2024~2025学年江苏省苏州市六校高二上学期12月联考调研测试数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年江苏省苏州市六校高二上学期12月联考调研测试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 在等差数列中，已知，则等于， 斜率为，且经过点的直线方程为， 已知圆，点， 已知等差数列的前项和为等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 在等差数列中，已知，则等于（ ）
A. 12B. 13C. 14D. 16
【答案】C
【解析】因为数列为等差数列，所以，解得，
所以公差，所以.
故选：C
2. 斜率为，且经过点的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】所求直线方程为，即.
故选：B.
3. 已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，.则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】由题得F0,1，准线方程为，设，
根据对称性，不妨假设点位于第一象限，过点作轴，
因为，则，
则，
又因为是抛物线上一点，
则，代入上式有，解得或3，
显然由图知，则，则.
故选：A
4. 设是椭圆的上任一点，点，则的最大值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】设点，
则
当时，取到最大值，
即最小值为.
故选：A.
5. 已知是双曲线上的点,是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由得，
由勾股定理得，
由双曲线的定义得，
，
所以，
则的面积为，
，解得.
故选：C.
6. 已知圆，点.若圆上存在点使得，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】若，则点P在以AB为直径的圆上，即圆，即两圆存在公共点,
由两圆位置关系可得
即的最小值为，
故选:B
7. 已知等差数列的前项和为.若数列满足:对任意的,都有,且，则（ ）
A. 10B. 19C. 20D. 39
【答案】B
【解析】由题设或，
设公差为，由题意知：，
，由，
由结构特征知：，
综上，，所以.
故选：B.
8. 如图，双曲线的左､右焦点分别为是上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】设，设、与的内切圆切于点、，
由对称性可得内切圆圆心在轴上，
结合切线长定理可得，，
则，即，
故，则，
因此，.

故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列的前项和为,公比为,且满足，则（ ）
A.
B. 若，则
C.
D. 若，则当最小时，
【答案】ACD
【解析】对于A，由可得
，
所以数列是公比为2的等比数列
由，则，A正确；
对于B，，
则，B错误；
对于C，，所以，C正确；
对于D， ，所以数列单调递增，
又当时，；
当时，，
所以当最小时，，D正确.
故选：ACD.
10. 已知点，动点Mx,y与两点连线的斜率分别为且（为常数），下列结论正确的有：（ ）
A. 若，则动点Mx,y一定在椭圆上
B. 若，则动点Mx,y一定在双曲线上，且双曲线的焦点在轴
C. 若，则的取值范围是
D. 若为坐标原点，且直线上存在点使得，则
【答案】BCD
【解析】由可得，即
对于A，若，则点M在圆上，选项A错误
对于B，若，则点轨迹为焦点在轴上的双曲线，B正确
对于C，若，则，即，
可设点，
则，可得C正确
对于D，当时，点M轨迹为，
当垂直于直线，且为圆切线时，此时最大，
此时需满足，即，
由点到直线距离，解得，D正确.
故选；BCD
11. 已知直线经过抛物线的焦点,且与交于两点，过分别作直线的垂线，垂足依次为，若长的最小值为4，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若的倾斜角为，点在第一象限，则
C. 若，则的斜率为1
D. 若点在上，且，则
【答案】ABD
【解析】抛物线焦点，
依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为，
由消去并化简得，
，设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，
，
，当时等号成立，
所以， 所以抛物线，焦点为F1,0，
对于选项A: 由上述分析可知，
，
所以，故A正确；
对于选项B：因为的倾斜角为，抛物线的焦点为F1,0，点在第一象限，
设Ax1,y1,Bx2,y2 ，
由直线的点斜式方程可得：直线的方程为： ，
其与抛物线联立方程组可得： ，
解得 ；
所以，故B正确；
对于选项C：设直线的方程为：y=kx-1 ，
其与抛物线联立方程组可得： ，
由韦达定理可得：，
所以，
即，
所以，解得 ，故C错误；
对于选项D：由，
得：,
所以，故D正确；
故选：ABD.
三､填空题：本题共3题，每小题5分，共15分.
12. 已知等比数列满足，则______.
【答案】
【解析】因为数列为等比数列，由，
所以，，
由，，知均为负数，
所以等比数列中偶数项均为负，即
故答案为：.
13. 在平面直角坐标系中,已知B，C为圆上两点,点,且，则线段的长的取值范围是___________.
【答案】
【解析】设的中点为，
因为，
所以，
化简得，
即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
所以
所以的取值范围是，
从而的取值范围是．
故答案为：．
14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上,且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点，且，则的值为______.
【答案】
【解析】设双曲线C的半焦距为c，即有，
因，则，
即直线与双曲线C交于点P，且点P在第一象限，
由得点，由，
而，得，
代入得：，即，不妨，则，
故，则，因此.
故答案为：.
四､解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知与两坐标轴均相切；且过点，直线过点交圆于两点.
（1）求圆的方程；
（2）若，求直线的斜率.
解：（1）由题意知圆心C在第一象限，圆C与两坐标轴均相切，则，
由圆C过点2,1，所以，解得或5，
因为，所以，
所以圆C方程为.
（2）由可得，即点A为PB中点，
设弦AB中点为E，则，
设，则，
在中，由勾股定理得①，
在中，由勾股定理得②，
联立①②解得，即圆心C到直线的距离的平方为，
设直线，即，
则，解得.
16. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的两条直线分别与抛物线交于、和、，若，求四边形面积的最小值.
解：（1）因为点，所以线段的中垂线为.
即的外接圆圆心在直线上，圆心到准线的距离为，
所以的外接圆半径为，所以该圆面积.
解得，所以抛物线的方程为.
（2）若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线、都不与x轴重合，所以，直线、的斜率存在且都不为零，
易知抛物线的焦点为，设直线的方程为，
设点Ax1,y1、Bx2,y2，
联立可得，，
由韦达定理可得，
所以，
因为，所以可设直线方程为，
用代替可得
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，即四边形的面积最小值为.
17. 已知双曲线的离心率，虚轴在轴上且长为2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知椭圆，若分别是上的动点，且，求的值，以及的最小值.
解：（1）由题意，所以双曲线的方程为.
（2）因为双曲线的渐近线方程为，则直线OA的斜率
①当时，由对称性，不妨取右顶点，点B轴上，不妨取，
此时，则
②当时
联立直线OA方程与双曲线方程
因为，则直线方程为，联立直线OB方程与椭圆方程
所以
综上，为定值1
令
则，因为，所以
所以，所以
所以，综上，
所以最小值为2
18. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求.
（3）设，求的值（其中表示不超过的最大整数）.
解：（1）由，，
则，
两式相减得，，
所以数列奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为2，
又，且，即，
所以数列为以1为首项，1为公差的等差数列，
则.
（2）由题意，
所以
.
（3）由（1）知，则，
由，，得，，
故，，，，
以上各式相加，得.
由，，得，，
故，，，，
以上各式相加，得，
则.
综上所述，则.
19. 椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为，且经过点.如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，直线与直线平行且交椭圆于点两点，连接交于点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率分别为，证明为定值；
（3）证明：点在一条定直线上.
解：（1）因为椭圆的焦距，
所以，则，即.
椭圆经过点，将其代入椭圆方程得到.
联立解得，
故椭圆的方程为.
（2）法1.，取中点，
设中点，
，即，
即，故在直线上，即，
由平面几何易知：共线，故可设，
则定值；

法2. ，
设，
，
（3）法1.由（2）法1知：在定直线上.
法2.由（2）法2知:，
故点P在定直线上.