初中数学北师大版（2024）八年级下册4 角平分线课时练习

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册4 角平分线课时练习，文件包含北师大版数学八下考点练习专题16角的平分线-重难点题型原卷版doc、北师大版数学八下考点练习专题16角的平分线-重难点题型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

【知识点1 角平分线的作法】
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
【题型1 角平分线的作法及应用】
【例1】（2020秋•曲靖校级月考）如图所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是 ．（将①②③重新排列）
①作射线OC；
②以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于D、E；
③分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．
【变式1-1】（2020•连城县模拟）如图，已知∠MON，点B，C分别在射线OM，ON上，且OB＝OC．
（1）用直尺和圆规作出∠MON的角平分线OP，在射线OP上取一点A，分别连接AB、AC（只需保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）在（1）的条件下求证：AB＝AC．
【变式1-2】（2020秋•沛县期中）如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD＝CD，
（1）用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程．
【变式1-3】（2021秋•孟州市校级期中）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：
根据以上情境，解决下列问题：
作法：（如图1）
①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE．
②分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．
小聪只带来直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线（如图2），方法如下：
步骤：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．
②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P．
③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．
小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ．
②小聪的作法正确吗？请说明理由．
③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法．（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）
【知识点2 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型2 角平分线的性质的应用】
【例2】（2021春•毕节市期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（ ）
A．9B．5C．10D．不能确定
【变式2-1】（2021春•汉寿县期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-2】（2020秋•增城区期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24B．27C．30D．33
【变式2-3】（2021春•武侯区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【题型3 角平分线的性质与等积法】
【例3】（2020秋•云南期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．
【变式3-1】（2021春•浦江县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于点D，求BD的长．
【变式3-2】（2020春•番禺区校级期中）点P为△ABC三内角平分线的交点，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：点P到三边的距离．
【变式3-3】（2020秋•渝水区校级期中）知识储备：
（1）如图1，AD是△ABC的高，则△ABC的面积S△ABCBC•AD．
比例的性质：若，则．
知识运用：
（2）如图2，BE是△ABC的角平分线，运用上述知识，求证：；
知识延展：
如图3，△ABC的角平分线BE平分△ABC的周长，求证：△ABC是等腰三角形．
【题型4 角平分线的性质与全等】
【例4】（2020秋•肇源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
【变式4-1】（2020秋•平山县期中）如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
【变式4-2】（2021春•盐田区校级期中）已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．
【变式4-3】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M
（1）求证：AP平分∠CAB；
（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；
（3）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△CAN≌△CMN．
【知识点3 角平分线的判定】
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【题型5 角平分线的判定】
【例5】（2020秋•鼓楼区校级期中）如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
【变式5-1】（2020秋•长垣市月考）如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5-2】（2020秋•夏津县期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【变式5-3】（2021春•道县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；
②点P在∠CBE的平分线上；
③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．
其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．④D．②③
【题型6 角平分线的性质与判定综合】
【例6】（2020秋•朝阳区校级期中）如图，OD平分∠AOB，OA＝OB，P是OD上一点，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N．求证：PM＝PN．
【变式6-1】（2020秋•临西县期末）已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
【变式6-2】（2020秋•常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
【变式6-3】（2020秋•庆阳期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．
（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．