2024-2025学年吉林省长春市朝阳区九年级上学期12月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2024-2025学年吉林省长春市朝阳区九年级上学期12月期末考试数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 一元二次方程的较小的根是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】，
或，
解得：，，
一元二次方程的较小的根是．
故选：A．
2. 计算的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
故选：．
4. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】抛物线向下平移1个单位，抛物线的解析式为，即．故选：C．
5. 某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
A. 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”
B. 掷一枚一元的硬币，正面向上
C. 在一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除了颜色外都相同，从中任取一球是红球
D. 有三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
【答案】C
【解析】由表格可知，频率逐渐稳定于，
掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”的概率为，故A不符合要求；
掷一枚一元的硬币，正面向上的概率为，故B不符合要求；
在一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除了颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率为，故C符合要求；
有三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5的概率为，故D不符合要求；
故选：C．
6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
7. 如图，在电线杆离地面高度为的处向地面拉一条揽绳，使揽绳与地面的夹角为，则揽绳的长为（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】如下图所示，
在中，，
，
，
．
故选： C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象的对称轴是直线，且经过点．则下列结论正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】二次函数开口向上，与轴交于负半轴，
，，
二次函数对称轴为直线，
，
，
，故A、B结论错误，不符合题意；
当时，，
，故C结论错误，不符合题意；
二次函数经过点，对称轴为直线，
二次函数与轴的另一个交点坐标为，
当时，，
故D结论正确，符合题意
故选D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 计算：______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
10. 抛物线y=x2﹣4x+m与x轴只有一个交点，则m=_____．
【答案】4
【解析】根据题意得△＝(－4)2－4m＝0，解得m＝4．
故答案为4．
11. 如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点连在一起，点、分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为________．
【答案】
【解析】点、分别是、的中点，
是的中位线，
，，
，
．
故答案为： ．
12. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“■”应补全的代数式为________．
【答案】
【解析】六块面积相等的草坪可以拼成一个矩形，
这个矩形的长为，宽为，
每一块草坪的面积都为，
，
“■”应补全的代数式为，
故答案为： ．
13. 如图，在中，，，为上一点，连结．若，，则的长为________．
【答案】18
【解析】在中，，，，
，
，
，，，
，
故答案为：18．
14. 如图，在菱形中，，点是边上任意两点，将菱形沿翻折，点恰巧落在对角线上的点处，下列结论：
①；②若，则；③若菱形边长为4，是的中点，连接，则；④若，则，其中正确结论是______．
【答案】①②④
【解析】四边形是菱形，
，
∴是等边三角形，
，
由折叠性质可知，，
，
，
∵，
，
故①正确；
，
，故②正确；
如图，作交的延长线于点
在中，，由①得：，
，
是的中点，
，
，故③错误；
设，则，设，则，
，
，
，
解得：，
，
，
故④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15. 计算：．
解：
．
16. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“步”、“步”、“高”，除汉字外其余均相同．小亮同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率．
解：画树状图：
根据题意，可以画出如下树状图：
共有种等可能的结果，其中小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有种，
所以小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率为；
列表法：
根据题意，列表如下：
共有种等可能的结果，其中小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的结果有种，
所以小亮同学两次摸出小球上的汉字不相同的概率为．
17. 小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
解：．
，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
∴原方程没有实数根
根据小明的解题过程，解答下列问题：
（1）上述过程中，从第 步开始出现了错误；
（2）正确解这个方程．
解：（1）根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始出现了错误．
故答案为：一．
（2）正确解答过程如下：．
．
18. 为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒元．求每次降价的百分率．
解：设每次降价的百分率为．
根据题意得：
解得，（舍去）．
答：每次降价的百分率为．
19. 图、图、图是的正方形网格，每个小正方形的边长都为．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，并保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图中画一个，使．
（2）在图中画一个钝角，使．
（3）在图中画一个锐角，使．
解：（1）如图所示，
借网格作，，
则；
（2）如下图所示，
借助网格构造，使，，则，
点在线段上不与点、重合的任一点都有为钝角；
（3）如下图所示，
借助网格作，连接点与的中点，
根据等腰三角形的三线合一定理可得：，
则，，
可得：．
20. 如图，为测量某建筑物的高度，在离该建筑物底部处，目测其顶，视线与水平线的夹角为，目高为．求该建筑物的高度．（精确到）（参考数据：，，）
解：根据题意得：，，．
在中，， ，
∴，
∴．
答：该建筑物的高度约为．
21. 一次足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米.现以为原点建立如图所示直角坐标系.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点C为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时小军带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点但不含点），求的取值范围.
解：（1）∵，∴抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，
把点代入得：，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）令时，．∴球不能射进球门．
（3）设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为，
把点代入得：，解得：（舍去）或，
把点代入得：，解得：（舍去）或，∴足球恰好经过区域（含点但不含点）时，n的取值范围为．
22. 【感知】如图①，在中，，过点作，点是上方一点，过点作交延长线于点．求证：．
【应用】如图②，连结图①中的并延长交边的延长线于点，其它条件不变．若，，，则的长为________，的长为________．
【拓展】如图③，在中，，将边绕着点顺时针旋转得到，连结并延长交边的延长线于点．若，，则的长为________．

解：感知：∵，
∴
∴
又∵
∴；
应用：∵
由（1）得
∴
∴
∴
∵，
∴
∴；
∵
∴
∴设，
∴
∵，
∴
∴，即
解得或（舍去）
∴；
拓展：如图所示，过点D作于点E

∵将边绕着点顺时针旋转得到，
∴，
∴
∴
又∵，，∴，
∴，，
∵，，∴，
∴设，∴，
∵，，
∴，∴，即，
解得或（舍去）
∴．
23. 如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点作交折线于点，连结．
（1）求长．
（2）当点为边的中点时，求的长．
（3）当的某条直角边所在的直线平分或时，求的长．
（4）当时，直接写出点到的距离．
解：（1）∵在中，，，
∴；
（2）如图所示，
∵在中，，点为边的中点时，
∴
∵点D是的中点
∴
∵
∴
∴
∴，即
∴；
（3）如图所示，当点A和点E重合时，过点P作交于点F，
∵，点D是的中点
∴，即平分
∴
∴
∵
∴，
∴
∴，即
∴，
∴
∴
∴
∴；
如图所示，当平分时，
∵
∴
∵，点D是的中点
∴
∴
∴
∴
∴
∴设，
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
综上所述，的长为或；
（4）如图所示，当点E在上时，过点P作交于点G
∵
∴
∴设，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
如图所示，当点E在上时，过点P作交于点G，过点C作于点F，
∵
∴
∴
∴
∵，点D是的中点
∴
∴
∴
∴，即
∴
∴，∴，
∴，∴．
24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点．点是该抛物线上的动点，其横坐标为．将点沿轴正方向向上平移1个单位长度得到点，过点作轴于点，连结，以、为边作矩形．
（1）求此抛物线对应的函数关系式．
（2）当该抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而增大时，求的取值范围．
（3）在、两点之间的部分（包含、两点）图象记为．设与此抛物线的交点的横坐标为，图象最高点与最低点的纵坐标之差为，若，求的取值范围．
（4）设矩形的边与抛物线的交点为（点不与该矩形的顶点重合），当以矩形的一边为直角边，并以这边上的两个端点与点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出的值．（写出三个值即可）
解：（1）把点的坐标代入，
可得：，解得：，
抛物线对应函数关系式为；
（2）当时，如下图所示，
抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而增大；
抛物线的顶点坐标为1,2，
当时，
如下图所示，
矩形内部没有二次函数的图象；
当时，
如下图所示，
抛物线在矩形内部的点的纵坐标随值的增大而减小；
综上所述，的取值范围为；
（3）当时，如下图所示，
当与抛物线的交点的横坐标为时，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点与点是对称点，
点的纵坐标为，
此时在图象最高点是抛物线的顶点，抛物线顶点纵坐标为，最低点为点，点的纵坐标为12，
；
当时，如下图所示，
点的横坐标是，纵坐标是，
此时点在轴上，
，
点的纵坐标为，
此时在图象最高点是抛物线的顶点，抛物线顶点纵坐标为，最低点为点，点的纵坐标为，
，
的取值范围为；
（4）解方程，
得：，，
抛物线与轴的交点坐标分别为和，
如下图所示，
当点在点左侧时，则有，
恰好在轴上，点是抛物线与轴的交点，
，
，
抛物线与轴的交点的坐标为
，
是等腰直角三角形，
点的纵坐标为，
解方程，
可得：，(舍去)；
当时，
如下图所示，
点的横坐标为，纵坐标为，
则点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
，
若为等腰直角三角形，
则有，
整理得：，
解得：，(舍去)；
当时，
如下图所示，
点的横坐标为，
则与抛物线的交点横坐标为，
，
若为等腰直角三角形，
则有，
解得：；
当时，
如下图所示，
与抛物线的交点恰好是抛物线的顶点，
此时，
是等腰直角三角形；
当时，如下图所示，
点的横坐标为，纵坐标为,
则点的横坐标为，纵坐标为，
若为等腰直角三角形，则有，
点的坐标为
可得方程：，解得：．
综上所述，的值可能为：或或或或．次数
e频率
第一次
和
第二次
步
步
高
步
（步，步）
（步，步）
（步，高）
步
（步，步）
（步，步）
（步，高）
高
（高，步）
（高，步）
（高，高）