山西省太原市第五中学校2023届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份山西省太原市第五中学校2023届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，矩形中，，，点为矩形内一动点，且满足，则线段的最小值为（ ）
A. 5B. 1C. 2D. 3
2. 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点．若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ）
A. 二次函数的最大值为
B.
C
D.
3. 如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在⊙O中， AB是直径，CD丄AB，∠ACD = 60°，OD = 2，那么DC的长等于（ ）
A B.
C. 2D. 4
5. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. abc＜0B. b2﹣4ac＜0C. a﹣b+c＜0D. 2a+b＝0
6. 已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
7. 在平面直角坐标系中，已知函数，，其中a，b是正实数，且，设，的图象与x轴交点个数分别是M，N，则（ ）
A. 或或B. 或
C. 或D. 或或
8. 如图，为半圆的直径，是半圆上一点，且º，设扇形、、弓形的面积为、、，则他们之间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，A，P，B，C是上的四点，．若四边形面积为，且，则的半径为（ ）
A. 2B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11. 如图，在中，，点D、E分别在、上，点F在内．若四边形是边长为1的正方形，则________．
12. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）．

13. 如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径间，按相同间隔米用5根立柱加固，拱高为米，则立柱的长为________米．

14. 圆拱门是中国古典园林建筑元素之一，如图，花园边墙上有一宽为的矩形门，量得门框对角线的长为，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是____________________．
15. 《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧是以点为圆心，为半径的圆弧，是弦的中点，且．“会圆术”给出弧的弧长的近似值的计算公式： ．当，时，_____．
三、解答题（本大题共7小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了米到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为，已知斜坡的坡度为，点到大楼的距离为米，求大楼的高度．（参考数据：，，）
17. 如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头，．某海岛上的观测塔距离海岸5海里，在处测得位于南偏西方向．一艘渔船从出发，沿正北方向航行至处，此时在处测得位于南偏东方向，求此时观测塔与渔船之间的距离（结果精确到0.1海里）．
（参考数据:，，，，，）
18. 九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面．

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？
19. 我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具-三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆O的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等，与垂直与点B，足够长．

使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点E，点A落在边上，半圆O与另一边恰好相切，则，就把三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，，垂足点B， ．
求证： ．
20. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米，

（1）求圆弧所在圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？
21. 如图，在中，， ，点为边上的动点（点不与点，重合）.以点为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于，连接.
（1）求证：；
（2）当时（如图），求的长；
（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由.
22. 如图，已知内接于，是该圆的直径，是上的点，线段与交于点，若，，，．
（1）试用含m的代数式表示k；
（2）若，求的值；
（3）若，求．
答案
1. 解析：如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，∠BCD=90°,
∴∠PCD+∠PCB=90°,
∵,
∴∠PBC+∠PCB=90°,
∴∠BPC=90°,
∴点P在以BC为直径的圆⊙O上，
在Rt△OCD中，OC=,CD=3，
由勾股定理得，OD=5，
∵PD≥ ,
∴当P,D,O三点共线时，PD最小，
∴PD的最小值为OD-OP=5-4=1.
故选：B.
2. 解析：解：抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（−4，0），对称轴为直线x＝−1，
因此有：x＝−1＝−，即2a−b＝0，因此选项D符合题意；
当x＝−1时，y＝a−b＋c的值最大，选项A不符合题意；
由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2−4ac＞0，故选项C不符合题意；
故选：D．
3. 解析：解：过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，设，
∴，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4. 解析：解：∵AB是直径，CD丄AB，
∴CE=DE，，∠DEO=∠AEC=90°，
∵∠ACD = 60°，
∴∠A=30°，
∴∠DOE=2∠A=60°，
∴DE=，
∴CD=2DE=，
故选：B．
5. 解析：由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a＜0；
∴abc＞0，A错误；
由图象可知，函数与x轴有两个不同交点，
∴△＞0，B错误；
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，C错误；
∵b＝﹣2a，D正确；
故选D．
6. 解析：解：∵二次函数的图像经过，，
∴对称轴x=，即x=，
∵对称轴x=b，
∴=b，化简得c=b-1，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△=
=
=
=
∴b=2，c=1，
∴b+c=3，
故选：C．
7. 解析：解：一元二次方程根的判别式，
一元二次方程根的判别式，
当时，解得或（不符合题意，舍去），
当时，解得，
①当时，则，，
所以，
所以；
②当时，则，
所以；
③当时，则，
所以，
所以；
④当时，则，
所以，
所以；
⑤当时，则，
所以；
综上，或或，
故选：D．
8. 解析：解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA＝60°，
∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．
∴S扇形AOC＝；
S扇形BOC＝．
在三角形OCD中，∠OCD＝30°，
∴OD＝，CD＝，BC＝R，
∴S△OBC＝，S弓形＝＝，
＞＞，
∴S2＜S1＜S3．
故选：B．
9. 解析：如下图，连接，
∵切于点，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
10. 解析：解：如图，过作于，
由题意知，，，，，
∴，是等边三角形，，
如图，连接，过作于，
∴，，
设，则，，，，
在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，（不合题意，舍去）
∴．
∴，
∴半径为，
故选：C．
11. 解析：解：连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，
∵四边形是边长为1的正方形，
∴∠C=90°，
∴AB=，
∵，
∴，
∴ FM=1，
∵BF=，
∴．
故答案是：．
12. 解析：解：如图，过点作于点，设，
根据题意可得：，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
即，
∴
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
∴．
故答案为：．
13. 解析：解：如图，以点C为坐标系的原点，

设抛物线解析式为，
由题知，图像过，
代入得：，
∴，即．
∵F点横坐标为，
∴当时，，
∴米
故答案为：．
14. 解析：解：如图，连接交于点O，
四边形是矩形，，
，，为、的中点，
，
是等边三角形，，
，
，
扇形的圆心角度数为，
在中，，
，
故答案为：．
15. 解析：解：如图所示，连接，
∵，，是弦的中点，
∴，，，
∵，
∴O、C、D三点共线，
∴，
∴，
故答案为：3．
16. 解析：解：如下图，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，
在Rt△ABE中，AB=52，
∵
∴tan∠BAE==，
∴AE=2.4BE，
又∵BE2+AE2=AB2，
∴BE2+(2.4BE)2=522，
解得：BE=20，
∴AE=2.4BE=48；
∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴FD=BE=20，BF=ED=AD-AE=72-48=24；
在Rt△BCF中，
tan∠CBF=，
即：tan53°==
∴CF=BF=32，
∴CD=CF+FD=32+20=52．
答：大楼的高度为52米．
17. 解析：过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，则四边形CDEF是矩形，
∵∠BAE=22°，AE=5（海里），
∴BE=AE∙tan22°=5×=2（海里），
∵DE=BD-BE=6-2=4（海里），
∵四边形CDEF是矩形，
∴CF=DE=4（海里），
∴AC=CF÷sin67°=4÷≈4.3（海里）．
18. 小问1解析：
由题意可知，抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是．
∴可设抛物线的解析式是．
抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线解析式为．
当时，，
篮圈的中心点在抛物线上，
能够投中．
小问2解析：
当时，，
能够盖帽拦截成功．
19. 解析：解：已知：如图2，点A，B，O，，．M、A、E三点共线．
求证：，把三等分，
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是的切线，
∵切半圆O于F，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，就把三等分．
故答案为：，切半圆O于F，就把三等分．

20. 小问1解析：
连接，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得，；
小问2解析：
连接，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：．
．
，
不需要采取紧急措施．
21. 解析：（1），
，
，
.
.
（2）过点作于点.
中，设，则，
由勾股定理，得.
，
，
，
.
,
.
又，
.
，
.
.
.
，
.
.
（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得.
过点作于点，过点作于点，于点，
则
四边形为矩形，
，.
，
.
中，由勾股定理，得.
，，
．
,
.
.
.
.
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
又，
，
，
所以，点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时.
22. 小问1解析：
解：如图1，连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
小问2解析：
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
小问3解析：
解：如图2，在线段上取一点G，使得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．