2024-2025学年广东省深圳市高二上学期期末联考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市高二上学期期末联考数学检测试卷（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知抛物线的方程为则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．等比数列中，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（ ）
A． B．
C．D．
5．已知数列的通项公式，其前项和为，则取最小值时的值为（ ）
A．1012B．1013C．1014D．1015
6．已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知数列的前项依次为，则下列可以作为数列通项公式的有（ ）
A．B．
C．D．
10．当实数变化时，关于的方程可以表示的曲线类型有（ ）
A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线
11．如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．直线与平面的夹角正切值为
D．
12．已知圆过点，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，以为直径作圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的方程为
B．面积的最小值为2
C．圆的面积的最小值为
D．切点的连线过定点
三、填空题（本大题共4小题）
13．双曲线的离心率为 .
14．已知是等差数列的前项和，若，则数列的前2024项和为 .
15．已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 .
16．如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知动点到两个定点，的距离的比
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作曲线的切线，求切线的方程.
18．如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去;在这个过程中，记正方形边长为，正方形，第个正方形边长为，构成数列.
(1)写出；
(2)求数列的通项公式；
(3)记数列满足，求数列的前项和.
19．已知椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作倾斜角的直线，直线交椭圆于点，求面积.
20．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，
(1)求证：平面；
(2)若与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.
21．已知平面直角坐标系下，抛物线的准线方程：
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若抛物线上两点满足，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
22．已知数列的前项和，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的通项公式，若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列:与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前100项的和.
答案
1．【正确答案】C
【分析】根据给定的抛物线方程，求出抛物线的焦点坐标即得.
【详解】抛物线：的焦点在轴上，其坐标为.
故选：C
2．【正确答案】D
【分析】求出斜率即可得倾斜角.
【详解】直线的方程为，即，
方程斜率为，所以倾斜角为.
故选：D.
3．【正确答案】B
【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，进而求出首项即可得解.
【详解】依题意，等比数列的公比，则，解得，
因此，所以.
故选：B
4．【正确答案】C
【分析】根据方程表示圆的条件可得结果.
【详解】因为方程表示一个圆，
所以，
即，所以或，
故选：C.
5．【正确答案】A
【分析】根据给定条件，确定数列的单调性，再求出的的最大值即得.
【详解】数列的通项公式，显然数列是递增数列，
由，得，而，因此数列的前1012项均为负数，从第起为正，
所以取最小值时的值为1012.
故选：A
6．【正确答案】B
【分析】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可.
【详解】圆：，圆心，半径 ，
圆：，圆心，半径 ，
设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切，
得，则，
因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支，
即，半焦距，虚半轴长，
所以动圆圆心的轨迹方程是.
故选：B
7．【正确答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.
【详解】依题意，
.
故选：D
8．【正确答案】A
【分析】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出.
【详解】由，得，即，
而，则，即，，
由数列为递增数列，得任意的恒成立，
则，即恒成立，
当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为1，则，
当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则，
所以实数的取值范围为.
故选：A
思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可.
9．【正确答案】AC
【分析】根据通项公式逐一判断即可.
【详解】对于A：，符合；
对于B：，不符合；
对于C：，符合；
对于D：，不符合；
故选：AC.
10．【正确答案】ACD
【分析】利用曲线方程的特征逐一判断即可.
【详解】当时，方程为，即，此时方程表示直线；
当时，方程为
若，则方程表示双曲线；
若，此时无解；
当，方程表示椭圆.
方程可以表示的曲线类型有直线，双曲线，椭圆.
故选：ACD.
11．【正确答案】BC
【分析】对于A：直接求解判断；对于B：通过证明面来判断；对于C：为直线与平面的夹角，计算其正切值即可；对于D：分别求出，，然后利用公式计算即可.
【详解】对于A：因为，
所以，
则，A错误；
对于B：因为，为线段中点，
所以，
又面面，面面，面，
所以面，又面，
所以，B正确；
对于C：因为面，
所以面，
所以为直线与平面的夹角，
又，C正确；
对于D：
，
又，
所以，D错误.
故选：BC.
12．【正确答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出圆的方程，结合圆的切线性质及圆与圆的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】依题意，圆的圆心在直线上，设，则，
解得，圆，其圆心，半径，A正确；
设，显然四点共圆，该圆的直径是线段，
方程为，整理得，
由消去二次项得直线的方程：，
直线：，由得，即直线过定点，D正确；
显然，当时，弦长最短，此时，
因此以为直径的圆的面积最小值为，C错误；
直线的斜率，当时，直线：与线段平行，
因此点到直线的距离最小值为两条平行直线与间距离，
而此时弦长最短，从而的面积的最小值为，B正确.
故选：ABD
方法点睛：圆的弦长的常用求法：①几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；②代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.
13．【正确答案】
【分析】根据双曲线方程直接求出离心率即可.
【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，
所以双曲线的离心率.
故
14．【正确答案】/
【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项及前项和，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】等差数列中，，又，则，
因此等差数列的公差，则，，
于是，
数列的前项和，
所以数列的前2024项和为.
故
15．【正确答案】或2
【分析】根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】直线，，
所以两平行线间的距离为，解得或，
故2或
16．【正确答案】
【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面，再求出截面多边形周长.
【详解】直线与直线分别交于点，连接分别交于是，连接，
则五边形是过三点的平面截正方体所得截面，如图，
显然，，则，
，，而，
所以五边形的周长为.
故
方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
17．【正确答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设，根据题中几何关系得，再利用两点间距离公式从而可求解.
（2）由（1）求出圆心，半径，设出直线方程，再结合直线与圆相切从而可求解.
【详解】（1）设，由题意得，即，化简得，
所以动点的轨迹的方程为.
（2）由（1）知化简为标准方程为，圆心为，半径，
设直线的斜率为，即直线方程为，因为直线与圆相切，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.
18．【正确答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据图形特征，利用勾股定理求出；
（2）分析得到，从而得到为等比数列，进而求出通项公式；
（3）由题意，，进而求数列的前项和.
【详解】（1）因为，所以，
所以；
因为，所以，
所以.
（2）第个正方形边长为，则那么第个正方形边长为，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
（3）因为，所以，
所以
.
19．【正确答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，列出方程组并求解即得.
（2）求出直线的方程，与椭圆的方程联立，求出纵坐标差的绝对值即可计算面积.
【详解】（1）依题意，且，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由直线过点且倾斜角为，得直线的方程为，
由消去并整理得，易知，
设，则，
于是，
所以面积为.
.
20．【正确答案】(1)证明见解析.
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证；
（2）建立空间直角坐标系，分别计算平面与平面的法向量，用向量法求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）因为四边形是菱形，则为的中点，
且所以，
又，且平面，
所以平面.
（2）设菱形的边长为，，，
由（1）知平面，∴与平面所成的角为，
得到，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量，则，
即，令，则，所以，
设平面的法向量，则，
即，令，则，所以，
所以
因为二面角为钝二面角，则平面与平面夹角的余弦值为.
21．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过准线求出即可；
（2）设，，与抛物线联立，利用韦达定理计算，求出即可.
【详解】（1）由准线方程：可得，即，
所以抛物线的标准方程为；
（2）是抛物线上两点，明显直线的斜率不为零，
设，，
联立，消去得，
则，
所以，
解得，此时
所以，其过定点.
22．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推公式求出，从而求出，再验证从而可求解.
（2）分析数列前项中，各有多少项，然后再利用分组求和即可求解.
【详解】（1）由题意知当时，，
当时，，即，
所以数列为等比数列，且，当时，也满足，
所以数列的通项公式为.
（2）由题知，由（1）知，在数列中（含）前面共有：
项，
由，，解得，
所以数列前项中含有数列的前项，含有数列的前项，
所以
.
关键点点睛：（2）问中的关键是计算出在数列中前100项中包含数列，的项数，利用分组求和法从而可求解.