2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（四） 数学（文）（解析版）

2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷（四）
数学（文）（解析版）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝(　　)
A．[－，] B．[－1，]
C．∅ D．(－1，]
答案　B
解析　因为集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}＝{y|y≥－1}，N＝{x|y＝}＝{x|－≤x≤}，则M∩N＝[－1，]．
2．设命题p：∃x∈Q,2x－ln xz2；④对于复数z，若|z|＝1，则z＋∈R.
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　C
解析　①z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，若z为纯虚数，则a＋1＝0，1－a≠0，得a＝－1，故①正确；②设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，那么z＋＝2a∈R，z·＝a2＋b2∈R，故②正确；③令z1＝3＋i，z2＝－2＋i，满足z1－z2>0，但不满足z1>z2，故③不正确；④设z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b不同时为0，由|z|＝1，得a2＋b2＝1，则z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝2a∈R，故④正确．
5．关于直线a，b及平面α，β，下列命题中正确的是(　　)
A．若a∥α，α∩β＝b，则a∥b
B．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
C．若a⊥α，α∥β，则α⊥β
D．若a∥α，b⊥a，则b⊥α
答案　C
解析　A错误，因为a不一定在平面β内，所以a，b有可能是异面直线；B错误，若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行，可能相交，也可能m在β内；由直线与平面垂直的判断定理能得到C正确；D错误，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．
6．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6,3a4，－a5成等差数列，则＝(　　)
A．3 B．9 C．10 D．13
答案　C
解析　因为a6,3a4，－a5成等差数列，所以6a4＝a6－a5，设等比数列{an}的公比为q，则6a4＝a4q2－a4q，解得q＝3或q＝－2(舍去)，所以＝＝1＋q2＝10.
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－2,0)，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为b，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由左焦点为F1(－2,0)，可得c＝2，即a2－b2＝4，过点F1作倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d＝＝1，
由直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为b，
可得2＝b，解得b＝2，a＝2，
则椭圆的标准方程为＋＝1.
8．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”以下推论可能正确的是(　　)
A．乙、丙两个人去了 B．甲一个人去了
C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了
答案　C
解析　因为乙说“丙去我就不去”，且丙一定去，所以A，D不可能正确．因为丁说“甲、乙中只要有一人去，我就去”，所以B不可能正确．选C.
9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n的最小值．执行该程序框图，则输出的n＝(　　)

A．50 B．53 C．59 D．62
答案　B
解析　模拟程序运行，变量n值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n＝53.
10．(2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|f(2)
B．f>f(2)>f(2)
C．f(2)>f(2)>f
D．f(2)>f(2)>f
答案　C
解析　因为f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f＝f(－log34)＝f(log34)．
又因为log34>1>2>2－>0，
且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(log34)0)的最大值为4，则＋的最小值为________．
答案　2
解析　不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，

当直线z＝mx＋ny(m>0，n>0)过直线x＝y与直线2x－y＝2的交点(2,2)时，
目标函数z＝mx＋ny(m>0，n>0)取得最大值4，
即2m＋2n＝4，即m＋n＝2，
而＋＝(m＋n)
＝≥×(2＋2)＝2，
当且仅当m＝n＝1时取等号，故＋的最小值为2.
15．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，若·＝0，△PF1F2的面积为9，且a＋b＝7，则该双曲线的离心率为________．
答案　
解析　设||＝m，||＝n，
∵·＝0，△PF1F2的面积为9，
∴mn＝9，即mn＝18，
∵在Rt△PF1F2中，根据勾股定理，得m2＋n2＝4c2，
∴(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝4c2－36，
结合双曲线的定义，得(m－n)2＝4a2，
∴4c2－36＝4a2，化简整理，得c2－a2＝9，即b2＝9，
可得b＝3.结合a＋b＝7得a＝4，∴c＝＝5，
∴该双曲线的离心率为e＝＝.
16．已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2ln x．若函数f(x)在上无零点，则a的最小值为________．
答案　2－4ln 2
解析　因为f(x)0恒成立，
即对任意的x∈，a>2－恒成立．
令l(x)＝2－，x∈，
则l′(x)＝，
再令m(x)＝2ln x＋－2，x∈，
则m′(x)＝－＋＝m＝2－2ln 2>0，
从而l′(x)>0，于是l(x)在上为增函数，所以l(x)2－恒成立，只要a∈[2－4ln 2，＋∞)，
综上，若函数f(x)在上无零点，则a的最小值为2－4ln 2.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(2019·陕西咸阳模拟二)(本小题满分12分)交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是a元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：
类型
浮动因素
浮动比率
A1
上一年度未发生有责任的道路交通事故
下浮10%
A2
上两年度未发生有责任的道路交通事故
下浮20%
A3
上三年度未发生有责任的道路交通事故
下浮30%
A4
上一年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
0%
A5
上一年度发生两次及以上有责任不涉及死亡的道路交通事故
上浮10%
A6
上三年度发生有责任涉及死亡的道路交通事故
上浮30%
据统计，某地使用某一品牌7座以下的车大约有5000辆，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：
类型
A1
A2
A3
A4
A5
A6
数量
50
10
10
m
3
2
将这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率，按照我国《机动车交通事故责任保险条例》汽车交强险价格为a＝950元．
(1)求m的值，并估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数；
(2)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率．
解　(1)m＝100－50－10－10－3－2＝25，3分
估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数为5000×＝250.6分
(2)解法一：保费不超过950元的类型有A1，A2，A3，A4，所求概率为＝0.95.12分
解法二：保费超过950元的类型有A5，A6，概率为＝0.05，因此保费不超过950元的概率为1－0.05＝0.95.12分
18．(本小题满分12分)已知向量a＝(cosx，－1)，b＝，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)的图象经过点，b，a，c成等差数列，且·＝9，求a的值．
解　f(x)＝(a＋b)·a－2＝|a|2＋a·b－2＝cos2x＋sin2x＝
sin.2分
(1)最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).4分
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).5分
(2)由f(A)＝sin＝可得，2A＋＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)，所以A＝，7分
又因为b，a，c成等差数列，所以2a＝b＋c，而·＝bccosA＝bc＝9，所以bc＝18，9分
所以cosA＝＝－1＝－1＝－1，
所以a＝3.12分
19．(2019·昆明模拟)(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，∠BCC1＝，AB＝BB1＝2，BC＝1，D为CC1的中点．

(1)求证：DB1⊥平面ABD；
(2)求点A1到平面ADB1的距离．
解　(1)证明：在平面四边形BCC1B1中，
因为BC＝CD＝DC1＝1，∠BCD＝，所以BD＝1，
又易知B1D＝，BB1＝2，所以∠BDB1＝90°，
所以B1D⊥BD，
因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥DB1，3分
所以B1D与平面ABD内两相交直线AB和BD同时垂直，
所以DB1⊥平面ABD.5分
(2)对于四面体A1－ADB1，A1到直线DB1的距离，即A1到平面BB1C1C的距离，A1到B1D的距离为2，设A1到平面AB1D的距离为h，
因为△ADB1为直角三角形，
所以S△ADB1＝AD·DB1＝××＝，
所以VA1－ADB1＝××h＝h，7分
因为S△AA1B1＝×2×2＝2，
D到平面AA1B1的距离为，
所以VD－AA1B1＝×2×＝，9分
因为VA1－ADB1＝VD－AA1B1，所以＝，
解得h＝.
所以点A1到平面ADB1的距离为.12分
20．(2019·湖南师大附中模拟三)(本小题满分12分)已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设直线y＝kx＋b与轨迹C交于两点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，且|y1－y2|＝a(a＞0，且a为常数)，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交轨迹C于点D，连接AD，BD.试判断△ABD的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解　(1)设P(x，y)，则Q(－1，y)，
∵·＝·，
∴(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
即2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2，即y2＝4x，所以动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.4分
(2)联立得ky2－4y＋4b＝0，
依题意，知k≠0，且y1＋y2＝，y1y2＝，
由|y1－y2|＝a，得(y1＋y2)2－4y1y2＝a2，
即－＝a2，整理，得16－16kb＝a2k2，
所以a2k2＝16(1－kb)，　①7分
因为AB的中点M的坐标为，
所以点D，
则S△ABD＝|DM|·|y1－y2|＝a，9分
由方程ky2－4y＋4b＝0的判别式Δ＝16－16kb＞0，得1－kb＞0，所以S△ABD＝··a，
由①，知1－kb＝，所以S△ABD＝··a＝，又a为常数，
故S△ABD的面积为定值.12分
21．(2019·陕西榆林二模)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1＋ln x－ax2.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)证明：xf(x)＜·ex＋x－ax3.
解　(1)f(x)＝1＋ln x－ax2(x＞0)，
f′(x)＝，
当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；2分
当a＞0时，x∈，f′(x)＞0，x∈，f′(x)＜0，∴函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.4分
(2)证法一：xf(x)＜·ex＋x－ax3，即证·－ln x＞0，令φ(x)＝·－ln x(x＞0)，φ′(x)＝，令r(x)＝2(x－1)ex－e2x，r′(x)＝2xex－e2，7分
r′(x)在(0，＋∞)上单调递增，r′(1)＜0，r′(2)＞0，
故存在唯一的x0∈(1,2)使得r′(x)＝0，
∴r(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，∵r(0)＜0，r(2)＝0，
∴当x∈(0,2)时，r(x)＜0，当x∈(2，＋∞)时，r(x)＞0；
∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证.12分
证法二：要证xf(x)＜·ex－ax3，即证·＞，
令φ(x)＝·(x＞0)，φ′(x)＝，7分
∴当x∈(0,2)时，φ′(x)＜0，当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)＞0.
∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)≥φ(2)＝.
令r(x)＝，则r′(x)＝，
当x∈(0，e)时，r′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，r′(x)＜0.
∴r(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴r(x)≤r(e)＝，
∴φ(x)≥＞≥r(x)，∴·>，得证.12分
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，M为曲线C1上的动点，动点P满足＝a(a>0且a≠1)，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求曲线C2的方程，并说明C2是什么曲线；
(2)在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A点的极坐标为，射线θ＝α与C2的异于极点的交点为B，已知△AOB面积的最大值为4＋2，求a的值．
解　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
由＝a，得∴
∵M在C1上，∴
即(θ为参数)，
消去参数θ得(x－2a)2＋y2＝4a2(a≠1)，
∴曲线C2是以(2a,0)为圆心，以2a为半径的圆.5分
(2)解法一：A点的直角坐标为(1，)，
∴直线OA的普通方程为y＝x，即x－y＝0，
设B点的坐标为(2a＋2acosα，2asinα)，则B点到直线x－y＝0的距离d＝＝a，
∴当α＝－时，dmax＝(＋2)a，
∴S△AOB的最大值为×2×(＋2)a＝4＋2，
∴a＝2.10分
解法二：将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(x－2a)2＋y2＝4a2并整理得，ρ＝4acosθ，令θ＝α得ρ＝4acosα，
∴B(4acosα，α)，
∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB
＝4acosα
＝a|2sinαcosα－2cos2α|
＝a|sin2α－cos2α－|＝a.
∴当α＝－时，S△AOB取得最大值(2＋)a，
依题意有(2＋)a＝4＋2，∴a＝2.10分
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|3x－1|＋|3x＋k|，g(x)＝x＋4.
(1)当k＝－3时，求不等式f(x)≥4的解集；
(2)设k>－1，且当x∈时，都有f(x)≤g(x)，求k的取值范围．
解　(1)当k＝－3时，f(x)＝
故不等式f(x)≥4可化为或
或解得x≤0或x≥，
∴所求解集为.5分
(2)当x∈时，由k>－1有，3x－1－1，故－1