2025高考数学一轮复习6.1数列的概念与简单表示法【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习6.1数列的概念与简单表示法【课件】，共58页。PPT课件主要包含了知识诊断自测，考点聚焦突破，考点三数列的性质，ABD，课时分层精练，BCD等内容，欢迎下载使用。
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.数列的定义按照____________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.5.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　)(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.(　　)(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　　)(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
解析　(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.(3)数列可以是常数列或摆动数列.
3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2，则{an}的通项公式an＝_______________.
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2－(n－1)2－2＝2n－1，又当n＝1时，a1＝S1＝3，不满足上式.
4.已知an＝n2－3n＋1，则数列{an}的最小项为____________.
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　由an与Sn的关系求通项
例1 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________.
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a1＝3也满足上式，∴an＝2n＋1.
(2)已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
解析　当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.当n≥2时，Sn＝2an＋1，①Sn－1＝2an－1＋1.②①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项为a1＝－1，公比为q＝2的等比数列.∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
迁移 在本例(1)中，若Sn＝n2＋2n＋1，求an.
解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，又当n＝1时，a1＝S1＝4，不满足上式，
训练1 (1)(2024·山西名校联考)已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an ＝(n＋1)2，n∈N*，则{an}的通项公式an＝________________.
解析　因为a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2，①所以a1＝22＝4，当n≥2时，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＝n2，②
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
解析　因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以由两式联立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
考点二　由数列的递推关系求通项公式
角度1　累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an例2 (2024·西安质检)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则数列{an}的通项公式是_________________.
解析　依题意，an＋1＝an＋n＋1，当n≥2时，an＝an－1＋n，即an－an－1＝n，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，…an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式相加得an－a1＝ln n－ln 1，则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也满足此式，因此an＝2＋ln n(n∈N*).
∴当n≤4时，数列{an}单调递减，且an＜1；当n≥5时，数列{an}单调递减，且an＞1，故an的最大值为a5＝3，最小值为a4＝－1，∴an的最大值与最小值之和为2.
(2)已知数列{an}满足an＝n2－λn(n∈N*)，若{an}是递增数列，则λ的取值范围是______________.
解析　已知an＝n2－λn(n∈N*)，若{an}是递增数列，则当n≥2时，an＝n2－λn>an－1＝(n－1)2－λ(n－1)，得2n－1>λ，所以λ0，即a6时，有a>1，
可知数列{an}是以3为周期的数列，因此a2 025＝a3×674＋3＝a3＝－1.
8.(2024·深圳调研)已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋4n(n∈N*)，则a5＝________.
解析　当n＝1时，a1＝S1＝－2＋4＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋4n－[－2(n－1)2＋4(n－1)]＝－4n＋6.当n＝1时上式也符合，所以an＝－4n＋6.所以a5＝－20＋6＝－14.
解析　由Sn＝2an＋1＋1，①得Sn－1＝2an＋1，n≥2，②①－②得an＝2an＋1－2an，
10.若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝__________，数列{nan}中数值最小的项是第________项.
解析　∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式.∴an＝2n－11(n∈N*).记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
∴当n＝3时，f(n)取最小值，∴数列{nan}中数值最小的项是第3项.
11.求下列数列{an}的通项公式.(1)a1＝1，an＋1＝an＋3n；
解　由an＋1＝an＋3n得an＋1－an＝3n，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
(2)a1＝1，an＋1＝2nan.
12.已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；
解　∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，即nan＋1＝(n＋1)an，
(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围.
解　bn＝3n－λn2.bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1).∵数列{bn}为递增数列，∴2·3n－λ(2n＋1)＞0，
∴{cn}为递增数列，∴λ＜c1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2).
解析　∵an＋2－an≤3n，∴an＋4－an＋2≤3n＋2，an＋6－an＋4≤3n＋4，∴an＋6－an＝(an＋6－an＋4)＋(an＋4－an＋2)＋(an＋2－an)≤3n＋4＋3n＋2＋3n＝3n(34＋32＋1)＝91·3n，又an＋6－an≥91·3n，∴an＋6－an＝91·3n，
∴an＋2－an＝3n，an＋4－an＋2＝3n＋2，an＋6－an＋4＝3n＋4，∴a3－a1＝3，a5－a3＝33，…，an＋2－an＝3n，∴a2n＋1－a1＝(a2n＋1－a2n－1)＋(a2n－1－a2n－3)＋…＋(a5－a3)＋(a3－a1)＝32n－1＋32n－3＋…＋33＋3，则a2n＋1＝a1＋3＋33＋…＋32n－3＋32n－1，
14.(2024·石家庄调研)已知数列{an}满足2an＋1＝4＋anan＋1，且a3＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 024＝________.
所以数列{an}是以3为周期的周期数列.在2an＋1＝4＋anan＋1中，
令n＝2，得2a3＝4＋a2a3，即2＝4＋a2，则a2＝－2，令n＝1，得2a2＝4＋a1a2，即－4＝4－2a1，则a1＝4，所以S2 024＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a2 020＋a2 021＋a2 022)＋a2 023＋a2 024＝674×(a1＋a2＋a3)＋a1＋a2＝674×(4－2＋1)＋4－2＝2 024.
解析　由n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，得n2an－(Sn－Sn－1)＝n2an－1，所以(n2－1)an＝n2an－1，
15.在数列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，记
可知1>a1>a2>a3>a4>a5，a6>a7>…＞an>1(n∈N*).∴数列{an}中的最大项为a6＝2，最小项为a5＝0.