数学选择性必修 第三册7.5 正态分布综合训练题

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1 正态分布的概念
若连续型随机变量的概率密度函数为
其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为.
的图象称为正态曲线.
2 正态分布的期望与方差
若，则
3 正态曲线的性质

① 曲线在轴的上方，与轴不相交；
② 曲线关于直线对称；
③ 曲线在时达到峰值；
④ 曲线与轴之间的面积为；
⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近；
⑥ 曲线的形状由确定，
越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
4若，取值不超过的概率为区域的面积，而为区域的面积.
5 原则
假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地，

在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量只取之间的值，并简称之为 原则.
6 标准正态分布
① 在标准正态分布表中相应于的值是指总体取值小于的概率，
即
时，则的值可在标准正态分布表中查到；
时，可利用其图象的对称性获得来求出，

② 与的关系：
若 ，则，有；
若，则.
【题型一】正态分布的概念与性质
【典题1】已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
【典题2】 已知连续型随机变量，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．
D．
巩固练习
1(★) 【多选题】已知，，，则( )
A．曲线与轴围成的几何图形的面积小于
B．函数图象关于直线对称
C．
D．函数在上单调递增
2(★) 【多选题】已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
3(★) 设随机变量，若，则( )
A．B．C．D．
4(★★) 设，这两个正态曲线如图所示，下列说法正确的是( )
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【题型二】 正态分布的计算问题
【典题1】 已知随机变量服从正态分布，若，，
则( )
A．B．C．D．
【典题2】 随机变量服从正态分布，，，则的最小值为 ．
巩固练习
1(★★) 若随机变量服从分布，且，则( )
A．B．C．D．
2(★★) 若随机变量，若，则( )
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
3(★★) 2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2019年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量服从正态分布，若，则的最小值为 ．
【题型三】 正态分布的实际应用
【典题1】 为了研究新冠疫情期间学生上网课的学习效果，学生返校复课后，某市对高三年级组织了一次调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法正确的是( )
A．本次调研考试的平均分为85
B．本次调研考试的方差为81
C．随机抽查一名学生，其成绩在125分以上的概率比成绩在45分以下的概率大
D．本次调研考试，其成绩在(75，85)和在(85，95)的人数大致一样多
【典题2】 甲、乙两类水果的质量(单位：)分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是( )
A．甲类水果的平均质量
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
【典题3】 2020年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取500名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图：
(1)求这500名考生的本次数学竞赛的平均成绩精确到整数)；
(2)由频率分布直方图可认为：这次竞赛成绩服从正态分布，其中近似等于样本的平均数，近似等于样本的标准差，并已求得．用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取10名学生，记这次数学竞赛成绩在(86，140]之外的人数为，求的值(精确到0.001)．
附：(1)当时，，；(2)．
【典题4】 “公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布)考试后考试成绩的部分统计结果如下：
考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．
(1)最低录取分数是多少？(结果保留为整数)
(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．
参考资料：(1)当时，令，则．
(2)当时，，，
，．
(3)
【典题5】 年月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等省市发布高考综合改革实施方案，决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考模式．所谓，即是指考生必选语文、数学、外语这三科；是指考生在物理、历史两科中任选一科；是指考生在生物、化学、思想政治、地理四科中任选两科．
(1)若某考生按照模式随机选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率．
(2)新冠疫情期间，为积极应对新高考改革，某地高一年级积极开展线上教学活动．教育部门为了解线上教学效果，从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分．
①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，请用你所学的统计知识估计甲能否获得荣誉证书，并说明理由；
②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪，并说明理由．
附：；；
．
巩固练习
1(★) 【多选题】甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )
附：若随机变量X服从正态分布，则
A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
D．若，则甲同学成绩高于分的概率约为
2(★) 为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各名，让他们同时完成多个任务．以下个结论中，对志愿者完成任务所需时间分布图表理解正确的是( )
①总体看女性处理多任务平均用时更短；
②所有女性处理多任务的能力都要优于男性；
③男性的时间分布更接近正态分布；
④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数，且男性处理多任务的用时绝对值大．
A．①④B．②③C．①③D．②④
3(★★) 某批零件的尺寸服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则的最小值为( )
A．7B．6C．5D．4
4(★★) 近几年，中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植和销售红玫瑰和白玫瑰．该农户从去年的销售数据中随机抽取了红玫瑰10天的销量数据如下(单位：枝)：
615，575，625，590，600，600，570，615，580，630．
(Ⅰ)求这10天红玫瑰销量的平均数和方差；
(Ⅱ)若这个大棚红玫瑰的日销量服从正态分布，其中可分别用(Ⅰ)中的和代替，白玫瑰的日销量Y服从正态分布，又已知红玫瑰的售价为2元/枝，白玫瑰的售价为4元/枝，预计今年哪种玫瑰的日销售额超过1280元的天数更多．
5 (★★★) 2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；
(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
利用直方图得到的正态分布，求．
(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到0.0001)以及的数学期望．
参考数据：．若，则．
6 (★★★) 新型冠状病毒最近在全国蔓延，具有很强的人与人之间的传染性，该病毒在进入人体后一般有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间．假设每位病毒携带者在潜伏期内每天有位密切接触者，接触病毒携带者后被感染的概率为，每位密切接触者不用再接触其他病毒携带者．
(1)求一位病毒携带者一天内感染的人数的均值；
(2)若，时，从被感染的第一天算起，试计算某一位病毒携带者在14天潜伏期内，被他平均累计感染的人数(用数字作答)；
(3)3月16日20时18分，由我国军事科学院军事科学研究院陈薇院士领衔的科学团队，研制重组新型冠状病毒疫苗获批进入临床状态，新疫苗的使用，可以极大减少感染新型冠状病毒的人数，为保证安全性和有效性，某科研团队抽取500支新冠疫苗，观测其中某项质量指标值，得到如图频率分布直方图：
①求这500支该项质量指标值得样本平均值同一组的数据用该组区代表间的中点值)；
②由直方图可以认为，新冠疫苗的该项质量指标值Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算可得这500支新冠疫苗该项指标值的样本方差．现有5名志愿者参与临床试验，观测得出该项指标值分别为：206，178，195，160，229试问新冠疫苗的该项指标值是否正常，为什么？
参考数据：，若，则，，．
7 (★★★★) 2019年7月1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳖召开，以“新时代、新变革、新产业”为主题，突出电动化、智能化、共享化融合发展特色．某汽车公司顺应时代潮流，新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，经计算样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，
，．
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格(从到)，若掷出反面，遥控车向前移动两格(从到)，直到遥控车移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时，游戏结束．设遥控车移到第格的概率为，试说明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．