2024-2025学年河北省保定市高一上学期12月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省保定市高一上学期12月月考数学检测试卷（附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）坐标平面内点P的坐标为（sin5，cs5），则点P位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）在△ABC中，BD→=23BC→，E为AD的中点，则CE→等于（ ）
A．16AB→−23AC→B．23AB→−16AC→C．13AB→−56AC→D．56AB→−13AC→
3．（5分）已知A（2，﹣1），B（1，4），C（sin3π2，cs5π3），O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．AB→=（1，﹣5）B．A，O，C三点共线
C．A，B，C三点共线D．OA→+OB→=3OC→
4．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率可能是0.2
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是4
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是27
D．若数据x1，x2，…，x10的方差为4，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差是4
5．（5分）如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时1039海里，在A处看灯塔S在船的北偏东θ(sinθ=34)的方向上．1小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东3θ的方向上，则船航行到B处时与灯塔S之间的距离为（ ）
A．103海里B．203海里C．1013海里D．2013海里
6．（5分）若cs（α﹣β）=55，cs2α=1010，且α，β均为锐角，α＜β，则α+β＝（ ）
A．π6B．π4C．3π4D．5π6
7．（5分）函数y＝3sinx+12cs2x−94（x∈R）的最小值是（ ）
A．14B．12C．−234D．−414
8．（5分）将函数y=sin2x+3cs2x的图象向右平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度后得到f（x）的图象，若f（x）在(π，4π3)上单调递增，则φ的取值范围为（ ）
A．(π8，3π8)B．(π4，π2)C．[π4，5π12]D．[π4，π2)
二、多选题（共3小题，每题6分，全选对6分，选对但不全得部分分，选错0分，共18分）
（多选）9．（6分）若复数z＝2+i，则下列命题是真命题的是（ ）
A．z⋅z=5
B．zi2024=−2−i
C．5|−i|=|z|
D．若z是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的根，则mn＝﹣20
（多选）10．（6分）已知f（x）＝sin2x+2cs2x﹣1，下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间[−3π8，π8]上是增函数
B．点(3π8，0)是函数f（x）图象的一个对称中心
C．函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位长度得到
D．若x∈[0，π2]，则f（x）的值域为[−1，2]
（多选）11．（6分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝6，点D满足AD→=2DB→，且csinA=3acsC，O是△ABC外心，则下列判断正确的是（ ）
A．C=π3
B．△ABC的外接圆半径是23
C．OD＝2
D．CD的最大值为27
三、填空题（本小题共3题，每题5分，共15分）
12．（5分）已知角α的终边经过点P（2，﹣3），则sin(π−α)+cs(α−π)sin(π2+α)+cs(π2−α)= ．
13．（5分）在△ABC中，AB=36，∠ABC=45°，∠ACB=60°，延长BC到D，使得CD＝10，则AD的长度为 ．
14．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为△ABC的重心，OB⊥OC，3b＝4c，则csA＝ ．
四、解答题（本题共5题，共77分）
15．（13分）已知向量a→=(−1，0)，b→=(m，1)，且a→与b→的夹角为π4．
（1）求m及|a→+2b→|；
（2）若a→+λb→与a→+2b→所成的角是锐角，求实数λ的取值范围．
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bcsC＝（2a﹣c）csB．
（1）求角B的大小；
（2）设a＝2，c＝3．
①求b的值；
②求sin（2A+B）的值．
17．（15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数；
（2）求样本成绩的众数，中位数和平均数；
（3）已知落在[50，60）的平均成绩是54，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2．
18．（17分）已知a→=(−1，23)，b→=(sin2x−cs2x，sinxcsx)，函数f(x)=a→⋅b→．
（1）求函数f（x）的解析式及对称中心；
（2）若f(π12+α2)=−233，且5π6＜α＜π，求sinα的值．
（3）在锐角△ABC中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若b=3，f（B）＝1，求△ABC周长的取值范围．
19．（17分）如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π2)图象的一部分．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）记方程f(x)=−34在x∈[−π12，17π12]上的根从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn（n∈N*），若m＝x1+x2+x3+⋯+xn，试求n与m的值．
答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）
1．（5分）坐标平面内点P的坐标为（sin5，cs5），则点P位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用角的范围，得出三角函数值的正负，判断出点所在的象限．
解：∵3π2＜5＜2π，
∴sin5＜0，cs5＞0，
平面内点P的坐标为（sin5，cs5），则点P位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了象限角的概念，属于基础题．
2．（5分）在△ABC中，BD→=23BC→，E为AD的中点，则CE→等于（ ）
A．16AB→−23AC→B．23AB→−16AC→C．13AB→−56AC→D．56AB→−13AC→
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
解：BC→=AC→−AB→，
BD→=23BC→=23（AC→−AB→），
AD→=AB→+BD→=AB→+23(AC→−AB→)=13AB→+23AC→，
AE→=12AD→=16AB→+13AC→，
CE→=AE→−AC→=16AB→+13AC→−AC→=16AB→−23AC→．
故选：A．
【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．
3．（5分）已知A（2，﹣1），B（1，4），C（sin3π2，cs5π3），O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．AB→=（1，﹣5）B．A，O，C三点共线
C．A，B，C三点共线D．OA→+OB→=3OC→
【分析】先求出点C的坐标，再利用平面向量的坐标运算判断选项A，D的正误，把三点共线问题转化为向量共线问题，可判断选项B，C的正误．
解：∵sin3π2=−1，cs5π3=12，∴C（﹣1，12），
对于选项A：AB→=（1﹣2，4﹣（﹣1））＝（﹣1，5），故选项A错误，
对于选项B：OA→=（2，﹣1），OC→=（﹣1，12），则OA→=−2OC→，所以A，O，C三点共线，故选项B正确，
对于选项C：AB→=（﹣1，5），BC→=（﹣2，−72），不存在实数k，使得AB→=kBC→，则A，B，C三点不共线，故选项C错误，
对于选项D：OA→+OB→=（3，3），OC→=（﹣1，12），所以：OA→+OB→≠3OC→，故选项D错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，考查了三点共线问题，是基础题．
4．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率可能是0.2
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是4
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是27
D．若数据x1，x2，…，x10的方差为4，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差是4
【分析】A由题意可得m被抽到的概率；B由平均数可得m，后由方差计算公式可得方差；C由百分位数概念可得答案；D由方差性质可得新数据的方差及标准差．
解：对于A，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，
则个体m被抽到的概率可能是550=0.1，故A错误；
对于B，因1，2，m，6，7的平均数为4，
则1+2+m+6+75=4⇒m=4，
则数据方差为：15[(4−1)2+(4−2)2+(4−6)2+(4−7)2]=265，故B错误；
对于C，对数据从小到大排序得：12，14，15，17，19，23，27，30．
因8×0.7＝5.6，则第70百分位数为第6个数据23，故C错误；
对于D，因x1，x2，…，x10的方差为4，则2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为16，
标准差为4，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题．
5．（5分）如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时1039海里，在A处看灯塔S在船的北偏东θ(sinθ=34)的方向上．1小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东3θ的方向上，则船航行到B处时与灯塔S之间的距离为（ ）
A．103海里B．203海里C．1013海里D．2013海里
【分析】由题意可知△ABS的角和边，再由正弦定理可得BS的值．
解：由题意可知AB＝1×1039=1039海里，∠SAB＝θ，∠SBA＝π﹣3θ，
所以∠ASB＝π﹣θ﹣（π﹣3θ）＝2θ，
所以sinθ=34，csθ=134，所以sin2θ＝2sinθcsθ=398，
在△ABS中，由正弦定理可得BSsinθ=ABsin2θ，
即BS34=1039398，解得BS＝203海里，
故选：B．
【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
6．（5分）若cs（α﹣β）=55，cs2α=1010，且α，β均为锐角，α＜β，则α+β＝（ ）
A．π6B．π4C．3π4D．5π6
【分析】利用两角和差的余弦公式进行转化求解即可．
解：∵α+β＝2α﹣（α﹣β）
∴cs（α+β）＝cs[2α﹣（α﹣β）]＝cs2αcs（α﹣β）+sin2αsin（α﹣β），
∵α，β均为锐角，α＜β，
∴0＜2α＜π，−π2＜α﹣β＜0，
则sin2α=1−10100=90100=31010，
sin（α﹣β）=−255，
则cs（α+β）=1010×55−31010×255=5250−30250=−22，
则α+β=3π4，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键．考查学生的运算能力，难度中等．
7．（5分）函数y＝3sinx+12cs2x−94（x∈R）的最小值是（ ）
A．14B．12C．−234D．−414
【分析】将函数化简，由自变量的范围求出函数的最小值．
解：y＝3sinx+12cs2x−94=3sinx+12（1﹣2sin2x）−94=−sin2x+3sinx−74=−（sinx−32）2+12，
因为sinx∈[﹣1，1]，所以当sinx＝﹣1时，函数值最小，且ymin=−234，
故选：C．
【点评】本题考查三角函数求最值的方法，属于基础题．
8．（5分）将函数y=sin2x+3cs2x的图象向右平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度后得到f（x）的图象，若f（x）在(π，4π3)上单调递增，则φ的取值范围为（ ）
A．(π8，3π8)B．(π4，π2)C．[π4，5π12]D．[π4，π2)
【分析】根据辅助角公式和图象的平移变换得到f(x)=2sin(2x−2φ+π3)，再根据正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．
解：由y=sin2x+3cs2x=2sin(2x+π3)，
将函数y=2sin(2x+π3)的图象向右平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度后得到f（x）的图象，
则f(x)=2sin[2(x−φ)+π3]=2sin(2x−2φ+π3)，
由−π2+2kπ≤2x−2φ+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得kπ−5π12+φ≤x≤kπ+π12+φ，k∈Z，
又f（x）在(π，4π3)上单调递增，
则kπ+π12+φ≥4π3kπ−5π12+φ≤π，k∈Z，
解得φ≤17π12−kπφ≥5π4−kπ，
即5π4−kπ≤φ≤17π12−kπ，k∈Z，
又0＜φ＜π2，
则当k＝1时，π4≤φ≤5π12，
即φ的取值范围是[π4，5π12]．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多选题（共3小题，每题6分，全选对6分，选对但不全得部分分，选错0分，共18分）
（多选）9．（6分）若复数z＝2+i，则下列命题是真命题的是（ ）
A．z⋅z=5
B．zi2024=−2−i
C．5|−i|=|z|
D．若z是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的根，则mn＝﹣20
【分析】根据共轭复数的定义及复数乘法运算可判定A；根据复数乘法和除法运算可判定B；根据复数的模可判定C；根据方程的根及复数相等的条件可判定D．
解：对于A，复数z＝2+i，
∴z⋅z=（2+i）（2﹣i）＝4﹣i2＝5，故A正确；
对于B，∵i2024＝（i2）1012＝（﹣1）1012＝1，
∴zi2024=z＝2+i，故B错误；
对于C，∵|z|=4+1=5，|﹣i|＝1，
∴5|﹣i|＝|z|，故C正确；
对于D，若z是关于x的方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的根，
则（2+i）2+m（2+i）+n＝0，
∴3+2m+n+（m+4）i＝0，
∴3+2m+n=0m+4=0，∴m=−4n=5，
∴mn＝﹣20，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查共轭复数的定义、复数运算法则、复数的模、方程的根及复数相等等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（6分）已知f（x）＝sin2x+2cs2x﹣1，下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间[−3π8，π8]上是增函数
B．点(3π8，0)是函数f（x）图象的一个对称中心
C．函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位长度得到
D．若x∈[0，π2]，则f（x）的值域为[−1，2]
【分析】根据三角函数中的恒等变换即可求解．
解：函数f（x）＝sin2x+2cs2x﹣1＝sin2x+cs2x=2sin(2x+π4)，
A项，若x∈[−3π8，π8]，则2x+π4∈[−π2，π2]，
因此函数f（x）在区间[−3π8，π8]上是增函数，因此A正确；
B项，因为f(3π8)=2sin(3π4+π4)=2sinπ=0，
因此点(3π8，0)是函数f（x）的图象的一个对称中心，因此B正确；
C项，由函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位长度得到：
y=2sin[2（x+π4）]=2cs2x，
因此由函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位长度不能得到函数f（x）的图象，因此C不正确；
D项，若x∈[0，π2]，则2x+π4∈[π4，5π4]，所以sin(2x+π4)∈[−22，1]，
所以f（x）的值域为[−1，2]，因此D不正确．
故选：AB．
【点评】本题考查了三角函数中的恒等变换的应用，属于基础题．
（多选）11．（6分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝6，点D满足AD→=2DB→，且csinA=3acsC，O是△ABC外心，则下列判断正确的是（ ）
A．C=π3
B．△ABC的外接圆半径是23
C．OD＝2
D．CD的最大值为27
【分析】根据正弦定理化简csinA=3acsC，可得sinC=3csC，从而求出tanC=3，结合C∈（0，π）算出角C，即可判断A项的正误；直接利用正弦定理算出△ABC的外接圆半径大小，即可判断出B项的正误；取AB的中点M，连接OM，分别在Rt△AOM、Rt△DOM中利用勾股定理加以计算，可得OD的长，从而判断出C项的正误；根据三角形两边之和大于第三边，结合图形求出CD的最大值，即可判断出D项的正误．
解：对于A，在△ABC中，由正弦定理asinA=csinC，可得csinA＝asinC，
结合csinA=3acsC，可得asinC=3acsC，所以sinC=3csC，
即tanC=sinCcsC=3，结合C∈（0，π），可知C=π3，故A项正确；
对于B，由C=π3且c＝6，可得△ABC的外接圆半径R满足2R=csinC=6sinπ3=43，
解得R=23，故B项正确；
对于C，如图所示，取AB的中点M，连接OM，则OM⊥AB，
在Rt△AOM中，OA＝R=23，AM=12AB=3，可得OM=OA2−AM2=(23)2−(3)2=3，
在Rt△DOM，DM＝AD﹣AM=23AB−12AB=16AB=1，可得OD=OM2+DM2=3+1=2，故C项正确；
对于D，根据题意，可得CD≤CO+OD=23+2，当且仅当圆心O在线段CD上时，等号成立，
所以CD的最大值为23+2，故D项错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换公式、三角形外接圆的性质与勾股定理等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
三、填空题（本小题共3题，每题5分，共15分）
12．（5分）已知角α的终边经过点P（2，﹣3），则sin(π−α)+cs(α−π)sin(π2+α)+cs(π2−α)= 5 ．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义可求tanα的值，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
解：因为角α的终边经过点P（2，﹣3），
所以tanα=−32，
则sin(π−α)+cs(α−π)sin(π2+α)+cs(π2−α)=sinα−csαcsα+sinα=tanα−11+tanα=−32−11+(−32)=5．
故5．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
13．（5分）在△ABC中，AB=36，∠ABC=45°，∠ACB=60°，延长BC到D，使得CD＝10，则AD的长度为 14 ．
【分析】在△ABC中，由正弦定理求出AC；再在△ACD中，利用余弦定理，即可求出结果．
解：在△ABC中，由正弦定理可得，ABsin∠ACB=ACsin∠ABC，
因为AB=36，∠ABC=45°，∠ACB=60°，所以3632=AC22，所以AC＝6，
在△ACD中，CD＝10，AC＝6，∠ACD＝180°﹣∠ACB＝120°，
由余弦定理可得，AD2=AC2+CD2−2AC×CD×cs120°=36+100−2×6×10×(−12)=196，
所以AD＝14．
故14．
【点评】本题考查利用正余弦定理解三角形，属于基础题．
14．（5分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为△ABC的重心，OB⊥OC，3b＝4c，则csA＝ 56 ．
【分析】根据∠ADB+∠ADC＝π及余弦定理建立方程得出b2+c2＝5a2，再由余弦定理求解，即可得出答案．
解：连接AO，延长AO交BC于D，如图所示：
∵O为△ABC的重心，
∴D为BC的中点，
又OB⊥OC，
则OD=BD=CD=12a，AD=32a，
∵∠ADB+∠ADC＝π，
∴由余弦定理得cs∠ADB+cs∠ADC=94a2+14a2−c22×32a×12a+94a2+14a2−b22×32a×12a=0，即b2+c2＝5a2，
又3b＝4c，则bc=43，
故csA=b2+c2−a22bc=b2+c2−15b2−15c22bc=25(bc+cb)=25×(43+34)=56．
故56．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
四、解答题（本题共5题，共77分）
15．（13分）已知向量a→=(−1，0)，b→=(m，1)，且a→与b→的夹角为π4．
（1）求m及|a→+2b→|；
（2）若a→+λb→与a→+2b→所成的角是锐角，求实数λ的取值范围．
【分析】（1）根据a→与b→的夹角列方程，由此求得m，进而求得|a→+2b→|．
（2）根据a→+λb→与a→+2b→所成的角是锐角列不等式，由此求得实数λ的取值范围．
解：（1）因为a→=(−1，0)，b→=(m，1)，且a→与b→的夹角为π4，
所以cs＜a→，b→＞=csπ4=−m1×m2+1=22，−2m=m2+1，解得m＝﹣1，
则a→=(−1，0)，b→=(−1，1)，a→+2b→=(−1，0)+(−2，2)=(−3，2)，
所以|a→+2b→|=9+4=13；
（2）因为a→=(−1，0)，b→=(−1，1)，
所以a→+2b→=(−3，2)，a→+λb→=(−1，0)+λ(−1，1)=(−1，0)+(−λ，λ)=(−1−λ，λ)，
由于a→+λb→与a→+2b→所成的角是锐角，
所以−3×(−1−λ)+2λ＞0−3×λ≠2×(−1−λ)，λ＞−35λ≠2，
解得λ＞−35且λ≠2，
所以实数λ的取值范围为(−35，2)∪(2，+∞)．
【点评】本题平面向量的数量积与夹角，属于中档题．
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bcsC＝（2a﹣c）csB．
（1）求角B的大小；
（2）设a＝2，c＝3．
①求b的值；
②求sin（2A+B）的值．
【分析】（1）根据bcsC＝（2a﹣c）csB，利用正弦定理化简得sinBcsC+sinCcsB＝2sinAcsB，由此求得csB，结合B∈（0，π），算出角B的值．
（2）①利用余弦定理列式求得边b的值；
②根据正弦定理求出sinA的值，然后利用同角三角函数的关系求出csA，根据二倍角公式算出sin2A、cs2A，进而根据两角和的正弦公式算出答案．
解：（1）∵bcsC＝（2a﹣c）csB，即bcsC+ccsB＝2acsB，
∴由正弦定理，可得sinBcsC+sinCcsB＝2sinAcsB，即sin（B+C）＝2sinAcsB，
∵sinA＝sin（π﹣A）＝sin（B+C），
∴sinA＝2sinAcsB，结合sinA＞0，化简得csB=12，
又∵B∈（0，π），∴B=π3．
（2）①∵a＝2，c＝3，∴b2＝a2+c2﹣2accsB＝7，可得b=7（舍负）；
②根据正弦定理bsinB=asinA，得sinA=asinBb=2sinπ37=217，
根据a＜c，可知A为锐角，csA=1−sin2A=277（舍负），
可得sin2A＝2sinAcsA＝2×217×277=437，cs2A＝2cs2A﹣1=17，
∴sin（2A+B）＝sin2AcsB+cs2AsinB=437×12+17×32=5314．
【点评】本题主要考查了正弦定理与余弦定理、三角函数恒等变换及其应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17．（15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数；
（2）求样本成绩的众数，中位数和平均数；
（3）已知落在[50，60）的平均成绩是54，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2．
【分析】（1）根据频率和为1求得a＝0.030，结合百分数定义求第75百分位数；
（2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值；
（3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差．
解：（1）根据题意可得0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1＝1，解得a＝0.030；
∵前几组的频率依次为0.05，0.1，0.2，0.3，0.25，
∴第75百分位数m∈（80，90），由0.65+（m﹣80）×0.025＝0.75，解得m＝84，
所以第75百分位数为84；
（2）由70+802=75，得样本成绩的众数为75，
成绩落在[40，70）内的频率为0.05+0.1+0.2＝0.35，
成绩落在[40，80）内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3＝0.65，
故中位数在[70，80）内，由70+0.5−−0.35×10=75，得样本成绩的中位数为75，
由45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1＝74．
得样本成绩的平均数为74；
（3）由频率分布直方图知，成绩在[50，60）的市民人数为100×0.1＝10，成绩在[60，70）的市民人数为100×0.2＝20，
所以z=54×10+66×2030=62，
总方差为s2=110+20{10×[7+(54−62)2]+20×[4+(66−62)2]}=37．
【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．
18．（17分）已知a→=(−1，23)，b→=(sin2x−cs2x，sinxcsx)，函数f(x)=a→⋅b→．
（1）求函数f（x）的解析式及对称中心；
（2）若f(π12+α2)=−233，且5π6＜α＜π，求sinα的值．
（3）在锐角△ABC中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若b=3，f（B）＝1，求△ABC周长的取值范围．
【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可；
（2）由f(π12+α2)=−233得出sin(α+π3)=−33，再根据两角差的正弦公式计算即可；
（3）由f（B）＝1得出B=π3，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将a+c转化为三角函数，根据△ABC为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出a+c范围即可求解．
解：（1）由a→=(−1，23)，b→=(sin2x−cs2x，sinxcsx)，
可得f(x)=a→⋅b→=(cs2x−sin2x)+23sinxcsx=3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
令2x+π6=kπ，则x=−π12+kπ2，k∈Z，
故函数的对称中心为(−π12+kπ2，0)，k∈Z；
（2）由f(π12+α2)=−233可得，2sin[2(π12+α2)+π6]=−233，
化简得sin(α+π3)=−33，
因为5π6＜α＜π，所以7π6＜α+π3＜4π3，
所以cs(α+π3)=−63，
则sinα=sin[(α+π3)−π3]=sin(α+π3)csπ3−cs(α+π3)sinπ3=−33×12+63×32=32−36；
（3）由f（B）＝1可得2sin(2B+π6)=1，即sin(2B+π6)=12，
又0＜B＜π，所以B=π3，
由正弦定理有bsinB=csinC=asinA=332=2，
所以a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin(2π3−A)=2sinA+2(32csA+12sinA)
=3sinA+3csA=23sin(A+π6)，
因为△ABC为锐角三角形，所以0＜A＜π20＜C＜π2，解得A∈(π6，π2)，
所以A+π6∈(π3，2π3)，则23sin(A+π6)∈(3，23]，
所以3＜a+c≤23，则3+3＜a+b+c≤33，
所以△ABC的周长的取值范围为(3+3，33]．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换的综合应用，属中档题．
19．（17分）如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π2)图象的一部分．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）记方程f(x)=−34在x∈[−π12，17π12]上的根从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn（n∈N*），若m＝x1+x2+x3+⋯+xn，试求n与m的值．
【分析】（1）根据图像得出A，T，ω，再根据φ的取值范围求出φ即可确定解析式．
（2）根据第一问所求函数解析式求出单调增区间以及单调减区间即可．
（3）将f（x）=−34代入解析式并结合图象判断出在[0，6π]有6个解，再根据已知分别求解即可．
解：（1）由图可得A=f(x)max=3，
函数f（x）的最小正周期为T=4×(π6−π24)=π2，
则ω=2πT=2ππ2=4，
所以f(x)=3sin(4x+φ)，
因为f(π24)=3sin(π6+φ)=3，则sin(π6+φ)=1，
因为0＜|φ|＜π2，所以φ+π6=π2，解得φ=π3，
所以f(x)=3sin(4x+π3)．
（2）令2kπ−π2≤4x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ2−5π24≤x≤kπ2+π24，k∈Z，
令2kπ+π2≤4x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ2+π24≤x≤kπ2+7π24，k∈Z．
因此函数f（x）的单调递增区间为[kπ2−5π24，kπ2+π24]，k∈Z，单调递减区间为[kπ2+π24，kπ2+7π24]，k∈Z．
（3）方程f(x)=−34，即3sin(4x+π3)=−34，即sin(4x+π3)=−34，
因为x∈[−π12，17π12]，所以4x+π3∈[0，6π]，
设θ=4x+π3，其中θ∈[0，6π]，即sinθ=−34，
结合正弦函数y＝sinθ的图象，可得方程sinθ=−34在区间[0，6π]有6个解，即n＝6，
其中θ1+θ2＝3π，θ3+θ4＝7π，θ5+θ6＝11π，
即4x1+π3+4x2+π3=3π，4x3+π3+4x4+π3=7π，4x5+π3+4x6+π3=11π，
解得x1+x2=7π12，x3+x4=19π12，x5+x6，=3112π．
所以m=x1+x2+x3+⋯+x6=19π4，
所以m=19π4，n＝6．
【点评】本题考查三角函数的应用以及根据三角函数图象确定解析式，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
B
C
C
C