2024-2025学年广东省深圳市高一上学期期末考试数学检测试题1（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市高一上学期期末考试数学检测试题1（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列两个函数为同一函数的为（ ）
A．B．
C．D．
3．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震级数之间的关系式为.2022年9月18日14时44分在中华台北花莲发生的6.9级地震所释放出来的能量是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生的5.1级地震的倍，则下列各数中最接近的值为（ ）
A．100B．310C．500D．1000
4．已知扇形的圆心角为2弧度，且圆心角所对的弦长为4，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
6．已知函数，设，则的最小值为（ ）
A．1B．C．9D．
7．已知函数在内解的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知函数， 若方程有九个不同实根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列条件中，其中是的充分不必要条件的是（ ）
A．；
B．；
C．；
D．；：函数在上有零点
10．设函数，给出下列命题，正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．若，则
C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象
D．在内使的所有的和为
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知，若，则 .
14．写出一个符合下列要求的函数： ｡
①的值域为 ②为偶函数
15．函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为 ．
16．函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．（1）计算：
（2）已知，求的值.
18．如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点在单位圆上，其中点在第一象限，且，记.
(1)若，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，求的值.
19．湖南株洲市某高科技企业决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台，需要另投入成本（万元），当年产量小于60台时，（万元）；当年产量不少于60台时（万元）.若每台设备的售价为100万元，通过市场分析，假设该企业生产的电子设备能全部售.
（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式？
（2）年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？
20．设函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域.
21．已知函数是奇函数.
(1)求的值，判断的单调性（不必证明）｡
(2)解不等式.
22．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”.
(1)已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；
(2)若是定义在上的倒函数，当时，，方程是否有整数解？并说明理由；
(3)若是定义在上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上单调递增.记，证明：是的充要条件.
答案
1．【正确答案】C
【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可.
【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，
即.
故选：C.
2．【正确答案】D
【分析】同一函数要满足中两个条件：第一：定义域相同，第二：对应关系完全一致，根据两个条件即可判断.
【详解】对于选项A，定义域为，定义域为，函数定义域不相同，不是同一函数，故A不符合题意；
对于B，定义域为，定义域为，函数定义域不相同，不是同一函数，故B不符合题意；
对于C，定义域为，函数定义域为，函数定义域不相同，不是同一函数，故C不符合题意；
对于D，定义域为，定义域为，且，函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一函数，故D符合题意.
故选：D.
3．【正确答案】C
【分析】根据地震释放出的能量与地震级数之间的关系式，将两次地震等级分别代入，利用对数运算法则可得两次能量的比值，近似计算可确定选项.
【详解】设6.9级地震所释放出来的能量是，日本5.1级地震所释放出来的能量是，
则，；
可得，所以
而，即.
故选：C
4．【正确答案】A
【分析】由扇形的弧长和面积公式求解即可.
【详解】因为扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为4，为圆心，如下图，
取的中点，连接，则，则，
则扇形的半径，所以扇形的弧长，
则扇形的面积为.
故选：A.

5．【正确答案】C
【分析】先由结合基本不等式求出的最小值，进而得，再解一元二次不等式即可.
【详解】由题意知，，
当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，
即 ，解得.
故选：C.
6．【正确答案】D
【分析】根据题意，在同一个直角坐标系中画出三个函数的图象，结合最大值的含义可直接得出最小值.
【详解】在同一直角坐标系中作出函数,,，
根据题意可得函数为图中黑线表示部分，
根据图像可得，点A为函数与的交点，
所以解得，故点A的横坐标为，
点B为函数与的交点，
所以，解得，故点B的横坐标为，
点C为函数与的交点，
所以，得，故点C的横坐标为，
所以函数,
由图像可知，当时，函数有最小值为.
故选：D.
7．【正确答案】D
【分析】依题意，得，再结合图象进行判断.
【详解】解：依题意，得，
因为，所以，
得，
因为，
结合图象：
有四个不同的交点.
故选：D
8．【正确答案】A
画出的函数图象，根据图形可得本题等价于在有两个零点，其中1个零点为1，则可列出不等式组求出的范围，进而求出结果.
【详解】画出的函数图象如下，
由图可知，若方程有九个不同实根，
则或，其中或，
令，
则在有两个零点，其中1个零点为1，
则，解得且，
，
且，
故的取值范围是.
故选：A.
关键点睛：本题考查函数与方程的关系，根据方程解的个数求参数范围，解决本题的关键是画出函数的图象，根据图象可知要使方程有9个根，等价于在有两个零点，其中1个零点为1，再根据二次函数的性质进行解决.解决函数与方程的问题常用数形结合的方法，因此画函数图象、分析图形能力是必备能力.
9．【正确答案】AC
【分析】由不等式的性质判断选项A，由正切函数的特点判断选项B，由对数复合函数的性质判断选项C，由二次函数的特点判断选项D．
【详解】对于A，由，显然可得，反之不成立，故正确；
对于B，是充要条件，不正确；
对于C，∵，∴，，，反之不成立，正确；
对于D，当时，在上没有零点，D不正确．
故选：AC
10．【正确答案】ACD
【分析】对原函数使用辅助角公式.对于A选项，根据对称中心的定义即可；对于B选项，和一个为函数的最大值，一个为最小值即可求解；对于C选项，求出，根据偶函数的定义即可；对于D选项，令，求出在的根即可.
【详解】．
A：当时，，经检验是它的一个对称中心，故A正确；
B：若，则和一个为函数的最大值，一个为最小值，∴，故B错误；
C：的图象向左平移个单位长度得到，为偶函数，故C正确；
令，∵，∴，
在的根分别为：，，，，
则有，，，，在内使的所有的和为：，故D正确．
故选：ACD．
11．【正确答案】CD
令，可判定A、B不正确；设，其中为的整数部分，为小数部分，结合“高斯函数”，可判定C、D正确.
【详解】对于A中，例如，，所以不正确；
对于B中，例如，所以不正确；
设，其中为的整数部分，为小数部分，即，
对于C中，，所以是正确的；
对于D中，，
若，可得，；
若，可得，，
所以D是正确的.
故选：CD.
对于函数的新定义试题的求解：
1、根据函数的定义，可通过举出反例，说明不正确；
2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解.
12．【正确答案】ABC
【分析】根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】函数在上单调递增，，，
而是方程的零点，因此，A正确；
由得：，两边取对数得：，B正确；
因，且在上单调递增,则，C正确；
当，，则， D错误.
故选：ABC
13．【正确答案】
【分析】根据同角的基本关系可得，再根据正弦的二倍角公式，可得，再根据诱导公式可得，由此即可求出结果.
【详解】因为，，
所以
所以
所以.
故答案为.
14．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】由函数的值域以及奇偶性直接能得到答案.
【详解】时，，满足值域为R，且为偶函数，
故（答案不唯一）.
15．【正确答案】10
【分析】判断函数的性质与最小值，判断函数的性质，作出函数与的大致图象，判断两个图象在上的交点情况，根据对称性得结果.
【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
所以函数的图象关于直线对称，且的最大值为2．
由于的图象和的图象都关于直线对称，
所以先考虑两个图象在上的情形，
易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减．
易知，，
所以可作出函数与的大致图象如图所示，
所以的图象和的图象在上有5个交点．
根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线对称，
因此所有交点的横坐标之和为．
故答案为:.
16．【正确答案】/
【分析】将解析式变形为，令，利用奇偶性即可得，然后妙用“1”求解即可.
【详解】
，
令，，
因为定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数，所以在区间上的最大值与最小值之和为0，
则函数在区间上的最大值与最小值之和为2，即．
又，，
所以
，
当且仅当，，即，，等号成立．
故
难点点睛：本题难点在于对函数解析式的变形，然后根据奇偶性得到，从而利用“1”的妙用得解.
17．【正确答案】（1）；（2）.
【分析】(1)利用对数运算性质求解；
(2)先求出，再利用求解.
【详解】（1）解：原式
；
（2）因为，
所以，
所以，
所以
18．【正确答案】(1)A，B两点坐标分别为
(2)
【分析】（1）直接利用三角函数的定义求解点的坐标即可；
（2）根据A的坐标求出，利用角的关系及特殊角的函数值求解，从而得解.
【详解】（1）因为，所以，，所以点坐标为，
因为，所以，，所以点坐标为，
所以A，B两点坐标分别为.
（2）由点在单位圆上，得，又点位于第一象限，则，
所以点的坐标为，即，，所以，
所以.
19．【正确答案】（1）；（2）年产量为70台时，最大获得1300万元.
（1）根据条件，利润等于设备的售价减去投入成本再减去年固定成本即可求解；
（2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大的即可求解.
【详解】（1）由题意可得：时，，
当时，
所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：
，
（2）由（1）得时，，开口向下的抛物线，对称轴为，
此时时，万元，
当时，，
当且仅当即时等号成立，，
综上所述：年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大.
关键点点睛：本题解题的关键点是读懂题意得出年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式，对于分段函数求最值要分段来求.
20．【正确答案】（1）；（2）.
（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调区间求解．
（2）由图象变换得出，由整体法可求值域．
【详解】解：（1）
因为.
所以函数的单调递减区间是
（2）由题可知，.
因为，
所以.
故在上的值域为.
方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为形式，然后结合正弦函数性质求解．
如果求函数值域，则可由的范围求出的范围，然后由正弦函数性质得值域．
21．【正确答案】(1),是上的递增函数
(2)
【分析】（1）根据函数为上的奇函数，利用求得的值，再进行检验，利用单调性定义可得函数的单调性；
（2）利用对数函数单调性将题设不等式化成，再运用不等式的性质化简，最后利用指数函数的单调性即可求得.
【详解】（1）由已知得函数的定义域是，由函数是奇函数可得：解得，
即，此时 ，故为奇函数.
，由此可判断出是上的增函数.
理由如下：，，
因，所以，，
故，即是上的增函数.
（2）由得，
所以
即：或
所以或
所以或
所以或
故不等式的解集为.
22．【正确答案】(1)函数为倒函数，函数不是倒函数，理由见解析；
(2)方程没有整数解，理由见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论；
（2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数，利用零点存在定理可得出结论；
（3）推导出函数的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件的定义证明可得结论.
【详解】（1）函数的定义域为，对任意的，，
所以，函数为倒函数，
函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，
故函数不是倒函数；
（2）当时，则，由倒函数的定义可得，
由满足倒函数的定义，
当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数，
当时，，，，当时，，
若函数有整数解，则，
设，则函数在上单调递增，
因为，，
故方程无整数解，
（3）因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，
所以，，
任取、且，则，所以，，，
所以，
，
所以，函数为上的增函数，
因为，故函数为上的奇函数.
当时，即，则，所以，，
即“”“”；
若，则，所以，，即.
所以，“”“”.
因此，是的充要条件.
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.