2024-2025学年江苏省苏州市六校联考高二年级12月调研测试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省苏州市六校联考高二年级12月调研测试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列an中，已知a1=2，S3=18，则a4等于( )
A. 12B. 13C. 14D. 16
2.斜率为−43，且经过点1,−1的直线方程为( )
A. 4x+3y+1=0B. 4x+3y−1=0C. 4x−3y−7=0D. 4x−3y−1=0
3.已知M是抛物线x2=4y上一点，F是抛物线的焦点，∠OFM=60°.则FM=( )
A. 43B. 32C. 3D. 4
4.设P是椭圆C:x24+y2=1的上任一点，点M(0,2)，则PM的最大值为( )
A. 2 213B. 3C. 2 2D. 4 73
5.已知P是双曲线x216a2−y29a2=1a>0上的点，F1，F2是其左、右焦点，且PF1⋅PF2=0.若△PF1F2的面积为18，则a=( )
A. 2B. 2 2C. 2D. 3
6.已知圆C:(x−a)2+(y−2a)2=a2(a>0)，点A(−2,0)，B(2,0).若圆C上存在点P使得∠APB=90∘，则a的最小值为( )
A. 1+ 52B. −1+ 52C. 3− 52D. 3+ 52
7.已知等差数列an的前n项和为Sn，若数列bn满足：对任意的n∈N∗，都有an+bn=n−1，且Sn=bn2，则a10=( )
A. 10B. 19C. 20D. 39
8.如图，已知双曲线C：x2a2−y2a=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是C上位于第一象限内的一点，且直线F2M与y轴的正半轴交于A点，△AMF1的内切圆在边MF1上的切点为N，若MN=1，则双曲线C的离心率为( )
A. 52B. 5
C. 2D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，且满足a3=8，an+1=Sn+c，则( )
A. a1=2
B. 若bn=an(an−1)(an+1)，则b1+b2+⋯bn=1−12n+1
C. c=2
D. 若bn=an2024，则当b1b2⋯bn最小时，n=10
10.已知点P(0,−2)，Q(0,2)，动点M(x,y)与P、Q两点连线的斜率分别为k1、k2，且k1k2=λ(λ为常数)，下列结论正确的有( )
A. 若λ0，则动点M(x,y)一定在双曲线上，且双曲线的焦点在y轴
C. 若λ=−4，则x+y的取值范围是[− 5, 5]
D. 若λ=−1，O为坐标原点，且直线x+y+t=0上的存在点A使得∠OAM=30∘，则−4 2≤t≤4 2
11.已知直线l经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，过A，B分别作直线x=−p2的垂线，垂足依次为A1，B1，若AB长的最小值为4，则下列结论正确的有( )
A. AB=AF⋅BF
B. 若AB的倾斜角为60∘，点A在第一象限，则AF=3BF
C. 若AA1⋅BB1=8，则AB的斜率为1
D. 若点M，N在C上，且AF+MF+NF=0，则AF+MF+NF=6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列{an}满足a4+a8=−3，a5a7=2，则a6=___________．
13.在平面直角坐标系xy中，已知B，C为圆x2+y2=9上两点，点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为___________．
14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，且满足F1F2⋅PF2=0，倾斜角为锐角的渐近线与线段PF1交于点Q，且F1P=4QP，则PF1PF2的值为____．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知⊙C:(x−a)2+y−b2=r2(00)的焦点为F，点M在抛物线C上，若ΔOFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为9π16．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F的两条直线分别与抛物线C交于A、B和C、D，若AB⊥CD，求四边形ABCD面积的最小值．
17.(本小题12分)
已知双曲线C1的离心率e= 62，虚轴在y轴上且长为2．
(1)求双曲线C1的标准方程；
(2)已知椭圆C2:2x2+y22=1，若A，B分别是C1，C2上的动点，且OA⊥OB，求1OA2+1OB2的值，以及AB的最小值．
18.(本小题12分)
已知数列an满足a1=1，an+an−1=2n−1(n≥2)．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn的前n项和为Sn，bn=an,n=2k−1(k∈N∗)2an,n=2k(k∈N∗)，求S2n−1；
(3)设Tn=1 a1+1 a2+⋯+1 an，求[T2024]的值(其中[x]表示不超过x的最大整数)．
19.(本小题12分)
椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2 3，且经过点( 3,12)．如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，直线l与直线AB平行且交椭圆C于点E、F两点，连接AE、BF交于点P．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，证明k1⋅k2为定值；
(3)证明：点P在一条定直线上．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.A
5.C
6.B
7.B
8.D
9.ACD
10.BCD
11.ABD
12.− 2
13.[4− 2,4+ 2]
14.72
15.解：(1)因为 ⊙C 与两坐标轴均相切，且过点 (2,1) ，
∴a=b=r，
则 (2−a)2+(1−a)2=a2 ，得 a2−6a+5=0 ，
∴a=1 或 a=5 ，又 00,b>0) ，
由题意得 2b=2 ， ∴b=1 ，又 ∵e= 1+b2a2= 62 ， ∴a2=2 ，
∴ 双曲线 C1 的标准方程为 x22−y2=1 ．
(2)当 OB 垂直于 x 轴时， |OB|= 2 ， |OA|= 2 ，则 1|OA|2+1|OB|2=1
当 OB 不垂直于 x 轴时，设直线 OA 的方程为 y=kx ，则直线 OB 的方程为 y=−xk ，
联立方程 y=kxx2−2y2=2 ，得 x2=21−2k2y2=2k21−2k2 ， ∴|OA|2=2(1+k2)1−2k2 ，
联立方程 y=−xk4x2+y2=2 ，得 x2=2k21+4k2y2=21+4k2 ， ∴|OB|2=2(1+k2)1+4k2 ，
则 1|OA|2+1|OB|2=1−2k2+1+4k22(k2+1)=1
又 AB2=OA2+OB2 ，
∴AB2=(OA2+OB2)(1|OA|2+1|OB|2)=2+|OB|2|OA|2+|OA|2|OB|2≥2+2 |OB|2|OA|2⋅|OA|2|OB|2=4，
(当且仅当 OA=OB 时等号成立)
故 AB 的最小值为2．

18.解：(1)∵an+an−1=2n−1(n≥2)，
∴an−n=−(an−1−n+1)(n≥2)，
又a1=1，则a1−1=0，
故{an−n}为常数列，an−n=0，即an=n．
(2)∵an=n，∴bn=n,n=2k−1(k∈N∗)2n,n=2k(k∈N∗)，
则S2n−1=(1+3+⋯+2n−1)+(22+24+⋯+22n−2)
=(1+2n−1)n2+22(1−4n−1)1−4=n2+4n−43
(3)∵1 an=1 n=2 n+ n，
∴1 an>2 n+1+ n=2( n+1− n)，
1 an2[( 2025− 2024)+( 2025− 2023)+⋯+( 2−1)]=2 2025−1，
T2024