2020届江苏省南京市秦淮区高三第一次模拟考试适应性测试数学试题（解析版）

2020届江苏省南京市秦淮区高三第一次模拟考试适应性测试数学试题

一、填空题

1．设全集，若集合，则__________.

【答案】

【解析】利用补集定义直接求解即可．

【详解】

∵全集，集合，

∴，

故答案为．

【点睛】

本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．

2．已知复数（是虚数单位），则的共轭复数为_______．

【答案】

【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简得，再由共轭复数的定义得答案．

【详解】

∴．

故答案为

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，属于基础题．

3．函数f（x）的定义域为_____．

【答案】（1，+∞）

【解析】若函数有意义,则,求解即可.

【详解】

由题,若函数有意义,则,解得,所以定义域为,

故答案为:

【点睛】

本题考查具体函数的定义域,属于基础题.

4．根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为_____．

【答案】65

【解析】根据程序伪代码列出程序的每一步,进而可得输出结果.

【详解】

由题,,,

,,

,,

,,此时输出,

故答案为:65

【点睛】

本题考查利用程序的伪代码求算法的输出结果,属于基础题.

5．某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是_____．

【答案】75%

【解析】设“选出代表是女生”的概率为,则“选出代表是男生”的概率为,则,进而求解即可.

【详解】

设“选出代表是女生”的概率为,则“选出代表是男生”的概率为,

因为,所以,

所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为,

故答案为:

【点睛】

本题考查概率性质以及对立事件概率,属于基础题.

6．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为_______．

【答案】

【解析】双曲线的渐近线方程为，

根据题意知，所以.

双曲线的离心率.

故答案为：.

点睛：在双曲线中，

（1）离心率为，

（2）焦点为，其中；

（3）渐近线为：.

7．已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为，则该棱锥的体积为__________.

【答案】

【解析】侧面的高，正四棱的高为，体积为，故答案为.

8．函数，则f（f（0））＝_____．

【答案】

【解析】先求得,则,进而求解即可.

【详解】

由题,,则,

故答案为:

【点睛】

本题考查分段函数求函数值,属于基础题.

9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为，圆心在y轴上，且圆C与直线2x+3y﹣10＝0相切于点P（2，2），则圆C的标准方程是_____．

【答案】x2+（y+1）2＝13

【解析】设圆心为,由圆C与直线相切可得,再由切点为可得,进而求解即可.

【详解】

由题,设圆心为,

则,

所以或,

又,所以,

故圆的标准方程为,

故答案为:

【点睛】

本题考查圆的标准方程,考查点到直线距离公式的应用,考查圆的切线的几何性质的应用.

10．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2＝_____．

【答案】

【解析】由题可得,进而利用平面向量分解定理求解即可.

【详解】

由题,因为,

所以,

所以,,

则,

故答案为:

【点睛】

本题考查平面向量分解定理的应用,考查数乘向量.

11．已知e为自然对数的底数．若不等式（ex﹣1﹣1）（x﹣a）≥0恒成立，则实数a的值是_____．

【答案】1

【解析】若,则与同号,分别讨论与时的情况,进而求解即可.

【详解】

若,则与同号,

当时,,此时,即,所以；

当时,,此时,即,所以,

综上,,

故答案为:1

【点睛】

本题考查不等式的恒成立问题,考查分类讨论思想.

12．在等差数列{an}中，已知公差d≠0，a22＝a1a4，若，…成等比数列，则kn＝_____．

【答案】3n+1

【解析】由等差数列的通项公式可得,解得,即,则可分析得到成等比数列,进而求解即可.

【详解】

由题,因为,即,解得,

所以,

因为成等比数列,即成等比数列,

则成等比数列,

则,,

所以,

故答案为:

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式的应用,考查等比数列的定义的应用.

13．在平面直角坐标系xOy中，直线l是曲线M：y＝sinx（x∈[0，π]）在点A处的一条切线，且l∥OP，其中P为曲线M的最高点，l与x轴交于点B，过A作x轴的垂线，垂足为C，则_____．

【答案】

【解析】由点 P为曲线M的最高点可得为,则,设点为,求导可得,即直线的方程为,则点为,进而求解即可.

【详解】

由题,点 P为曲线M的最高点,所以点为,则,

因为,所以,

由,所以,

设点为,则点为,所以,则,

则直线为,

令,则,即点为,

所以,,

所以,

故答案为:

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用,考查坐标法求数量积,考查运算能力.

14．在锐角三角形ABC中，已知4sin2A+sin2B＝4sin2C，则的最小值为_____．

【答案】

【解析】由正弦定理可得,设边上的高为,,,,则,可解得,再利用三角函数定义可得,进而消去x，再根据基本不等式求解即可.

【详解】

由题,根据正弦定理可得,

设边上的高为,,,,则,

因为,所以,

即,可得,

又,即,所以,

所以

,当且仅当时等号成立,

所以的最小值为,

故答案为:

【点睛】

本题考查利用正弦定理化角为边,考查三角函数定义的应用,考查利用均值定理求最值.

二、解答题

15．如图，在△ABC中，已知B，AB＝3，AD为边BC上的中线，设∠BAD＝α，若cosα．

（1）求AD的长；

（2）求sinC的值．

【答案】（1）AD（2）sinC．

【解析】（1）由题,先求得,在中利用正弦定理求解即可；

（2）由（1）可得,在中先利用余弦定理求得,再利用正弦定理求解即可.

【详解】

（1）由题,因为∠BAD＝α,且cosα,所以,

所以,

又在△ABD中,已知B,AB＝3,AD为边BC上的中线,

则根据正弦定理可得,即,

解得BD,AD

（2）由（1）,,

根据余弦定理可得,,解得AC,

则由正弦定理可得,解得sinC.

【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形,考查利用余弦定理解三角形,考查运算能力.

16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD，BD＝CD，E，F分别为BC，PD的中点．

（1）求证：EF∥平面PAB；

（2）求证：平面PBC⊥平面EFD．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】（1）取PA中点G,连接BG,FG,由中位线的性质可得FG∥AD,FG,且BE∥AD,BFAD,则四边形BEFG为平行四边形,进而求证即可；

（2）由PD⊥平面ABCD可得PD⊥BC,在由等腰三角形的性质可得DE⊥BC,进而求证即可.

【详解】

证明：（1）如图,取PA中点G,连接BG,FG,

∵F为PD的中点,∴FG∥AD,且FG,

∵E为BC的中点,∴BE∥AD,且BFAD,

∴FG∥BE,FG＝BE,则四边形BEFG为平行四边形,

∴EF∥BG,

又BG平面PAB,EF平面PAB,

∴EF∥平面PAB

（2）∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC,

∵BD＝CD,E为BC的中点,∴DE⊥BC,

又PDDE＝D,平面PDE,

∴BC⊥平面PDE,

又BC平面PBC,

∴平面PBC⊥平面EFD.

【点睛】

本题考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查推理论证能力.

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，右焦点F到右准线的距离为3．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x2+y2＝a2截得的弦长为，求△OPQ的面积．

【答案】（1）1；（2）．

【解析】（1）由题可得,,再由可求得,即可得到椭圆方程；

（2）显然直线的斜率不为0,设直线l的方程为x＝my+1,与椭圆方程联立,则利用韦达定理可得的纵坐标的关系,再根据弦长公式求得,由直线截圆的弦长求得,进而求解即可.

【详解】

（1）由题意知,,

因为,解得a2＝4,b2＝3,

所以椭圆的方程为:1

（2）由题意知直线l的斜率不为0,由（1）知F（1,0）,

设直线l的方程为x＝my+1,P（x,y）,Q（x',y'）,

联立直线l与椭圆的方程整理得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0,

所以y+y',yy',

所以|PQ|,

因为圆O:x2+y2＝4到l的距离d,被圆O:x2+y2＝4截得的弦长为,

所以得14＝4（4）,解得m2＝1,

所以d,|PQ|,

所以S△OPQ.

【点睛】

本题考查由椭圆的几何性质求椭圆的方程,考查椭圆内的三角形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查圆的弦长的应用.

18．如图，，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路上一游客休息区，已知，（百米），Q到直线，的距离分别为3（百米），（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路于点B，并在B处修建一游客休息区.

（1）求有轨观光直路的长；

（2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，（百米）（，）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道以（百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.

【答案】（1）；（2）喷泉的水流不会洒到观光车上，理由见解析

【解析】（1）建立如图平面直角坐标系，易得，直线的方程为，，由点到直线距离，求出，从而直线的方程为，联产方程组求出的坐标，由此能求出轨道的长；

（2）将喷泉记为圆，由题意得，生成分钟时，观光车在线段AB上的点C处，则，，从而，若喷泉不会洒到观光车上，则对恒成立，由此能求出喷泉的水流不会洒到观光车上.

【详解】

（1）以点O为坐标原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

则由题设得：，直线的方程为，（）.

由，解得，所以.

故直线的方程为，

由得

即，故，

答：水上旅游线的长为.

（2）将喷泉记为圆P，由题意可得，

生成t分钟时，观光车在线段上的点C处，

则，，所以.

若喷泉不会洒到观光车上，则对恒成立，

即，

当时，上式成立，

当时，，，当且仅当时取等号，

因为，所以恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上.

答：喷泉的水流不会洒到观光车上.

【点睛】

本题考查轨道长的求法，考查喷泉的水流能否洒到观光车上的判断，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，属于中档题.

19．在数列{an}中，a1＝3，且对任意的正整数n，都有an+1＝λan+2×3n，其中常数λ＞0．

（1）设bn．当λ＝3时，求数列{bn}的通项公式；

（2）若λ≠1且λ≠3，设cn＝an，证明：数列{cn}为等比数列；

（3）当λ＝4时，对任意的n∈N，都有an≥M，求实数M的最大值．

【答案】（1）；（2）证明见解析（3）最大值为3．

【解析】（1）当可得,等式两边同除,进而根据等差数列定义以及通项公式求解即可；

（2）将代入中,整理后得递推关系，再根据等比数列定义即可证明；

（3）当时可得,等式两边同除并设,则,利用累加法求得,即可求得,再判断数列的单调性,进而求解即可.

【详解】

（1）当λ＝3时,有an+1＝3an+2×3n,

∴,

,则,

又∵,∴数列{bn}是首相为1,公差为的等差数列,

∴

（2）证明：当λ＞0且λ≠1且λ≠3时,

,

又∵,

∴数列是首项为,公比为λ的等比数列

（3）当λ＝4时,an+1＝4an+2×3n,

∴,

设pn,∴,

∴,

,

,

,

∴,

以上各式累加得:,

又∵,

∴,

∴,

∴,

,显然数列{an}是递增数列,

∴最小项为a1＝3,

∵对任意的n∈N,都有an≥M,∴a1≥M,即M≤3,

∴实数M的最大值为3.

【点睛】

本题考查等比数列的证明,考查由递推公式得数列的通项公式,考查数列的单调性的应用.

20．已知函数g（x）＝ex﹣ax2﹣ax，h（x）＝ex﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．

（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．

①讨论f（x）的单调性；

②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

（2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：．

【答案】（1）①见解析；②（0，1）；（2）证明见解析

【解析】（1）①对求导,分别讨论与的情况即可；

②由①若有两个不同的零点,则,由于当x→0时,f（x）→+∞；当x→+∞时,f（x）→+∞,则只需使得即可,进而求解；

（2）先对求导,由题可得,两式相减可得,转化为,设,即证,进而利用导函数判断单调性证明即可.

【详解】

（1）f（x）＝h（x）﹣g（x）＝ex﹣2x﹣lnx﹣ex+ax2+ax＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx（x＞0）,

①（x＞0）,

（i）当a≤0时,f′（x）＜0,函数f（x）在（0,+∞）上递减；

（ii）当a＞0时,令f′（x）＞0,解得；令f′（x）＜0,解得,

∴函数f（x）在递减,在递增；

综上,当a≤0时,函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；

当a＞0时,函数f（x）在上单调递减,在上单调递增

②由①知,若a≤0,函数f（x）在（0,+∞）上单调递减,不可能有两个不同的零点,故a＞0；

且当x→0时,f（x）→+∞；当x→+∞时,f（x）→+∞；

故要使函数f（x）有两个不同的零点,只需,即,

又函数在（0,+∞）上为增函数,且,故的解集为（0,1）,

故实数a的取值范围为（0,1）

（2）证明: g′（x）＝ex﹣2ax﹣a,依题意,则,两式相减得,,

因为a＞0,要证,即证,即证，

两边同除以,即证,

令t＝x1﹣x2（t＜0）,即证,

令,则,

令,则,

当t＜0时,p′（t）＜0,所以p（t）在（﹣∞,0）上递减,

∴p（t）＞p（0）＝0,

∴h′（t）＜0,

∴h（t）在（﹣∞,0）上递减,

∴h（t）＞h（0）＝0,即,

故.

【点睛】

本题考查利用导函数判断函数单调性,考查极值点的应用,考查不等式的证明.