2025高考数学一轮复习-6.1-数列的概念与简单表示法【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-6.1-数列的概念与简单表示法【课件】，共58页。PPT课件主要包含了知识诊断基础夯实，ABD，或10，－3＋∞，考点突破题型剖析，BCD，－2n－1，n＋1－3，角度1数列的周期性，角度2数列的单调性等内容，欢迎下载使用。

ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
解析　(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.(3)数列可以是常数列或摆动数列.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　)(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.(　　)(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(　　)(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
解析　对n＝1，2，3，4进行验证，
2.(多选)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是(　　 )
解析　由anam＝an＋m，a2＝2，
3.已知数列{an}满足：对任意m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a2＝2，那么a20＝(　　)A.240 B.230 C.220 D.210
解析　当n＝1时，a1＝S1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，又a1＝4不适合上式，
4.(易错题)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3，则{an}的通项公式为________________.
解析　要使Sn最大，只需要数列中正数的项相加即可，即需an＞0，－n2＋9n＋10＞0，得－1＜n＜10，又n∈N*，所以1≤n＜10.又a10＝0，所以n＝9或10.
5.若an＝－n2＋9n＋10，则当数列{an}的前n项和Sn最大时，n的值为________.
解析　因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1).(*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.
6.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是______________.
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
例1 (1)(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是(　　 )
又a1＝－1不符合上式，
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.①求a1的值；②求数列{an}的通项公式.解　①令n＝1时，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.②n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.
因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，两式相减得an＝2an－2an－1－2，所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)，因为a1＋2＝3≠0，所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列.所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，当n＝1时也成立，所以an＝3×2n－1－2.
解析　当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.当n≥2时，Sn＝2an＋1，①Sn－1＝2an－1＋1.②①－②，Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项a1＝－1，q＝2的等比数列.∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
训练1 (1)已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
解析　因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，两式相减得(2n－1)an＝2，
(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝__________.
又由题设可得a1＝2，满足上式，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，……
＝ln(n＋1)－ln n，
角度1　累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2).把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1，则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也适合，因此an＝2＋ln n(n∈N*).
解析　设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.故an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，
例4 (1)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝____________.
角度3　构造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an
所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列.∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为____________________.
解析　因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1.因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，所以an＝2n－1，n∈N*.
an＝2n－1，n∈N*
解析　由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，以上式子累加，得an－a1＝2＋3＋…＋n.因为a1＝2，所以an＝2＋(2＋3＋…＋n)
训练2 (1)已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，则an＝______________.
(3)已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N＋)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式an＝______________.
解析　因为点Pn(an，an＋1)(n∈N＋)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0.
解析　由题意得a1＝－1，a2＝0，a3＝3，a4＝－2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝－2，a9＝－7，a10＝0，a11＝－1，a12＝0……所以数列{an}为周期数列，且周期为10.因为S10＝5，所以S2 022＝5×202＋(－1)＋0＝1 009.
例5 若P(n)表示正整数n的个位数字，an＝P(n2)－P(2n)，数列{an}的前n项和为Sn，则S2 022＝(　　)A.－1 B.0 C.1 009 D.1 011
所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).故选D.
当n＜8时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞8时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.则a1＜a2＜a3＜…＜a8，a8＝a9，a9＞a10＞a11＞…，
又n∈N*，则n＝8或n＝9.
法二　设数列{an}中的第n项最大，
∴an＋1＞an，∴选A.
(2)数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*).将数列{an}的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列{bn}，则b21＝(　　)A.1 B.2 C.3 D.0
解析　∵数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*).∴a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，a8＝21，a9＝34，a10＝55，a11＝89，数列{an}的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列{bn}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，…，可得数列{bn}构成一个周期为6的数列.∴b21＝b3＝2.
即6≤n≤7，所以最大项为第6项和第7项.
用不动点法求数列的通项
又a1＝－1也满足上式.
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分子可表示为1＋5(n－1)＝5n－4，
可知数列{an}是以3为周期的数列，
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)⇒an＝2an－1，当n＝1时，a1＝S1＝－1，∴数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列，∴an＝－1×2n－1＝－2n－1，
3.记Sn为数列{an}的前n项的和，若Sn＝2an＋1，则S6＝(　　)A.31 B.－31 C.63 D.－63
解析　当n＝1时，S1＝a1；
因此，an＝3n(n∈N*).
5.(多选)下列四个命题中，正确的有(　　 )
对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；
对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n(n∈N*)，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，C错误；
解析　因为2an＋1＋Sn＝2，①，当n≥2时，2an＋Sn－1＝2，②，
7.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
当n≥6时，an<1，由题意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n项乘积的最大值，所以k＝5.
解析　∀n∈N*，an＋1＞an，则数列{an}是递增的，∀n∈N*，Sn≥S6，即S6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，所以，满足条件的数列{an}的一个通项公式an＝n－6(n∈N*)(答案不唯一).
9.设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1＞an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝_______________________________.
解　∵Sn＝2n－1(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.经检验，当n＝1时，符合上式，∴an＝2n－1(n∈N*).
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式.(1)Sn＝2n－1，n∈N*；
(2)Sn＝2n2＋n＋3，n∈N*.解　∵Sn＝2n2＋n＋3(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1.经检验，当n＝1时，不符合上式，
解　∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
11.已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；
∴an＝n(n∈N*).
解　bn＝3n－λn2.bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1).∵数列{bn}为递增数列，
∴{cn}为递增数列，∴λ＜c1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2).
解析　对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故A错误；对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；
12.(多选)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(a∈N*)，其中是“差递减数列”的有(　　)
解析　由an＋1－an＝2n得，当n＝1时，a2－a1＝2×1，当n＝2时，a3－a2＝2×2，…，第n－1项，an－an－1＝2(n－1)，累加可得an－a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，
∴an＝n2－n＋13，
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.