＝c．
化简得m＝b+c．
∴直线解析式为：y＝ax+b+c．
∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+b+c交于另一点N，
∴由ax2+bx+c＝ax+b+c，可得ax2+（b﹣a）x﹣b＝0．
∵△＝（b﹣a）2+4ab＝（a+b）2，
解得x1＝﹣，x2＝1．
即xM＝﹣，xN＝1，且﹣≠1，也即a+b≠0．
∴点N的坐标为（1，a+b+c）．
要使M（﹣，c）与N（1，a+b+c）是一对泛对称点，
则需c＝t×1且a+b+c＝t×（﹣）．
也即a+b+c＝（﹣）•c，也即（a+b）•a＝﹣（a+b）•c．
∵a+b≠0，
∴当a＝﹣c时，M，N是一对泛对称点．
∵对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形．
∴此时点M的坐标为（﹣，﹣a），点N的坐标为（1，b）．
∴M，N两点都在函数y＝（b≠0）的图象上．
∵a＜0，
∴当b＞0时，点M，N都在第一象限，此时y随x的增大而减小，
∴当yM＞yN时，0＜xM＜1；
当b＜0时，点M在第二象限，点N在第四象限，满足yM＞yN，此时xM＜0．
综上，对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M（xM，yM），N（xN，yN），当yM＞yN时，xM的取值范围是xM＜1且xM≠0．