2024-2025学年广东省广州市高一上学期（12月）数学教学质量检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省广州市高一上学期（12月）数学教学质量检测试卷（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{1，3，5}，B＝{2，4，6}，则C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}中的元素个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（5分）使“”成立的必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．或x≥1D．或x＞1
3．（5分）若将钟表拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
4．（5分）已知a，b，c∈R，则下列结论中正确的有（ ）
A．若a＞b且，则ab＞0
B．若c＞a＞b＞0，则
C．若a＞b＞c＞0，则
D．若a＞b，则ac2＞bc2
5．（5分）函数图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）已知，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．a＞c＞b
7．（5分）已知函数f（x）在区间（2，3）内单调且f（2）•f（3）＜0，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）．
A．4B．7C．10D．13
8．（5分）函数y＝lga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点A，且A点在直线mx+ny＝1上，（m＞0，n＞0），则的最小值为（ ）
A．B．10C．D．8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（6分）已知α为第二象限角，那么是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
（多选）10．（6分）下列选项正确的是（ ）
A．若a＞0，则的最小值为4
B．若x∈R，则的最小值是2
C．若ab＜0，则的最大值为﹣2
D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则的最大值为6
（多选）11．（6分）已知函数，的零点分别为x1，x2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1＝lnx2B．
C．x1+x2＞4D．x1x2＜e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）周长为20的扇形的面积取得最大值时，扇形圆心角的大小为 ．
13．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）为偶函数，且f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，若，不等式f（x﹣a）＜f（3）恒成立，则实数a的取值范围为 ．
14．（5分）不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知全集U＝R，集合A＝{x|2＜x＜7}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，C＝{x|a﹣1≤x＜2a﹣1，a∈R}，
（1）求A∩B；
（2）若C⊆∁U（A∪B），求实数a的取值范围．
16．（15分）已知函数，m∈R．
（1）当x≤2时，求f（x）＞0的解集；
（2）若f（x）的最大值为3，求m的值．
17．（15分）近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝mat（a＞0，且a≠1）．根据图中提供的信息，求：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（2）为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过0.15毫克时，学生方可进入教室．那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室．（精确到0.1小时）（参考值：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61）
18．（17分）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断函数f（x）在R内的单调性，并证明你的结论；
（3）若∃t∈[0，6]，使f（k﹣t2）+f（2t2﹣6t）＞0成立，求实数k的取值范围．
19．（17分）函数f（x）满足：对任意实数x，y，有f（xy）＝xf（y）+yf（x）成立；函数，g（2）＝1，且当x＞1时，g（x）＞0．
（Ⅰ）求f（﹣1）并证明函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）证明：函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）若关于x的不等式g（x2+2x+3）﹣g（tx）＞2恒成立，求t的取值范围．
答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。
1．（5分）已知集合A＝{1，3，5}，B＝{2，4，6}，则C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}中的元素个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】采用列举法，分别计算出a+b的值，结合集合的互异性，可得集合C，从而知集合中的元素个数．
解：当a＝1，b分别为2，4，6时，可得a+b分别为3，5，7，
当a＝3，b分别为2，4，6时，可得a+b分别为5，7，9，
当a＝5，b分别为2，4，6时，可得a+b分别为7，9，11，
根据集合的互异性，可知C＝{3，5，7，9，11}，共有5个元素．
故选：A．
【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．
2．（5分）使“”成立的必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．或x≥1D．或x＞1
【分析】可先对不等式“”进行求解，再由充要条件的定义即可进行求解．
解：由题解不等式，可得，
若判断选项是否为使“”成立的必要不充分条件，
则必为选项的真子集，
故选：A．
【点评】本题考查了充分条件，必要条件，充要条件，属于基础题．
3．（5分）若将钟表拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到5分针是一周的十二分之一，进而可得答案．
解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π
将分针拨慢是逆时针旋转
∴钟表拨慢5分钟，则分针所转过的弧度数为
故选：C．
【点评】本题考查弧度的定义：一周对的角是2π弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角．
4．（5分）已知a，b，c∈R，则下列结论中正确的有（ ）
A．若a＞b且，则ab＞0
B．若c＞a＞b＞0，则
C．若a＞b＞c＞0，则
D．若a＞b，则ac2＞bc2
【分析】利用作差法可判断ABC选项；利用特殊值法可判断D选项．
解：对于A选项，若a＞b且，可得a﹣b＞0，则，可得ab＜0，所以A错；
对于B选项，因为c＞a＞b＞0，则a﹣b＞0，c﹣a＞0，c﹣b＞0，
则，即，所以B对；
对于C选项，因为，因为a＞b＞c＞0，则a﹣b＞0，
可得＞0，即，所以C错；
对于D选项，因为a＞b，当c＝0时，ac2＝bc2，所以D错．
故选：B．
【点评】本题考查不等式的性质的应用及作差法比较两个数的大小，属于基础题．
5．（5分）函数图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由f（﹣x）＝f（x），故BD错，f（1）＝＜0，进而求解．
解：f（﹣x）＝﹣x（﹣1）＝﹣x（1﹣）＝x（）＝f（x），故BD错；
又f（1）＝＜0，故A错；
故选：C．
【点评】考查复合函数图象的理解，奇函数的应用，特殊值法，排除法．
6．（5分）已知，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．a＞c＞b
【分析】利用函数的单调性容易得出lg0.90.8＞1，0.50.6＜0.60.6＜0.60.5＜1，从而可得出a，b，c的大小关系．
解：lg0.90.8＞lg0.90.9＝1，0.50.6＜0.60.6＜0.60.5＜0.60＝1，
∴a＞b＞c．
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数、指数函数和幂函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
7．（5分）已知函数f（x）在区间（2，3）内单调且f（2）•f（3）＜0，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）．
A．4B．7C．10D．13
【分析】根据已知条件，结合二分法的定义，即可求解．
解：由题意可知，区间（2，3）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，
用二分法求方程近视解时，要求精确度为0.001，
则，解得n≥10，
故至少需要求10次中点值可以求得近似解．
故选：C．
【点评】本题主要考查二分法求函数零点的近似值，属于基础题．
8．（5分）函数y＝lga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点A，且A点在直线mx+ny＝1上，（m＞0，n＞0），则的最小值为（ ）
A．B．10C．D．8
【分析】结合对数函数的性质先求出A，进而可得2m+n＝1，然后利用乘1法，结合基本不等式可求．
解：根据对数函数的性质可知，y＝lga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点A（2，1），
所以2m+n＝1，
则＝＝6+＝10，
当且仅当n＝2m，即m＝，n＝时取等号．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质及基本不等式求解最值，属于基础题．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（6分）已知α为第二象限角，那么是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【分析】根据已知条件，推得，k∈Z，再对k分类讨论，即可求解．
解：α为第二象限角，
则，
故，k∈Z，
当k＝0时，，其终边在第一象限；
当k＝1时，，其终边在第二象限；
当k＝2时，，其终边在第四象限，
综上所述，的终边在第一、二、四象限．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查象限角，属于基础题．
（多选）10．（6分）下列选项正确的是（ ）
A．若a＞0，则的最小值为4
B．若x∈R，则的最小值是2
C．若ab＜0，则的最大值为﹣2
D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则的最大值为6
【分析】由已知结合基本不等式及对勾函数单调性检验各选项即可判断．
解：当a＞0时，a+＝4，当且仅当a＝，即a＝2时取等号，A正确；
令t＝，t，
则＝＝＝t+在t时单调递增，
故t＝时，上式取得最小值，B错误；
若ab＜0，则＝﹣[（﹣）+（﹣）]≤﹣2＝﹣2，当且仅当a＝﹣b时取等号，C正确；
正实数x，y满足x+2y＝1，则＝＝2+＝6，当且仅当x＝2y，即y＝，x＝时取等号，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了基本不等式及对勾函数单调性在最值求解中的应用，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知函数，的零点分别为x1，x2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1＝lnx2B．
C．x1+x2＞4D．x1x2＜e
【分析】由指数函数、对数函数、的对称性，再利用指数幂，对数运算判断选项即可．
解：如图，
函数y＝ex，y＝lnx互为反函数，所以它们的图像关于y＝x对称，
因为x＞1，所以，
由，
所以的反函数是其本身，则其图像也关于y＝x对称，
设与y＝ex的图像交点为，
与y＝lnx的图像交点为B（x2，lnx2），
对于A，与B（x2，lnx2）关于y＝x对称，则x1＝lnx2，，故A正确；
对于B，因为，所以，则x1+x2＝x1x2，所以，故B正确；
对于C，因为x1≠x2，所以＝，故C正确；
对于D，，x1∈（1，2），则，x1∈（1，2），所以，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查指数、对数函数的图象，函数的零点问题，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）周长为20的扇形的面积取得最大值时，扇形圆心角的大小为 2 ．
【分析】设扇形的半径为r（r＞0），圆心角为α（0＜α＜2π），依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得．
解：已知扇形的周长为20，
设扇形的半径为r（r＞0），圆心角为α（0＜α＜2π），
则2r+αr＝20，
则，
所以，
当且仅当，即α＝2时取等号，
即扇形圆心角为2时扇形的面积取得最大值．
故2．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，重点考查了基本不等式的应用，属基础题．
13．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）为偶函数，且f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，若，不等式f（x﹣a）＜f（3）恒成立，则实数a的取值范围为 ∅ ．
【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性进行变形，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）为偶函数，
所以f（x）关于x＝2对称，
因为f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，所以f（x）在（2，+∞）上单调递增，
所以f（x）越靠近对称轴x＝2函数值越小，
由f（x﹣a）＜f（3）得|x﹣a﹣2|＜|3﹣2|＝1|，
由于，所以x﹣3＜a＜x﹣1恒成立，
所以a＜（x﹣1）min且a＞（x﹣3）max，
则a＜﹣且a＞0，此时a不存在．
故∅．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题．
14．（5分）不等式的解集为 （0，16） ．
【分析】由已知结合对数运算性质进行化简，结合不等式的特点构造函数，结合函数单调性即可求解．
解：因为，
所以+x＞5，
所以+4＞5，
所以（）+（）＞1，
令t＝lg4x，f（t）＝（）t+（）t在R上单调递减，f（2）＝1，当t＜2时，f（t）＞1，
故lg4x＜2，
所以0＜x＜16．
故（0，16）．
【点评】本题主要考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知全集U＝R，集合A＝{x|2＜x＜7}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，C＝{x|a﹣1≤x＜2a﹣1，a∈R}，
（1）求A∩B；
（2）若C⊆∁U（A∪B），求实数a的取值范围．
【分析】（1）可以利用数字，直接由交集运算求出A∩B；
（2）在（1）的基础上，由补集定义求出∁U（A∪B），再由C⊆∁U（A∪B），
分C＝∅和C≠∅，两种情况求出实数a的取值范围．
解：（1）A＝{x|2＜x＜7}，B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，A∩B＝{x|2＜x＜7}，
（2）由（1）知A∪B＝{x|x＜﹣4或x＞2}，
∴∁U（A∪B）＝{x|﹣4≤x≤2}，
当C＝∅，a≤0时，满足C⊆∁U（A∪B），
当C≠∅，只需，即，
∴a≤，
综上可知实数a的取值范围（﹣∞，]．
【点评】本题考查交集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．
16．（15分）已知函数，m∈R．
（1）当x≤2时，求f（x）＞0的解集；
（2）若f（x）的最大值为3，求m的值．
【分析】（1）根据二次不等式的解法，分类讨论即得；
（2）当x＞2时利用基本不等式可得函数的最大值，进而可得m＝9然后结合条件即得，当x≤2时根据二次函数的性质分类讨论可得函数的最值，然后结合条件检验即得．
解：（1）当x≤2时，﹣x2+2mx＞0，即x（x﹣2m）＜0．
当m＜0时，2m＜x＜0；
当m＝0时，不等式无解；
当m＞0时，若m≤1，0＜x＜2m，
若m＞1，0＜x≤2；
所以当m＜0时，不等式的解集为（2m，0）；
当m＝0时，不等式的解集为∅；
当0＜m≤1时，不等式的解集为（0，2m）；
当m＞1时，不等式的解集为（0，2]．
（2）①当x＞2时，，
又x﹣2＞0，则，当且仅当x＝4取等号，
所以f（x）max＝m﹣2﹣4＝m﹣6＝3，即m＝9，
若m＝9时，当x≤2时，f（x）＝﹣x2+2mx＝﹣x2+18x．
此时f（x）max＝f（2）＝32＞3，
所以m＝9不满足题意，舍去．
②当x≤2时，f（x）＝﹣x2+2mx的对称轴为x＝m，
当m≤2时，，．
当m＞2时，f（x）在（﹣∞，2]时增函数，
f（x）max＝f（2）＝4m﹣4＝3，即（舍去）．
若．当x＞2时，，满足题意．
综上，时，f（x）的最大值为3．
【点评】本题考查分段函数及其运用，考查运算求解能力，属于中档题．
17．（15分）近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝mat（a＞0，且a≠1）．根据图中提供的信息，求：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；
（2）为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过0.15毫克时，学生方可进入教室．那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室．（精确到0.1小时）（参考值：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61）
【分析】（1）当0≤t≤时，设y＝kt，当t＞时，设y＝mat（a＞0且a≠1），将相应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，综合可得出y关于t的函数解析式；
（2）分析函数的单调性，当t＞时，解不等式y≤0.15，即可得出结论．
解：（1）当0≤t≤时，设y＝kt，将代入得：2＝k，解得k＝4，所以y＝4t，
当t＞时，y＝mat，将，（1，1）代入：，解得a＝，m＝4，所以y＝41﹣t，
综上：y＝；
（2）令41﹣t≤0.15＝，得1﹣t≤lg420，
化简得：t≥2+lg45﹣lg43，
解得：t≥2+≈2.4，
所以从药物释放开始，至少经过2.4小时后学生才能进入教室．
【点评】本题考查了分段函数和指数函数模型的实际应用，属于中档题．
18．（17分）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断函数f（x）在R内的单调性，并证明你的结论；
（3）若∃t∈[0，6]，使f（k﹣t2）+f（2t2﹣6t）＞0成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）结合奇函数的性质即可求解；
（2）∀x1，x2∈（﹣∞，+∞），x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；
（3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
解：（1）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，
，整理得恒成立，所以b＝1；
（2）由（1）可知，函数在R上递减，证明如下：
∀x1，x2∈（﹣∞，+∞），x1＜x2，
所以，，
＝＞0，
所以f（x1）＞f（x2），即函数f（x）是减函数．
（3）由上面条件可以转化为f（k﹣t2）＞f（﹣2t2+6t），
又因为函数f（x）是减函数，所以k﹣t2＜﹣2t2+6t，所以k＜﹣t2+6t，
因为﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，因为0≤t≤6，0≤t≤6，﹣t2+6t有最大值9，
所以k＜9，即k的取值范围为（﹣∞，9）．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
19．（17分）函数f（x）满足：对任意实数x，y，有f（xy）＝xf（y）+yf（x）成立；函数，g（2）＝1，且当x＞1时，g（x）＞0．
（Ⅰ）求f（﹣1）并证明函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）证明：函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）若关于x的不等式g（x2+2x+3）﹣g（tx）＞2恒成立，求t的取值范围．
【分析】（Ⅰ）赋值求得f（﹣1）＝0，根据奇函数的定义证明函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）由题意可得g（xy）＝g（x）+g（y），根据单调性的定义分析证明；
（Ⅲ）根据题意结合函数性质可得x2+2x+3＞|4tx|，利用参变分离可得，利用基本不等式分析求解即可．
解：（Ⅰ）因为f（xy）＝xf（y）+yf（x），
令x＝y＝1，则f（1）＝f（1）+f（1），
得f（1）＝0；
令x＝y＝﹣1，
则f（1）＝﹣f（﹣1）﹣f（﹣1），
得f（﹣1）＝0；
证明：∀x∈R，令y＝﹣1，
依题意得f（﹣x）＝x•f（﹣1）+（﹣1）•f（x），
即f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数；
（Ⅱ）证明：由f（xy）＝xf（y）+yf（x），
得，
即g（xy）＝g（x）+g（y），
∀x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，
则，，
可得，
即g（x2）＞g（x1），
所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）因为（x≠0），且函数f（x）为奇函数，
则，
可知g（x）是偶函数，且g（4）＝g（2）+g（2）＝2，
因为g（x2+2x+3）﹣g（tx）＞2，
可得g（x2+2x+3）＞g（4）+g（tx）＝g（4tx），
因为g（x）是偶函数，且x2+2x+3＝（x+1）2+2＞0，
可得g（x2+2x+3）＞g（|4tx|），
又因为函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
可得x2+2x+3＞|4tx|，
因为x≠0，
则，
可知，
当x＞0时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当x＜0时，，
当且仅当，即时，等号成立；
综上所述：．
可得，解得，且t≠0，
所以t的取值范围为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
C
B
C
A
C
B