2024-2025学年广东省广州市高一上学期期末数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省广州市高一上学期期末数学检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，那么集合（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为．如果在前5个小时消除了的污染物，那么污染物减少总共需要花的时间为（ ）
A．8小时B．9小时C．10小时D．11小时
4．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数y得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）
A．B．C．D．
6．若函数，在上是增函数，则实数a的取范围是（ ）
A．B．C．D．
7．平面直角坐标系xOy中，点在单位圆O上，设，若，且，则的值为
A．B．C．D．
8．函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．D．可是奇函数
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数则下列选项中正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．在上单调递减
C．满足
D．的图象可以由的图象向右平移个单位得到
10．下列说法正确的有（ ）
A．函数关于点对称
B．函数的图象过定点
C．方程在区间上有且只有1个实数解
D．若，则的最小值为
11．已知函数，且，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．在上单调递减
C．D．
三、单选题（本大题共1小题）
12．已知正数，满足，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
四、填空题（本大题共4小题）
13． .
14．已知函数，，则 ．
15．若，则 .
16．设是定义在上的奇函数，且当时，，则关于x的不等式的解集为 ．
五、解答题（本大题共6小题）
17．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．设函数．
(1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围．
19．设函数．
(1)在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图（请先列表，再描点连线）；
(2)若，求的值．
20．为了预防甲型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．己知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（为常数），如图所示．
据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
(2)药物释放完毕后，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
21．函数（且）是定义在R上的奇函数．
(1)求a的值，并判断的单调性，并证明；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
22．已知函数．
(1)解关于x的不等式；
(2)若关于x的方程有三个实根．
（i）求；
（ii）求的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【分析】求出集合，利用并集运算即可.
【详解】因为，
所以，
解得，
由，
所以.
故选：B.
2．【正确答案】C
【分析】分子分母同除以，再代入求值即可.
【详解】根据题意得：
故选：C.
3．【正确答案】C
【分析】根据前5个小时消除了的污染物，由，求得k，再设污染物减少所用的时间为t，由求解.
【详解】因为在前5个小时消除了的污染物，所以，
解得，所以，
设污染物减少所用的时间为t，
所以，
所以，解得.
故选：C.
4．【正确答案】C
【分析】利用三角函数图象变换规律可得出结论.
【详解】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到函数的图象，
再把所得图象向右平移个单位长度，可得到.
故选：C.
5．【正确答案】A
【分析】
根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.
【详解】
根据函数的图象，可得，可得，
所以，
又由，可得，即，
解得，
因为，所以.
故选：A.
6．【正确答案】B
【分析】要求分段函数的两段均递增，且左侧函数值不大于右侧函数值．
【详解】由题意，得，
故选：B
7．【正确答案】C
【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可．
【详解】，
，
，，
则
，
故选C．
本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．
8．【正确答案】D
【分析】由题意可得关于和对称，即可得到，即可判断.
【详解】因为是奇函数，所以，
因为是奇函数，所以，
即关于和对称，
所以，，
得，得，
令，，
，，满足条件，
而，，满足条件，
但是奇函数，是偶函数，故AB都错；
且，故C错；
因为，所以，
即，所以可是奇函数.故D对
故选：D
9．【正确答案】AB
【分析】结合余弦函数的图象变换、周期、对称性以及单调性一一判断各选项，即可得答案.
【详解】由周期公式得，故A对；
因为在单调递减，
所以令，得，
取时，，而是的子集，故B对；
，
，故，故C错；
由的图象向右平移个单位得到，
故D错
故选：AB
10．【正确答案】ACD
【分析】对于A选项：分离常数，结合反比例函数即可判断；对于B选项：由对数型函数的定点知识即可判断；对于C选项：结合零点存在定理即可判断；对于D选项：利用基本不等式计算即可.
【详解】对于A选项：，该函数可由反比例函数先向左平移1个单位，
再向上平移1个单位，故的图象关于对称，故选项A正确；
对于B选项：由，令，即，
则，故函数的图象过定点，故选项B错误；
对于C选项：由，得，令，
易知在上单调递增且图象连续不断，
因为，，所以，
所以方程在区间上有且只有1个实数解，故选项C正确；
对于D选项：因为，所以，
所以，
当且仅当时，即，有最小值为.
故选项D正确；
故选：ACD.
11．【正确答案】ABC
【分析】根据对称性判断A选项，令，所以，根据单调性即可判断单调性即B选项，根据单调性即可判断C和D选项.
【详解】因为，所以，
因为，
所以的图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称，故A选项正确；
令，所以，
如图，对勾函数在单调递减，所以在上单调递减，故B选项正确；
因为，
所以，，
所以，故C选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
12．【正确答案】B
【分析】先根据对数定义把指数化为对数，再根据对数运算结合基本不等式逐个运算判断.
【详解】设，则
∴
对A：，A正确；
对B：由题意可得：，同理可得：
∵
∴，则，B错误；
对C：∵
∴，C正确；
对D：
∴，D正确；
故选：B.
13．【正确答案】
【分析】利用二倍角余弦公式直接化简，结合特殊角的三角函数值可得答案.
【详解】
故
本题考查二倍角余弦公式，是基础题
14．【正确答案】
【分析】发现，计算可得结果.
【详解】因为，
，且，则.
故答案为-2
本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.
15．【正确答案】
根据两角和差的正弦、余弦公式化简为，
利用诱导公式及二倍角公式求解.
【详解】,
,
即
，
故
本题主要考查了两角和差的正余弦公式，诱导公式，二倍角公式，属于中档题.
16．【正确答案】
【分析】求出分段函数的解析式，对分类讨论并构造函数，利用单调性即可算出.
【详解】结合题意：若，则，
所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
即，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，
当时，，而，此时不满足；
当时，，而，此时不满足；
当时，要使，只需，
即，令，
则在上单调递增，且,
而，解得.
即的解集为.
故答案为.
17．【正确答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意，结合同角三角函数的关系，借助平方差，平方和公式计算即可;
（2）由（1）问，将的分母展开代入即可.
【详解】（1），解得：，
，解得：，
，，，．
（2）由（1）知，，,
.
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，可得，转化为任意，恒成立，结合二次函数的性质，求得函数的最大值和最小值，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，转化为在上有实数解，结合二次函数的性质，求得函数的最大值与最小值，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
令，可得，
因为对一切实数恒成立，即对任意的，恒成立，
又由函数的图像开口向上，对称轴为，
当时，；当时，，
则，解得，所以实数a的取值范围.
（2）解：由，令，
要使得方程关于x的方程在有实数解，
即在上有实数解，即在上有实数解，
令，由，
可当在上单调递减，在单调递增，
当时，，当或时，，
则，解得，即实数的取值范围为.
19．【正确答案】(1)图象见解析；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简求出，利用“五点”作图法列表作图即可；
（2）通过得到，并借助诱导公式化简计算即可.
【详解】（1）结合题意可得：
，
列表如下：
区间内的图象如图所示：
（2）由（1）问可得：，
，即，
，
即.
20．【正确答案】(1);
(2).
【分析】（1）确定函数模型，利用待定系数法求解即可;
（2）要使空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下，只需,计算即可.
【详解】（1）结合图象，当时，由药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比，故可设直线为，
因为在在上，所以，解得，
所以当时，此时的函数关系为；
当时，y与t的函数关系式为，
由图可知经过，所以，解得，
所以当时，y与t的函数关系式为.
所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为.
（2）药物释放完毕后，要使空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下，
只需，解得.
所以从药物释放开始,至少需要经过小时,学生才能回到教室.
21．【正确答案】(1)，单调递增，证明见详解；
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证即可，判断出函数在R上为增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可；
（2）由（1）知在上单调递增，得，问题转化为，利用函数单调性求出最值得解.
【详解】（1）由题意，得，解得，
当时，，则，
所以函数为奇函数，合题意，故.
函数为R上的增函数.证明如下：
任取，且，则
，
，，即，，，
所以，即，
所以函数为R上的增函数.
（2）由（1）得在上单调递增，，
存在，使得成立，即，
令，易知在上单调递增，
所以.即，当且仅当时等号成立，
，所以实数的取值范围为.
思路点睛：第二问，由在上单调递增，得，将原问题转化为，只需即可，换元令，在上单调递增，求出最大值可得的取值范围.
22．【正确答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解；
（2）（i）由（1）得到，转化为有三个实根，分别求得，；
（ii）由（i）得到，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
当时，令，
设，则，此时，
由，即，即，可得，解得，
所以的解集为；
当时，令，
由，可得，即，
可得，解得，此时不等式的解集为，
综上可得，不等式的解集为.
（2）解：（i）由函数，可得定义域为，
由（1）得，当时，；当时，，
令，
又由关于x的方程，
即有三个实根，
当时，可得，解得，
因为，解得，
再由，可得，解得.
（ii）由（i）知，，其中
可得，则，
设，可得在上为单调递减函数，
当时，；且，
所以的取值范围为．1
0
0
1