人教版（2024）八年级上册14.3 因式分解综合与测试课时练习

这是一份人教版（2024）八年级上册14.3 因式分解综合与测试课时练习，文件包含人教版数学八上同步考点分类训练专题17因式分解原卷版doc、人教版数学八上同步考点分类训练专题17因式分解解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

◎考点题型1 因式分解的概念
概念：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【注意】（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是
一种运算.
例．（2021·河南南阳·八年级期中）下列各式从左到右是分解因式的是（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（2022·江苏淮安·七年级期中）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
变式2．（2022·湖南岳阳·七年级期中）将多项式进行因式分解，得到，则，分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
变式3．（2022·广西贵港·七年级期中）已知多项式因式分解后得到一个因式为，则m的值为（ ）
A．B．5C．D．6
◎考点题型2 提取公因式法
1、公因式
概念：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
【注意】（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母
是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
2、提公因式法
概念：把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
【注意】（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式
后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
例．（2022·广西贵港·七年级期中）多项式与 的公因式是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2022·湖南·耒阳市教育研究室八年级期末）下列各式，可以分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2022·全国·八年级期末）将多项式﹣5a2bc+3ab2﹣abc各项提公因式后，另一个因式是（ ）
A．5ac﹣3b+cB．5bc﹣3b+cC．﹣5ac+3b+cD．﹣5bc+3b+c
变式3．（2022·浙江绍兴·七年级期中）计算的结果为（ ）
A．2021B．20210C．202100D．2021000
◎考点题型3 公式法——平方差公式
1、概念：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，
即：
【注意】（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的
和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
2、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
3、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
例．（2021·四川·成都七中七年级阶段练习）若，，那么的值是（ ）
A．－2B．－4C．2D．4
变式1．（2022·山东济南·七年级期末）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2022·山东济南·八年级期末）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2020·吉林长春·八年级期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
◎考点题型4 公式法——完全平方公式
1、概念：两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方。
即，
形如，的式子叫做完全平方式。
【注意】（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2。右
边是两数的和（或差）的平方。
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件。
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式。
2、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
3、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
例．（2021·湖南娄底·二模）若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3，1D．﹣1，3
变式1．（2022·山东济南·八年级期末）下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2022·北京石景山·七年级期末）若多项式可以分解因式为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2022·福建宁德·八年级期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
◎考点题型5 十字相乘法
1、概念：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
【注意】（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
2、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
【注意】（1）分解思路为“看两端，凑中间”
二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
例．（2022·安徽宿州·八年级期中）如果多项式能因式分解为，则的值是（ ）
A．-7B．7C．-13D．13
变式1．（2022·安徽宿州·八年级期中）如果多项式能因式分解为，则的值是（ ）
A．-7B．7C．-13D．13
变式2．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室一模）将多项式因式分解，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2022·广东广州·八年级期末）若，则p，q的值分别为（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝－3，q＝4C．p＝3，q＝－4D．p＝－3，q＝－4
◎考点题型6分组分解法
概念：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
【注意】分组分解法分解因式常用的思路有：
例．（2021·四川凉山·一模）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2020·福建·南靖县城关中学八年级阶段练习）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）
A．±1B．1或11C．±11D．±1或±11
变式2．（2021·全国·九年级专题练习）能使分式的值为正整数的所有的值的和为（ ）
A．10B．0C．D．
变式3．（2021·全国·八年级专题练习）用分组分解的因式，分组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
◎考点题型7 因式分解的应用
例．（2022·福建宁德·八年级期中）已知a、b、c分别为三角形的三条边，则的值（ ）
A．可能为零B．一定为负数C．一定为正数D．无法确定
变式1（2022·四川达州·八年级期末）一位密码编译爱好者的密码手册中有这样一条信息：a-1，x-y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：县，爱，我，数，学，渠．现将2x（a2-1）-2y（a²-1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱渠县B．爱渠县C．我爱学D．渠县
变式2．（2022·河北唐山·七年级期末）如图，边长为、的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ）
A．28B．96C．192D．200
变式3．（2022·广东清远·八年级期中）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若，，则△ABC的周长是（ ）
A．3B．6C．8D．12
◎考点题型8 因式分解在有理数简算中的应用
例．（2020·全国·八年级单元测试）2 0152-2 015一定能被（ ）整除
A．2 010B．2 012C．2 013D．2 014
变式1．（2020·全国·八年级课时练习）计算：752-252=（ ）
A．50B．500C．5000D．7100
变式2．（2017·全国·八年级课时练习）计算：2-(-2)的结果是( )
A．2B．3×2C．-2D．()
变式3．（2018·全国·八年级单元测试）化简：（﹣2）2003+（﹣2）2002所得的结果为（ ）
A．22002B．﹣22002C．﹣22003D．2
方法
分类
分组方法
特点
分组分解法
四项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平方差公式
五项
三项、二项
各组之间有公因式
六项
三项、三项
二项、二项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项
可化为二次三项式