北京市朝阳区2020届高三下学期学业水平等级性考试练习（一模）数学试题

北京市朝阳区高三年级高考练习一

                          数  学                     2020.4

（考试时间120分钟  满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，则

（A） （B） （C） （D）

（2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是

（A）           （B）     （C）      （D）

（3）在等比数列中，，，则的前项和为

（A）             （B）             （C）             （D）

（4）如图，在中，点，满足，．若，则

（A）            

（B）          

（C）            

（D）

（5）已知抛物线：的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，，则抛物线的方程为

（A）          （B）         （C）        （D）

（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为

（A）              （B）              （C）              （D）

（7）在中，，．若以，为焦点的双曲线经过点，则该双曲线的离心率为

（A）       （B）             （C）         （D）

（8）已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为，则“”是“的图象关于直线对称”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（9）已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为

 （A）   （B）         （C）           （D）

（10）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，点的位置是

（A）线段的三等分点，且靠近点

（B）线段的中点

（C）线段的三等分点，且靠近点

（D）线段的四等分点，且靠近点

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）若复数，则________．

（12）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为        ．

（13）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为；（ⅱ）当中签率不超过时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加．

为了使中签率超过，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动．

（14）已知函数．数列满足（），则数列的前项和是________．

（15）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.

给出下列三个结论：

① 曲线关于直线对称；

② 曲线上任意一点到原点的距离都不超过；

③ 存在一个以原点为中心、边长为的正方形，

使得曲线在此正方形区域内（含边界）．

其中，正确结论的序号是________．

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14分）

在中，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，        ．求.

从①， ②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

（17）（本小题14分）

如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是正方形，点，分别是棱，的中点，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若点在棱上，且，判断平面

 与平面是否平行，并说明理由．

（18）（本小题14分）

某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了位患者和位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：

（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；

（Ⅱ）从该地区患者中随机选取人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）假设该地区有万人，患病率为.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过？并说明理由.

（19）（本小题14分）

已知椭圆，圆（为坐标原点）.过点且斜率为的直线与圆交于点，与椭圆的另一个交点的横坐标为.

（Ⅰ）求椭圆的方程和圆的方程；

（Ⅱ）过圆上的动点作两条互相垂直的直线，，若直线的斜率为且与椭圆相切，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由.

（20）（本小题15分）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）判断函数的零点的个数，并说明理由；

（Ⅲ）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．

（21）（本小题14分）

设数列（）的各项均为正整数，且．若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质．

（Ⅰ）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论）

（Ⅱ）若数列具有性质，且，，，求的最小值；

（Ⅲ）若集合，且（任意， ）．求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列．