2024-2025学年广东省汕头市高三上学期12月期末教学数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省汕头市高三上学期12月期末教学数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列命题既是真命题又是存在量词命题的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．已知平面向量满足：，则（ ）
A．B．C．2D．
4．我们研究成对数据的相关关系，其中，.在集合中取一个元素作为的值，使得这组成对数据的相关程度最强，则（ ）
A．8B．11C．12D．13
5．某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取100户居民，得到他们的月均用水量，并整理得如下频率分布直方图.根据直方图的数据信息，下列结论中正确的是（ ）
A．100户居民的月均用水量的中位数大于7.2
B．100户居民的月均用水量低于16.2的用户所占比例超过
C．100户居民的月均用水量的极差介于21与27之间
D．100户居民的月均用水量的平均值介于16.2与22.2之间
6．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知正四棱台的上､下底面面积分别为，下底面上的棱与侧棱所成角的余弦值为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．148D．
8．设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知曲线，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线表示两条直线
B．若，则曲线是椭圆
C．若，则曲线是双曲线
D．若，则曲线的离心率为
10．已知，则（ ）
A．若，且，则
B．，使得的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称
C．当时，函数恰有三个零点，且，则
D．若在上恰有2个极大值点和1个极小值点，则
11．将函数的图象绕原点逆时针旋转后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象、以下函数中符合上述条件的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知公比不为1的等比数列中，且成等差数列，则 （结果用幂表示）
13．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点，若，则双曲线的渐近线方程为 .
14．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山高 m.（结果用d、、、表示）
四、解答题（本大题共5小题）
15．某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.
(1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望；
(3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求.
16．已知椭圆的左､右焦点分别为，直线与交于两点（点在轴上方），的面积是面积的2倍.
(1)求直线的方程；
(2)求.
17．如图，平面四边形中，，，点为中点，于，将沿翻折至，使得.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知函数.
(1)证明曲线是轴对称图形；
(2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）.
19．设为无穷数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列.
(1)请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列；
(2)设无穷数列为等差数列，，证明：的任意子列不是等比数列；
(3)对于公差不为零的无穷等差数列，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件.
答案
1．【正确答案】B
【详解】根据题意可知，选项A、D为全称量词命题，选项B、C为存在量词命题.
当时，，选项B为真命题.
当时，，选项C为假命题.
故选：B.
2．【正确答案】C
【详解】设，则，因为，
所以，所以，解得，
所以，所以.
故选：C.
3．【正确答案】A
【详解】已知，两边同时平方可得.
展开得到.
因，则，上式化为：，即.
.
故选：A.
4．【正确答案】B
【详解】由可知前9个点在直线上.
∵，
∴要使相关性最强，应更接近10，四个选项中最接近.
故选：B.
5．【正确答案】C
【详解】由频率分布直方图可知，
，
解得，
对于A，月均用水量在的频率为，
月均用水量在的频率为，
所以100户居民的月均用水量的中位数在，故A错误；
对于B，因为100户居民的月均用水量低于16.2的用户的频率为
，
所以100户居民的月均用水量低于16.2的用户所占比例为，故B错误；
对于C，由图知，极差的最大值为，最小值为，
所以100户居民的月均用水量的极差介于21与27之间，故C正确；
对于D，100户居民的月均用水量的平均值为
t，故D错误.
故选：C.
6．【正确答案】B
【详解】由抛物线的定义，可知，又，，
则，即，
由点在C上，得，结合，解得.
所以C的方程为.
故选：B.
7．【正确答案】A
【详解】因为正四棱台的上、下底面面积分别为，，
所以上、下底面边长分别为，．
如图，过点作于点，则．
因为，所以与所成的角为，
所以，得．

设该正四棱台上、下底面的中心分别为，，连接，，，
易得，，过作于点，则，
．
所以该正四棱台的体积．
故选.
8．【正确答案】D
【详解】因为，
若，则对任意的，，
则当时，，不合乎题意；
若时，当时，，，此时，，不合乎题意；
若，则当时，，，此时，，不合乎题意.
所以，，此时，，则f1=0，
当时，，，此时，；
当时，，，此时，.
所以，对任意的，，合乎题意，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
9．【正确答案】ACD
【详解】由题意，曲线，，
若，则，此时曲线，表示两条直线，故A正确；
若，又，则，
曲线，可化为，
当时，则曲线表示圆，
当时，则曲线表示椭圆，故B错误；
若，又，则，则曲线表示双曲线，故C正确；
若，又，
所以，
则曲线为，
则曲线为等轴双曲线，离心率为，故D正确.
故选：ACD.
10．【正确答案】BCD
【详解】因为，所以周期，
对于A，由条件知，周期为，所以，故A错误；
对于B，函数图象左移个单位长度后得到的函数为，
其图象关于原点对称，则，解得，，
又，所以，B正确；
对于C，函数，
令，，可得：，.
，令，可得一条对称轴方程为，
令，可得一条对称轴方程为，
函数恰有三个零点，
可知，关于其中一条对称轴是对称的，即，
，关于其中一条对称轴是对称的，即，
那么，C正确；
对于D，令，
由在上恰有2个极大值点和1个极小值点，
得，解得，故D正确，
故选：BCD.
11．【正确答案】AC
【分析】若函数逆时针旋转角后所得函数仍是一个函数，则函数的图象与任一斜率为的直线均不能有两个或两个以上的交点，依次判断选项.
【详解】若函数逆时针旋转角后所得函数仍是一个函数，
则函数的图象与任一斜率为的直线均不能有两个或两个以上的交点.
不对于，设，则，
则为上的单调递减函数，即方程只有一解，
所以与只有一个交点，故符合题意，A正确；
对于，设，
,
则在有零点，即方程不只有一解，
所以与多个交点，不符合题意，B错误；
对于，设，
显然为上减函数，当时，，
即所以与只有一个交点，故符合题意，C正确；
对于，设，
则，
显然在和上各有零点，
即所以与有多个交点，故不符合题意，D错误.
故选AC.
【关键点拨】若函数逆时针旋转角后所得函数仍是一个函数，则函数的图象与任一斜率为的直线均不能有两个或两个以上的交点.
12．【正确答案】
【详解】已知成等差数列，则根据等差数列性质可得.
因为，设等比数列的公比为（），则，.
将，，代入可得：
，
解得或（公比不为，舍去）.
由等比数列通项公式，则.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】根据题意，由切线性质，，，
所以，则，且，
由余弦定理得，
解得，又，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故

14．【正确答案】
【详解】设山高，则，延长交于，如图，
则，因此，，，
，
在中由正弦定理得，
所以，
故．
15．【正确答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件，
则.
（2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3.
，，，，
∴的分布列为：
∴.
（3）由题意得，，
∴.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）
由得.
∵直线与交于两点，
∴，解得.
设到的距离为，到的距离为，
由题意得，，则，
∴，解得或（舍），
∴直线的方程为.
（2）由题意得，.
设，则.
由得，解得，
∵点在第一象限，∴，，
∴.
在中，由余弦定理得，,
∴，∴，
∴，
∴，即.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为由翻折而成，且，
根据翻折的性质，翻折前后对应边和对应角不变，所以.
已知，所以
因为，，所以，
又因为，即，，平面，所以平面
（2）由（1）知平面，平面，所以，
又，.可求得.
又.则.则.
则两两垂直，可以建立空间直角坐标系.
平面的法向量可取.
点为中点，则，，
则.则，
则
点为中点，则，则.
设平面法向量为，则
，即，解得，故.
设平面与平面的夹角为，则
.
故平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由得或，所以函数的定义域为，
因为，
，
所以，所以关于对称，
即曲线是轴对称图形；
（2）因为，
则，
令，
则，
令，
则，所以在单调递增，
所以，即，所以在单调递增，
所以，即，所以在单调递增，
又，
则，即，所以，
所以不等式的解集为.
19．【正确答案】(1)（答案不唯一）；
(2)证明见解析；
(3)是无理数.
【详解】（1）既是等差数列又是等比数列的数列最简单的是非0常数列，
如，它是等差数列，它的任意子列均为公比为1的等比数列；
（2）若存在一个子列是等比数列，则中必存在某三项成等比数列，
下证的任意三项不能构成等比数列，
假设，其中且，
因为公差，所以，
从而，
整理得，
若，则，从而，与矛盾，
所以，此时，（1）中左边为无理数，右边为有理数，不可能相等，
所以假设不成立，故的任意三项不能构成等比数列，
从而的任意子列不是等比数列；
（3）若无穷等差数列的任意三项均不能构成等比数列，则其任意子列必定不是等比数列，
设的公差为，则，下证“是无理数”为满足题意的一个充分条件．
假设，其中且，
因为，
所以，
整理得，
若，则，从而，与矛盾，
所以，此时，有理数，
所以，当是无理数时，假设不成立，从而的任意三项不能构成等比数列，进而的任意子列不是等比数列，
故“是无理数”为“的任意子列不是等比数列”的一个充分条件．时长（小时）
人数（人）
3
4
33
42
18