大同市第一中学校2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份大同市第一中学校2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．足球比赛常依据(视频助理裁判技术)判定球是否出界,以得到更加公正的比赛判罚.如图,把足球与场地边界线看作圆与直线,它们的位置关系是( )
A.相切B.相交C.相离D.分离
2．我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响.下列图形中,属于中心对称图形的是( )
A.笛卡尔心形线B.赵爽弦图
C.刘徽割圆术D.中国七巧板
3．山西,因居太行山之西而得名,简称“晋”.如图,用放大镜将由“晋”字设计的图标放大,则放大前后两个图形之间属于图形的( )
A.平移B.轴对称C.相似D.旋转
4．下列诗句所描述的事件中,属于必然事件的是()
A.黄河入海流B.手可摘星辰
C.锄禾日当午D.大漠孤烟直
5．二次函数的图象与x轴的交点个数是( ).
A.0个B.1个C.2个D.不能确定
6．如图,点A在双曲线上,轴于点B,且的面积为2,则k的值为( )
A.B.C.D.
7．象棋是起源于中国的一种棋戏,现今通行的象棋,相传为唐代牛僧孺所制,刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚,红黑各半,黑方以将统士、象、车、马、炮各二,卒五,若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子,则该棋子为黑马的概率为( )
A.B.C.D.
8．如图,为的直径,C为上一点,平分,若,则的度数为( )
A.B.C.D.
9．二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.B.
C.D.
10．如图,在矩形中,,,E,F分别是,上的点,且,两动点M,N都以的速度分别从点C,F出发沿,向点B,E运动.当矩形与矩形相似时,点M,N运动的时间为( )
A.或B.或C.或D.或或
二、填空题
11．已知是方程的一个根,则c的值是______.
12．忻州市忻府区地处山西省北部,昼夜温差较大,四季分明,全年降水集中,这种气候条件非常适合玉露香梨的生长.某研究院跟踪调查了某批玉露香梨树苗的移栽成活情况,得到如图所示的统计图,由此可估计这批玉露香梨树苗移栽成活的概率约为______.(结果精确到0.1)
13．如图,将绕点C顺时针旋转得到,交于点D.若,则的度数为______.
14．山西民居砖雕的起源可以追溯到隋朝,其制作技艺花样繁多,套路复杂,画工精细,刀工别致,为国家级非物质文化遗产.如图是一块扇面形的山西砖雕作品,它的部分设计图如图所示,其中扇形和扇形有相同的圆心O,且圆心角.若,,则阴影部分的面积为______.(结果用含的代数式表示)
15．如图,点A为反比例函数图象上的一点,连接,过点O作的垂线与反比例的图象交于点B,则的值为____________
三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2)已知二次函数,当x取何值时,函数有最大(小)值,最大(小)值是多少？
17．已知，如图，中，，，D为BC边上一点，.求证：.
18．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化,将5种生活现象分别写在表面看上去无差别的五张卡片上,并分别放入甲、乙两个口袋中(如图),甲口袋中装有A,B两张卡片,乙口袋中装有C,D,E三张卡片.小明从两个口袋中分别随机取出1张卡片,用画树状图或列表的方法,求抽出的两张卡片均是物理变化的概率.(注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化；生成其他物质的变化叫做化学变化)
19．如图,一次函数的图像经过点,交反比例函数的图像于点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)点C在反比例函数的图像上,若,直接写出点C的横坐标a的取值范围.
20．阅读与思考
下面是小丽同学的数学笔记(部分),仔细阅读并完成相应的任务.
任务
(1)方框内问题的解决用到的数学思想方法是______；(从下列选项中选一个)
A.分类讨论B.数形结合C.整体D.从特殊到一般
(2)求解方框内提出的问题；
(3)如图②,已知的半径为5,,是的弦,且,,直接写出与的长度之和为______.
21．项目式学习
项目主题：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
项目背景：学习完反比例函数后,某学校“勤学”小组的同学们尝试用反比例函数的知识称量一个空矿泉水瓶的质量.
项目素材：
素材一：如图是一架自制天平,支点O固定不变,左侧托盘固定在点A处,右侧托盘(点P)可以在横梁段滑动(点P不与点B,C重合).已知,,砝码的质量为.根据杠杆原理,平衡时,左盘砝码质量右盘物体量(不计托盘与横梁的质量).
素材二：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量,小组同学进行了如下操作：左侧托盘放置砝码,向右侧托盘的空矿泉水瓶中加入的水后,发现点P移动到的长为时,天平平衡.
问题解决：
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为,OP的长为.请直接写出y关于x的函数解析式为______,x的取值范围为______；
(2)求这个空矿泉水瓶的质量.
22．阅读理解题：一次数学综合实践活动课上,小亮发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,已知是的角平分线,可得：,小亮的证明过程(部分)如下：
证明：过点C作,交的延长线于点E,
∵,
∴,.
∴.
∴.
……
(1)请按照上面小亮的证明思路.写出该证明的剩余部分；
(2)如图2,在中,是的角平分线,已知,则的值为______.
(3)如图3,在矩形中,点E是上一点,已知,,,连接,平分与交于点F,则的长为______.
23．综合与实践
如图1,某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物,地块一边靠墙,另外三边用木栏围住,木栏总长为.
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若,能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题：
设为,为.由矩形地块面积为,得到,满足条件的可看成是反比例函数的图像在第一象限内点的坐标；木栏总长为,得到,满足条件的可看成一次函数的图像在第一象限内点的坐标,同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图像交点的坐标.
如图2,反比例函数()的图像与直线：的交点坐标为和______,因此,木栏总长为时,能围出矩形地块,分别为：,；或______m,______m.
(1)根据小颖的分析思路,完成上面的填空；
【类比探究】
(2)若,能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法,在图2中画出一次函数图像并说明理由；理由为______.
【问题延伸】
(3)当木栏总长为时,小颖建立了一次函数.发现直线可以看成是直线通过平移得到的,在平移过程中,求出直线与反比例函数()的图像有唯一交点时的交点坐标及a的值.
参考答案
1．答案：C
解析：∵足球所代表的圆与直线没有公共点,
∴图中的圆与直线相离,
故选：C.
2．答案：B
解析：A、它不是中心对称图形,故不合题意；
B、它是中心对称图形,故符合题意；
C、它不是中心对称图形,故不合题意；
D、它不是中心对称图形,故不合题意.
故选：B.
3．答案：C
解析：根据相似的定义及性质可知,用放大镜将由“晋”字设计的图标放大,两个图形的形状相同,大小不同,因此这两个图形的关系是相似,
故选：C.
4．答案：A
解析：A.黄河入海流,这是必然事件；
B.手可摘星辰,这是不可能事件；
C.锄禾日当午,这是随机事件；
D.大漠孤烟直,这是随机事件.
故选：A.
5．答案：C
解析：令,则,
∴二次函数的图象与x轴的交点个数是2个,
故选C.
6．答案：A
解析：轴于点B,且的面积为2,
,
解得：,
,
,
故选：A.
7．答案：C
解析：一幅中国象棋由红黑两色棋子共32个棋子组成,其中有2个“黑马”；
故从中随机摸出一枚棋子能摸到“黑马”的概率是.
故选：C.
8．答案：D
解析：如图,连接,
∵为的直径,
∴,
,
,
,
∵平分,
,
故选：D.
9．答案：B
解析：当时,反比例函数的图象经过第一、三象限,
当时,二次函数图象,开口向上,对称轴在y轴左侧,则A选项不符合题意,
当时,二次函数图象,开口向下,对称轴在y轴右侧,则C选项不符合题意,B选项符合题意；
当时,反比例函数的图象经过第二、四象限,
当时,二次函数图象,开口向上,对称轴在y轴右侧,则D选项不符合题意；
故选：B.
10．答案：B
解析：∵,,
∴,
设矩形与矩形相似时,运动时间为,
当矩形矩形时,,
∴
解得,
当矩形矩形时,
∴,
解得：.
故选：.
11．答案：2
解析：由题意得：
把代入方程得,
,
解得：.
故答案为：2.
12．答案：0.9
解析：∵这批玉露香梨树苗成活的频率稳定在0.9,
其成活的概率估计值约为0.9,
故答案为：0.9.
13．答案：
解析：将绕点C顺时针旋转得到,
,,
,
,
,
故答案为：.
14．答案：/
解析：,,,
,
,
,
,
故答案为：.
15．答案：/
解析：过A作轴于C,过B作轴于D,
,
∴,,,
∵,
∴,
∴,
∴,即,
∴(负值舍去),
故答案为：.
16．答案：(1),
(2)当时,该函数有最大值,最大值为3
解析：(1)∵,
∴,
∴,或,
即,.
(2)依题意,.
∵,
∴开口向下,当时,该函数有最大值,最大值为3.
17．答案：证明见解析
解析：证明：，，，
.
，
.
18．答案：
解析：列表如下：
其中衣服晾干和冰化成水是物理变化,其余的是化学变化,
由表格知,总共有6种可能的结果,每种结果出现的可能性相同,其中抽出的两张卡片均是物理变化的结果有1种,为A,C,所以P(抽出的两张卡片均是物理变化).
19．答案：(1),
(2)
解析：(1)将点代入一次函数,
可得,解得,
∴一次函数解析式为；
将点代入一次函数,
可得,解得,即,
将代入反比例函数,
可得,解得,
∴反比例函数的解析式为；
(2)如下图,
∵点,点,
∴,
∴,,
由题意得,
∴,
∴,
∴点C的横坐标a的取值范围为.
20．答案：(1)C
(2)
(3)
解析：(1)方框内问题的解决用到的数学思想方法是整体,
故选：C.
(2)∵正三角形的边长为2,D,E,F分别为,,的中点,
∴,三个圆的半径都是1,
∴可以将3段弧长拼成一个半径为1的半圆的弧长,
∴阴影部分的周长为.
(3)如图,作直径,连接,
∵的半径为5,
∴,
由圆周角定理得：,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴与的长度之和为的长度,即为半圆的弧长,
故答案为：.
21．答案：(1)；
(2)这个空矿泉水瓶的质量为
解析：(1)由题意可知,即,x的取值范围是,即,
故答案为：；；
(2)设这个空矿泉水瓶的质量为,
根据题意,得,
解得,
所以这个空矿泉水瓶的质量为.
22．答案：(1)见解析
(2)
(3)
解析：(1)证明：过点C作,交的延长线于点E,
∵,
∴,.
∴.
∴.
∵是的角平分线,
∴.
∴,
∴,
∴；
(2)∵是的角平分线,
由(1)可得,
∵,
∴,
∴；
(3)延长交的延长线于点G,
∵四边形是矩形,
∴.
∴,.
∴,
∴,
∴.
∴.
∴,
在中,,
∴.
∵平分,
∴,
∴,
∴.
23．答案：(1)；4；2
(2)与函数图像没有交点
(3)
解析：(1)将反比例函数与直线：联立得,
∴,
∴,
∴,,
∴方程组的解为或
∴另一个交点坐标为,
∵为,为,
∴,.
故答案为：；4；2；
(2)不能围出面积为的矩形；理由如下：
将反比例函数与直线：联立得,
∴,
∴,
∵,
∴无解,
故两个函数图像无交点；
的图像,如图中所示：
∵与函数图像没有交点,
∴不能围出面积为的矩形.
故答案为：与函数图像没有交点；
(3)如图中直线：所示,
∵直线与反比例函数的图像有唯一交点,
∴有唯一解,即：方程只有一个解,
∴,
解得：,(舍去),
此时：,
解得：,
当时,,
∴此时交点坐标为.
不规则图形中弧长的解题思路
问题：如图①,正三角形的边长为2,D,E,F分别为,,的中点,以A,B,C三点为圆心,1为半径作圆,求图中阴影部分的周长.
解题思路：阴影部分的周长为以A,B,C三点为圆心,1为半径的扇形的弧长和,将3段弧长拼成一个半径为1的半圆的弧长,求出半圆的弧长即为阴影部分的周长.
乙甲
C
D
E
A
A,C
A,D
A,E
B
B,C
B,D
B,E