人教版八年级上册14.3 因式分解综合与测试学案

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1．下列各式属于因式分解的是（ ）
A．（3x+1）（3x﹣1）=9x2﹣1B．x2﹣2x+4=（x﹣2）2
C．a4﹣1=（a2+1）（a+1）（a﹣1）D．9x2﹣1+3x=（3x+1）（3x﹣1）+3x
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B、不符合完全平方公式的特点，不能运用完全平方公式进行分解，错误；
C、两次运用平方差公式，正确；
D、不是积的形式，错误；
故选：C．
【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
2.若多项式﹣6ab+18abx+24aby的一个因式是﹣6ab，那么另一个因式是（ ）
A．1﹣3x﹣4yB．﹣1﹣3x﹣4yC．1+3x﹣4yD．﹣1﹣3x+4y
【分析】利用多项式的每一项除以公因式，即可得到另一个因式．
【解答】解：﹣6ab+18abx+24aby=﹣6ab（1﹣3x﹣4y），
所以另一个因式是（1﹣3x﹣4y）．
故选：A．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后剩下的因式是用原多项式除以公因式所得的商．
3.若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|=0，则a2﹣b2的值是（ ）
A．﹣1B．1C．6D．﹣6
【分析】由非负数的性质得出a﹣b=2，a+b=﹣3，求出a，b的值，再代入a2﹣b2进行计算即可．
【解答】解：∵（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|=0，
∴a﹣b=2，a+b=﹣3，
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=2×（﹣3）=﹣6；
故选：D．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，由非负数的性质求a，b的值是解题的关键．
4.下列因式分解正确的是（ ）
A．4m2﹣4m+1=4m（m﹣1）B．a3b2﹣a2b+a2=a2（ab2﹣b）
C．x2﹣7x﹣10=（x﹣2）（x﹣5）D．10x2y﹣5xy2=5xy（2x﹣y）
【分析】A、利用完全平方公式分解；
B、利用提取公因式a2进行因式分解；
C、利用十字相乘法进行因式分解；
D、利用提取公因式5xy进行因式分解．
【解答】解：A、4m2﹣4m+1=（2m﹣1）2，故本选项错误；
B、a3b2﹣a2b+a2=a2（ab2﹣b+1），故本选项错误；
C、（x﹣2）（x﹣5）=x2﹣7x+10，故本选项错误；
D、10x2y﹣5xy2=xy（10x﹣5y）=5xy（2x﹣y），故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，要想灵活运用各种方法进行因式分解，需要熟练掌握各种方法的公式和法则；分解因式中常出现错误的有两种：①丢项：整项全部提取后要剩1，分解因式后项数不变；②有些结果没有分解到最后，如最后一个选项需要一次性将公因式提完整或进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
5.下列多项式中，能用公式进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2﹣b2B．x2+2x+4C．﹣（﹣a）2﹣b2D．﹣a2+b2
【分析】根据公式法分解因式，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），a2±2ab+b2=（a±b）2的公式特点，把四个选项进行分析可得到答案．
【解答】解：A、﹣a2﹣b2有两项，考虑平方差公式分解，但是平方前的符号相同，所以不能用公式法分解，故此选项错误；
B、x2+2x+4=x2+2x+22有三项，考虑完全平公式分解，由于中间的项2x不是x与2的2倍，所以不能用公式法分解，故此选项错误；
C、﹣（﹣a）2﹣b2=﹣a2﹣b2有两项，考虑平方差公式分解，但是平方前的符号相同，所以不能用公式法分解，故此选项错误；
D、﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a），故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握分解因式的公式，才是解题的关键．
6.若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣1D．1
【分析】设x2﹣px﹣6=（x﹣2）（x﹣a），右边利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值．
【解答】解：根据题意设x2﹣px﹣6=（x﹣2）（x﹣a）=x2﹣（a+2）x+2a，
∴﹣p=﹣a﹣2，2a=﹣6，
解得：a=﹣3，p=﹣1．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的意义，弄清题意是解本题的关键．
7.下列因式分解正确的是（ ）
A．（x﹣y）3﹣（x﹣y）=（x﹣y）（x﹣y）2 B．（x﹣y）2﹣（x﹣y）3=（x﹣y）2（x﹣y+1）
C．（x﹣y）2﹣（y﹣x）=（x﹣y）（x﹣y+1） D．（x﹣y）2﹣（y﹣x）=（x﹣y）（x﹣y﹣0）=（x﹣y）2
【分析】根据提公因式法，提取公因式后整理即可．
【解答】解：A、应为（x﹣y）3﹣（x﹣y）=（x﹣y）[（x﹣y）2﹣1]，有漏项，错误；
B、应为（x﹣y）2﹣（x﹣y）3=（x﹣y）2（﹣x+y+1），错误；
C、（x﹣y）2﹣（y﹣x）=（x﹣y）（x﹣y+1），正确；
D、应为（x﹣y）2﹣（y﹣x）=（x﹣y）（x﹣y+1），错误．
故选：C．
【点评】本题考查整体思想的运用，整理时注意符号的变化．
8.若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣1
【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x﹣2）（x+b）利用多项式乘法法则展开即可求解．
【解答】解：∵（x﹣2）（x+b）=x2+bx﹣2x﹣2b=x2+（b﹣2）x﹣2b=x2﹣ax﹣1，
∴b﹣2=﹣a，﹣2b=﹣1，
∴b=0.5，a=1.5，
∴a+b=2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．
9．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）
A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）
【分析】原式利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式=（x﹣2）（x+9）．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
10.化简：，结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】将所求式子的分子分母前两项提取20122，整理后分子提取2010，分母提取2013，约分后即可得到结果．
【解答】解：原式=
=
=
=．
故选：A．
【点评】此题考查了因式分解的应用，是一道技巧性较强的题，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．△ABC中三边长a，b，c满足条件|a﹣2|+b2﹣6b+9=0，则c边不可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】已知等式左边后三项利用完全平方公式变形，根据非负数之和为0，非负数分别为0求出a与b的值，即可得出第三边c的范围．
【解答】解：∵|a﹣2|+b2﹣6b+9=|a﹣2|+（b﹣3）2=0，
∴a=2，b=3，
∵△ABC的三边长分别为a，b，c，b﹣a＜c＜b+a，
∴3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5．
故选：A．
【点评】此题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
二．填空题（共5小题）
12．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为 9 ．
【分析】设另一个因式为x+a，（x+a）（x﹣3）=x2+（﹣3+a）x﹣3a，根据题意得出﹣m=﹣3+a，n=﹣3a，求出m、n后代入即可．
【解答】解：设另一个因式为x+a，
则（x+a）（x﹣3）=x2+（﹣3+a）x﹣3a，
∴﹣m=﹣3+a，n=﹣3a，
∴m=3﹣a
∴3m﹣n=3（3﹣a）﹣（﹣3a）=9﹣3a+3a=9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了因式分解的意义，能得出﹣m=﹣3+a和n=﹣3a是解此题的关键．
13．对多项式24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是 8ab ．
【分析】根据公因式是每项都含有的因式，可得答案．
【解答】解：24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是 8ab，
故答案为：8ab．
【点评】本题考查了公因式，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．
14．2x3y2与12x4y的公因式是 2x3y ．
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．
【解答】解：∵2x3y2=2x3y•y，12x4y=2x3y•6x，
∴2x3y2与12x4y的公因式是2x3y，
故答案为：2x3y．
【点评】本题主要考查了公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．
15．分解因式：2xy﹣6y= 2y（x﹣3） ．
【分析】首先找出公因式2y，进而提取2y，分解因式即可．
【解答】解：原式=2y（x﹣3）．
故答案为：2y（x﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
16．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为 ﹣1 ．
【分析】先把（x+2）（x﹣1）展开，求得m，n的值，再求m+n的值即可．
【解答】解：∵x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），
∴x2+mx+n=x2+x﹣2，
∴m=1，n=﹣2，
∴m+n=1﹣2=﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，求得m，n的值是解题的关键．

三．解答题（共3小题）

17．因式分解：2x2﹣4x．
【分析】提取公因式2x即可得．
【解答】解：原式=2x（x﹣2）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，解题的关键是掌握当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．

18．因式分解：
（1）x2+2xy2+2y4；
（2）4b2c2﹣（b2+c2）2；
（3）a（a2﹣1）﹣a2+1；
（4）（a+1）（a﹣1）﹣8．
【分析】（1）先提取公因式，再利用公式法求解可得；
（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解；
（3）先提取公因式a2﹣1，再分解可得；
（4）先去括号、合并，再利用平方差公式分解可得．
【解答】解：（1）原式=（x2+4xy2+y4）=（x+2y2）2；
（2）原式=（2bc+b2+c2）（2bc﹣b2﹣c2）
=﹣（b+c）2（b﹣c）2；
（3）原式=a（a2﹣1）﹣（a2﹣1）
=a（a+1）（a﹣1）﹣（a+1）（a﹣1）
=（a+1）（a﹣1）2；
（4）原式=a2﹣1﹣8
=a2﹣9
=（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的能力．
理解题意给出的方法，本题属于基础题型．
19．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
小明发现，可以设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴
利用方程组可以解决．
请回答：
另一个因式为 x﹣7 ，m的值为 ﹣21 ；
参考小明的方法，解决下面的问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣4），求另一个因式以及k的值．
【分析】求出方程组的解，即可求出答案；设二次三项式2x2+3x﹣k的另一个因式为2x+a，得出方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：解方程组得：，
即另一个因式为x﹣7，m=﹣21；
设二次三项式2x2+3x﹣k的另一个因式为2x+a，
则2x2+3x﹣k=（x﹣4）（2x+a），
2x2+3x﹣k=2x2+（a﹣8）x﹣4a，
所以，
解得：a=11，k=44，
即另一个因式是2x+11，k=44，
故答案为：x﹣7，﹣21．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式和解二元一次方程组，能得出二元一次方程组是解此题的关键．
课堂小测
1.因式分解：a2﹣a= a（a﹣1） ．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣a=a（a﹣1）．
故答案为：a（a﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
2.分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2= 3（x+y）（x﹣y） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（y+2x+x+2y）（y+2x﹣x﹣2y）=3（x+y）（x﹣y），
故答案为：3（x+y）（x﹣y）
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
3.因式分解：a3﹣2a2b+ab2= a（a﹣b）2 ．
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=a（a2﹣2ab+b2）
=a（a﹣b）2．
故答案为：a（a﹣b）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4.在实数范围内将下列各式分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2；
（2）x3﹣5x．
【分析】（1）先提取公因式3a，然后由完全平方公式进行因式分解；
（2）先提取公因式x，然后由平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式=3a（x2﹣2xy+y2）
=3a（x﹣y）2；
（2）原式=x（x2﹣5），
=x（x+）（x﹣）．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．