山西省太原市第五中学校2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

这是一份山西省太原市第五中学校2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解：A、当时，该方程不是关于的一元二次方程，故A选项不符合题意；
B、由已知方程得到，该等式不成立，且不含有未知数，不是一元二次方程，故B选项不符合题意；
C、该方程不是整式方程，故C选项不符合题意；
D、该方程符合一元二次方程的定义，故D选项符合题意；
故选：D．
2. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）.
A. 频率等于概率
B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D. 实验得到的频率与概率不可能相等
答案：B
解：A、当实验次数很大时，频率稳定在一个常数附近，可作为概率的估计值，不一定与概率相等，故A错误；
B、正确；
C、当实验次数很大时，随机事件发生的概率是一个固定值，不会改变，故C错误；
D、可以相同，如“抛硬币实验”，抛两次，其中一次正面向上，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．
故选：B．
3. 以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）
A. 2，3，6，9B. 1，2，3，4C. 2，1，，4D. ，，，
答案：B
解：A、由于，所以2，3，6，9成比例，该选项不符合题意；
B、由于，所以1，2，3，4不成比例，该选项符合题意；
C、由于，所以2，1，，4成比例，该选项不符合题意；
D、由于，所以，，，成比例，该选项不符合题意．
故选：B．
4. 布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：画树状图得：

则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，
∴两次都摸到白球的概率为．
故选A．
5. 如图，直线、、分别与直线、交于点、、、、、．已知直线，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：直线，，，
，
故选：A．
6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，
∵，，
∴AC=
∴BD=10cm，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴．
故选：D．
7. 为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ）
A. 90%×（2+x）（1+x）=2×1B. 90%×（2+2x）（1+2x）=2×1
C. 90%×（2﹣2x）（1﹣2x）=2×1D. （2+2x）（1+2x）=2×1×90%
答案：B
解：设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，
根据题意得：90%（2+2x）（1+2x）=2×1．
故选B．
8. 如图，将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段的对应点分别是点，，依次连接．则下列结论不一定正确的是（ ）

A. B. 对于任意，四边形都是矩形
C. D. 当时，四边形是正方形
答案：C
解：∵将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段，
，
∴四边形是矩形，
，
∵不清楚旋转角度，故不能证明，
时，，
∴四边形是正方形，
故A，B，Ｄ正确，
故选：C．
9. 用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣11=0时，下列变形正确的是（ ）
A. （x﹣4）2=5B. （x+4）2=5C. （x﹣4）2=27D. （x+4）2=27
答案：C
解：x2﹣8x=11，
x2﹣8x+16=27，
所以（x﹣4）2=27，
故选C．
10. 如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵菱形纸片沿折叠，点对应点为点，
∴，
∴，
故选D；
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 如果，那么_____．
答案：
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，则恰好有一人直行，另一人左拐的概率为_____．
答案：
解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中恰好有一人直行，另一人左拐的结果数为2，
所以恰好有一人直行，另一人左拐的概率=．
故答案为.
13. 如图，点E、F分别是正方形内部、外部一点，四边形与四边形均为菱形、则的度数等于______．
答案：##度
解：∵四边形是正方形，四边形与四边形均为菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 为积极响应国家提出的“大众创业，万众创新”号召，某市加大了对“双创”工作的支持力度，据悉，2022年该市此项拨款为亿元，2024年的拨款达到亿元，这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为______．
答案：
解：设该市对“双创”工作专项拨款的年平均增长率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴该市对“双创”工作专项拨款的年平均增长率为，
故答案为：．
15. 如图，在正方形中，，点是边上一个动点（不与点，重合），将沿翻折到，再将沿翻折得到．当点恰好落在正方形边所在的直线上时，线段的长度为______．

答案：或
解：①当点落在边上时，

∵四边形是正方形，
∴，，
根据折叠可知，
在与中，，
∴，
∴，∴．
∴是等腰直角三角形，
设，则，，
∴，解得．
②当点落在的延长线上时，

∴，
∴，
综上可知，或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，共55分）
16. 用适当的方法解下列方程
（1）
（2）
答案：（1），
（2），
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
，
或，
解得，．
17. 小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
答案：（1）一；不符合等式性质；（2）正确过程见解析
解：（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，因为把方程两边都加上时，方程右边为．故答案为一；不符合等式性质；
（1），
，
，
，
所以，．
18. 如图，在中，、、分别是、、上点，且，，，，求的长．

答案：
解：，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
19. 太原是一座具有4700多年历史、2500年建城史的历史古都，系有“锦绣太原城”的美誉，在“我可爱的家乡”主题班会中，主持人准备了“晋祠园林”、“崇山大佛”、“龙山石窟”、“凌霄双塔”这四处景点的照片各一张，并将它们背面朝上放置（照片背面完全相同），甲同学从中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的照片中随机抽取一张，若要根据抽取的照片作相关景点介绍，求甲、乙两人中恰好有一人介绍“晋祠园林”的概率．（提示：可用照片序号列表或画树状图）
答案：.
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两人中恰好有一人介绍“晋祠园林”的情况有6种，
故甲、乙两人中恰好有一人介绍“晋祠园林”的概率为=．
20. 如图，已知菱形的对角线相交于点，点是菱形外一点，且，连接．求证：．
答案：见解析
解：证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
即，
∴四边形为矩形，
∴．
21. 某灯具制造厂新研发出一种节能护眼台灯，该台灯的成本价为元/盏．试销一段时间后，发现按元/盏的价格销售，每周可售出盏；当每盏台灯售价在元至元之间时，每盏售价每上涨元，每周的销售量将减少盏．
（1）若每盏台灯销售价为元，求这周的销售利润；
（2）如果要实现每周的销售利润元的目标，求每盏台灯的销售价格．
答案：（1）这周的销售利润为元
（2）每盏台灯销售价为元
【小问1详解】
解：∵当每盏台灯销售价为元，
∴每盏台灯的利润为元，每周的销售量为盏，
∴这周的销售利润为：（元），
答：这周的销售利润为元；
【小问2详解】
解：设每盏台灯销售价为元，则每盏台灯的利润为元，每周的销售量为盏，
∴可得：，
即，
解得：，，
∵每盏台灯销售价在元至元之间，
∴，
答：每盏台灯销售价为元．
22. 阅读下面的例题，回答问题：
例：解方程：
令，原方程化成
解得（不合题意，舍去）

原方程的解是．
请模仿上面的方法解方程：
答案：
解：令，则原方程化为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
解得．
23. 综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形中，点O为对角线BD的中点，连接．点E在AB边上，且，线段的延长线交CD于点F．
猜想证明：
（1）“笃学”小组发现，请你证明这一结论；
操作探究：
（2）“勤思”小组将图1中的绕B点顺时针旋转（设点O，E的对应点分别为）在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答：
①如图2，当点落在AB的延长线上时，连接判断四边形的形状，并说明理由；
②若，当线段所在直线与所在直线垂直时，直接写出两点间的距离．
答案：（1）见解析；①菱形，见解析；②或
解：证明∶（1）如图，
∵四边形 是矩形；
∴，
∴．
∵点O为BD的中点，
∴
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
(2) ①四边形为菱形， 理由如下∶
∵旋转得到，
∴，．
∵四边形为矩形；
∴．
∴，
∴， ；
∴．



∴．
∴．
由 (1) 得 ，
∴，
∴四边形是菱形．
(3)在中，
∵，
∴，
∵点O为BD的中点，
∴，
当线段所在直线与所在直线垂直时，可以看作将绕点B旋转，
如图，将、和绕点B顺时针旋转得到、和，过点作于点N，
则，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
如图，将、和绕点B逆时针旋转得到、和，过点作于点H，
则，
，
，
，
∴，
∴，
故两点间的距离为或 ．