2024~2025学年吉林省长春市绿园区九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年吉林省长春市绿园区九年级上学期期末考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 化简的值是（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】，
故选：D．
2. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】二次函数的图象的顶点坐标是，
故选：B．
3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，，，，
∴与是同类二次根式的是，
故选：C．
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】，
有两个不相等的实数根，
故选：．
5. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵二次函数，
∴二次项系数，图象抛物线开口向下，对称轴为，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，，，，
∴，
故选：B．
6. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L之间的距离为6千米，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ）
A. 千米B. 千米
C. 千米D. 千米
【答案】C
【解析】在中，，，∴，
∴(千米)．
故选：C．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，如果将线段绕点顺时针旋转至，那么点的坐标是（ ）
A. -3,2B. C. D.
【答案】B
【解析】∵点，∴，
如图：过点C作轴于点D，
∵，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∴，
又∵点C在第二象限，
∴点C的坐标是．
故选B．
8. 如图，在中，点在边上，且．按以下步骤作图：
①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；
②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点
③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点
④连结并延长，交于点．
则一定可以推得的结论是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由作图可知：，
∴，
∴，
，，，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】依题意，，
∴，
故答案为：．
10. 计算：______．
【答案】
【解析】．
11. 一元二次方程可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是，则另一个一次方程是_________．
【答案】
【解析】
∴或
∴或；
∴另一个一次方程是；
故答案为：
12. 如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了9个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在阴影区域的概率等于___________．
【答案】
【解析】∵ 9个相同的扇形中，阴影部分占4个，
∴指针落在阴影部分的概率是.
13. 如图，直线，若，，，那么的长为______．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中，关于二次函数的图象，下列描述中所有正确结论的序号是______．
①对称轴是直线．
②当时，随的增大而减小，
③它的最低点的纵坐标是，
④它与轴有两个交点
【答案】②③④
【解析】∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，所以①错误；
∵，
∴抛物线开口向上，即它的最低点的纵坐标是，所以③正确；
∴当时，随的增大而减小，所以②正确；
∵，
∴抛物线与x轴有2个交点，所以④正确．
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 计算：．
解：
．
16. 解方程：．
解：，
，
，
，
解得．
17. 一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，再次搅匀后从袋子中任意摸出1个球，记下数字，用画树状图或列表的方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：，共4种，∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为．
18. 随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了万辆．求前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率．
解：设前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为．
19. 在平面直角坐标系中，已知某二次函数图象经过点．且当时，有最小值．
（1）求这个二次函数的表达式
（2）试判断点是否在此二次函数的图象上，并说明理由
解：（1）由题意设这个二次函数的表达式为，
将点代入，得，解得，
这个二次函数表达式为；
（2）点在此函数图象上；理由：
当时，，在此函数图象上．
20. 图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB＝；
（2）在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB＝1；
（3）在图③中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB＝．
解：（1）如图①，点C即为所求作的点；
（2）如图②，点D即为所求作的点；
（3）如图③，点E即为所求作的点；
21. 下表是二次函数的部分取值情况：
根据表中信息，回答下列问题：
（1）求该二次函数的图象的对称轴，
（2）二次函数的图象的顶点坐标是______，表中的值为______，的值为______．
（3）在下图中的平面直角坐标系内画出该二次函数的图象
（4）观察图象，直接写出时，的取值范围是______．
解：（1），
∴该二次函数的图象的对称轴为直线；
（2）根据表格，当时，，则顶点坐标为
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为，
当时，，即
故答案为：；；；
（3）根据表格画图如下，
（4）由函数图象可得：当时，，
故答案为：．
22. 综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．
（1）探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
（2）性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
解：（1）猜想，证明如下：
在中，，，，的中点分别为D，E，
∴，，
，则，
，，
，
，
，
将绕点A逆时针旋转，连接，，
根据旋转的性质可得：
，
，
，
，
；
（2），分别取，的中点D，E，
，，
，
，
∴当所在直线经过点B时，，
，
在中，
根据勾股定理可得：，
由（1）可得：，，解得：.
23. 如图，在中，，动点从点A出发，沿向终点运动，过点作交于点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．
（1）线段的长为______．
（2）当点恰好落在线段上时，求线段的长，
（3）当三点共线时，求线段的长．
（4）当为钝角三角形时，直接写出线段的取值范围．
解：（1）∵在中，，
∴；
故答案为：10；
（2）如图：设，则，
∵，
∴，即，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，解得：．
∴．
（3）如图：设，则，
∵，
∴，即，
∴，同理可得∶ ，
∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，解得：x=2．∴．
（4）∵，，∴，
∵，，∴不可能为钝角，
若点R在的内部，也不可能为钝角，
①如图，过C作于D，设，则，
当点R在上时，，当点R在左边时，都为钝角，
∵，
∴四边形为矩形，
又∵，
∴四边形为正方形，即，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，解得：，即，
∴当时，为钝角三角形；
②如图：当点R在边上时，，若点R在外，则为钝角，
由（2）可知：当时，点恰好落在线段上；
∵点P最多运动到点C，
∴，
∴当时，为钝角三角形．
综上，当或时，为钝角三角形．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为该抛物线上两点，点A的横坐标为，点的横坐标为．过点A作垂直于直线．交直线于点．
（1）求抛物线的函数表达式，
（2）求证：当且点A位于点上方时，的值始终为．
（3）当时，若．求的值．
（4）当是直角三角形时，直接写出的值．
解：（1）将点代入解析式可得：
，解得：，
所以抛物线的函数表达式为．
（2）∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，
即，
如图：过作垂直于延长线于D，
∴，∵且点A位于点上方，
∴，
∴，
∴当且点A位于点上方时，的值始终为．
（3）如图：当点A位于点下方时，，解得：，
∴
由已知可得：，，
过作垂直于的延长线于D，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：（不合题意舍弃）或（不合题意舍弃）；
如图：当点A位于点上方时，，解得：，
∴
同理可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或（不合题意舍弃）；
（4）∵，，
∴，，
当时，，
∴，
整理得：解得：或；
当时，，
∴，该方程无解．
当时，，
∴，
整理得：解得：或．
综上，当或或或时，是直角三角形．…
0
1
2
3
…
…
0
4
3
…