2020届广东省湛江市高三9月调研测试 数学（理）
展开湛江市2020届高中毕业班调研测试题
理科数学
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1、＝
A． B． C． D、
2．已知集合A＝｛x｜x2＋2x一3＞0｝，B＝｛x｜0＜x≤4｝，则A∩B＝
A．｛x｜一3＜x≤4｝ B．｛x｜1＜x≤4｝
C．｛x｜一3＜x＜0或1＜x≤4｝ D．｛x｜一3＜x＜一1或1＜x≤4｝
3．已知抛物线C：y＝3 x2，则焦点到准线的距离是
A． B． C．3 D．
4．设，，，则
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
5．某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬
老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动．现有来自高一年级的
4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名．现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个
年级的概率是
6．函数的部分图象大致是
7．《九章算术》是我国最重要的数学典籍，曾被列为对数学发展形响最大的七部世界名著之
一。其中的“竹九节”问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列·已知
较粗的下3节共容4升，较瘦的上4节共容3升．根据上述条件，请问各节容积的总和是
A、 B、 C、 D、
8．已知的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
9．在以BC为斜边的直角△ABC中，AB＝2，，则＝
A、3 B、 C、 D、2
10·在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，点E为棱BB1上的点，且BE＝
2EB1，则异面直线DE与A1B1所成角的正弦值为
A、 B、 C、 D、
11．将函数g（x）＝cos2x一sin 2x图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得各
点向右平移个单位长度，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍，就得到函数的图象，则下列说法中正确的个数是
①函数的最小正周期为2
②函数的最大值为2，
③函数图象的对称轴方程为．
④设为方程的两个不相等的根，则的最小值为
A．1· B．2 C．3 D．4
12．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的右支
交于A，B两点（其中点A在第一象限）．设点H，G分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则
｜HG｜的取值范围是
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在点（1，f（l））处的切线方程为
14．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标XN（100，100），且110＜X＜120的产
品数量为5 436件．请估计该批次检测的产品数量是 件。
15、已知等比数列｛｝，＞0，，且，，则＝
16、在四面体ABCD中，∠ACB＝60º，∠DCA＝90º，DC＝CB＝CA＝2，二面角D－AC－B的大小
为120º，则此四面体的外接球的表面积是
三、解答题（共70分）
（一）必考题：共60分
17、（12分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（16b－11c）cosA＝11acosC。
（1）求cosA的值；
（2）若b＋c＝4，求a的最小值。
18.（12分）
某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛，学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对
抗赛实战训练．每队四名运动员，并统计了以往多次比赛成绩，按由高到低进行排序分别为
第一名、第二名、第三名、第四名．比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗，每场对
抗赛都互不影响，当甲、乙两队的四名队员都进行一次对抗赛后称为一个轮次．按以往多次
比赛统计的结果，甲、乙两队同名次进行对抗时，甲队队员获胜的概率分别为
（1)进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果？
(2)计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分，失败一方所在的队得0分．设进行
一个轮次对抗赛后甲队所得分数为X，求X的分布列及数学期望．
19.（12分）
如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥CB，AD＝2CB＝4，∠ABC=120º，E为AD的中点·
现分别沿BE，EC将△ABE和△ECD折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面ECD⊥平面BCE，
连接AD，如图2．
（1）若在平面BCE内存在点G，使得GD∥平面ABE，请问点G的轨迹是什么图形？并说明理由。
(2)求平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值．
20.（12分）
已知椭圆C：的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的
等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设动直线l交椭圆C于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k，k'，若kk'＝一，
求证△OPQ的面积为定值，并求此定值·
21．（ 12分）
已知函数．
(1)当a≤1时，讨论函数的零点个数，
(2)当a＝0时， [0，＋∞），证明不等式x[f (x)+2]+1≥(1+ sin x)2恒成立．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题
计分．
22.［选修4-4：坐标系与参数方程〕(10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数）。以坐标原
点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
(1)求曲线C的极坐标方程，
(2)设直线l与曲线C相交于不同的两点的取值范围。
23.〔选修4-5：不等式选讲〕（10分）
函数的最小值为t.
（1）求t的值，
(2）若a＞0，b＞0，且a＋b＝tab，求a2＋b2的最小值．
