2024-2025学年广东省汕头市高二上学期12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省汕头市高二上学期12月月考数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标是（ ）
A． B．C．D．
2．倾斜角为的直线的一个方向向量是（ ）
A．B．C．D．
3．空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
7．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点、是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过、两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点、，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
8．已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（ ）
A．1B．
C．D．无法确定
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点B．若，则或
C．若，则或D．当时，始终不过第三象限
10．下列给出的命题中正确的有（ ）
A．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
B．点为平面上的一点，点是平面外一点，且，则
C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
D．已知，则在上的投影向量为
11．已知椭圆的左，右焦点分别为，点为椭圆上一点，则（ ）
A．若，则的面积为
B．存在点，使得
C．的周长为
D．使得为等腰三角形的点共有4个
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ．
13．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点M是双曲线右支上一点，，则双曲线的渐近线方程为 .
14．阿波罗尼斯圆（ApllniusCircle）是指在平面上，给定两点A､B以及一个常数，所有满足（为动点）的点的轨迹.这个轨迹是一个圆，最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，因此得名.现已知定点点是圆上的动点，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．椭圆长轴长为4，离心率为，左右焦点分别为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为且过的直线与椭圆文于两点，弦长，求的值.
16．在ΔABC中，．
（1）若，求；
（2）为边上一点，且，求ΔABC的面积．
17．如图，在三棱锥中，，，，分别为，的中点，为正三角形，平面平面.
(1)求点到平面的距离；
(2)在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
18．在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值．若根据这次成绩，学校建议的学生选报物理，的学生选报历史，某同学想选报物理，请同他的物理成绩应不低于多少分较为合适?（小数点后保留一位）
(2)这100名学生中，成绩位于80,90内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．请估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差．
(3)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级，若两个模块成绩均为A+，则直接参加；若一个模块成绩为A+，另一个模块成绩不低于B，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为；乙在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为．求甲、乙能同时参加物理竞赛的概率．
19．已知双曲线的离心率，，分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于，两点，在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】B
利用中点坐标公式即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，
点，，
则线段的中点坐标是 ，即
故选：B
2．【正确答案】A
【详解】倾斜角为的直线的斜率，
因此倾斜角为的直线的一个方向向量为，A正确，
而选项BCD中向量与向量均不共线，BCD不满足题意.
故选：A
3．【正确答案】A
【分析】求出，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为．
因为，所以点P到直线EF的距离为．
故选A.
4．【正确答案】C
【详解】圆，即，可知圆心为，半径为，
若两圆关于直线对称，则对称圆半径不变，圆心与点关于已知直线对称，
设对称圆圆心为，则解得，
所以所求圆的方程为.
故选：C.
5．【正确答案】C
【分析】
设出端点，代入椭圆，两式作差，变形，即可得到直线的斜率，再由点斜式写出直线即可．
【详解】
设弦两端点为，则
①-②得 即直线为
化简得
故选C
本题考查根据椭圆中弦的中点求弦所在的直线，解决本类题的思路是点差法：设点-作差-变形，根据中点坐标，即可求出所在直线的的斜率，即可写出直线，属于基础题．
6．【正确答案】C
【详解】圆的圆心，半径，
双曲线中，令，解得，则，
由直线与圆相切于点，得，又，
则，，
于是，即，有，而，所以.
故选：C
7．【正确答案】A
【详解】因为、，则线段的中点坐标为，易知，
则经过、两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上，
设圆心为，则圆的方程为，
当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得），
则此时的坐标为，
代入圆的方程得，解得或，
即对应的切点分别为和，
因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
又过点、、的圆的半径大于过点、、的圆的半径，
所以，故点为所求，即点的横坐标为.
故选：A.
8．【正确答案】C
【详解】结合题意：可知抛物线的准线为：，
如图所示：过分别作准线的垂线，垂足为,
过点作的垂线，垂足为点,
设，直线的倾斜角为，
因为,所以，
由抛物线的定义：，
结合图形易知：,
所以，
在直角三角形中，，
所以直线AB的斜率.
故选：C.

9．【正确答案】AC
【详解】对于A选项，直线的方程可化为，
由，解得，即直线始终过定点，A对；
对于B选项，若，则，解得，B错；
对于C选项，若，则，解得或a=2，C对；
对于D选项，当时，直线交轴的负半轴于点，交轴于点0,1，如下图所示：
由图可知，当时，经过第三象限，D错.
故选：AC.
10．【正确答案】BD
【详解】对于A，由，得共面，
故不是空间的一个基底，A错误；
对于B，由，点P在平面上，
得，解得，B正确；
对于C，由，得，则或，C错误；
对于D，，则，
所以在上的投影向量为，D正确.
故选：BD
11．【正确答案】BC
【详解】由题意，，
对于A，当时，如图，中，
由余弦定理得，
即①，
又，即②，
联立①②可得，
所以，故A错误；
对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，，
则为直角，故B正确；
对于C，的周长为，故C正确；
对于D，由椭圆的性质可知，即.
若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个；
若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个；
同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个；
故使得为等腰三角形的点共6个，故D错误．
故选：BC．
12．【正确答案】9
【分析】根据法向量的概念结合条件即得.
【详解】由条件得，因为是平面的一个法向量，点A，B在平面内，
所以，所以，
所以，解得．
故9.
13．【正确答案】
【详解】如图所示：
，，所以，即.
设，则，.
即，，，，
所以，渐近线方程为.
故
14．【正确答案】
【详解】由题意，设，，
所以，
则，
由于Px,y是圆上的点,
所以，解得，即，
所以，如图，
所以的最小值为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，则，
因为，所以，得到，
所以椭圆的方程为．
（2）因为，直线过且斜率为，所以直线，
联立方程组，得3+4k2x2−8k2x+4k2−12=0，
设，则，
所以．
所以，计算得，所以.
16．【正确答案】（1）； （2）.
(1)根据已知条件和利用正弦定理可求出，再利用同角三角函数基本关系式可求出；
(2)根据题意知为等腰三角形，再利用余弦定理得出为等边三角形可得，从而求出ΔABC的面积．
【详解】（1）在ΔABC中，由正弦定理及题设得
，故，
解得，
又，所以.
（2）设，则．
在ΔABC中，由余弦定理得，
，
即，①
在等腰中，有，②
联立①②，解得或（舍去）．
所以为等边三角形，所以，
所以．
解法二：（1）同解法一．
（2）设，则
因为，
所以，
由余弦定理得，得，
所以，解得或（舍去）．
所以为等边三角形，所以，
所以．
17．【正确答案】(1)
(2)存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时为中点
【分析】（1）根据线面关系证得，，则以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标求平面的法向量与，即可求得点到平面的距离；
（2）由（1）知平面的法向量，设，且，利用空间向量的坐标求平面的法向量，根据平面与平面夹角余弦值的向量的坐标运算列方程，即可求得的值，从而确定的位置.
【详解】（1）连接，因为为正三角形，又为中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，，分别为，的中点，所以，，所以，
则如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
因为，则，
设平面的法向量为，由于，
则，令，则
又，则点到平面的距离为；
（2）由（1）可知是平面的一个法向量，
由题可设，且，则，
所以，
设平面的法向量为，由于，
则，令，则，
所以，整理得，解得或（舍），
故存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时为中点.
18．【正确答案】(1)；
(2)30.25
(3)
【详解】（1）依题意得，，
又，
所以第分位数位于，且，
他的物理成绩应不低于分较为合适
（2）成绩位于内的学生的人数为，
成绩位于内的学生的人数为，
成绩在80分及以上的学生成绩的平均分为（分），
该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为，
（3）依题意甲能参加物理竞赛的概率，
乙能参加物理竞赛的概率，
二人互不影响，所以甲、乙能同时参加物理竞赛的概率
19．【正确答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据双曲线的离心率得关系，从而可得关系，即可得双曲线渐近线方程，不妨设，，确定点为的中点代入双曲线方程可得与的关系，再由的面积即可求得的值，从而可得双曲线的方程；
（2）当直线的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标关系，设，满足为常数即可求得的值，并且检验直线的斜率不存在时是否满足该定值即可.
【详解】（1）由离心率，得，所以，则双曲线的渐近线方程为，
因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，，由于，则点为的中点，所以，
又因为点在双曲线上，所以，整理得：
因为的面积为8，所以，则，
故双曲线的方程为；
（2）由（1）可得，所以为
当直线的斜率存在时，设方程为：，，
则，所以，则
恒成立，所以，
假设在轴上是否存在定点，设，则
要使得为常数，则，解得,定点，；
又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得，不妨取，
若，则，符合上述结论；
综上，在轴上存在定点，使为常数，且.
【思路导引】解决本题的关键是利用交点坐标关系，假设在轴上是否存在定点，设，验证所求定值时，根据数量积的坐标运算与直线方程坐标转换可得，要使得其为定值，则与直线斜率无关，那么在此分式结构中就需满足分子分母对应系数成比例，从而可得含的方程，通过解方程确定的存在，使得能确定定点坐标的同时还可得到定值，并且要验证直线斜率不存在的情况.