新高考数学一轮复习考点分类讲与练第29讲 三角函数的图像与性质（2份，原卷版+解析版）

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1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
1、（2023年全国1卷）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
【命题意图】本题考查三角函数图象和零点问题，考查数学运算的核心素养.
难度：中等偏下.
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图象性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图象性质可得，故，
故答案为：.
2、【2022年北京】已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】
化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
1、y＝|cs x|的一个单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[0，π]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
【答案】 D
【解析】 将y＝cs x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cs x|的图象(如图)．
故选D.
2、函数f(x)＝eq \r(2sin \f(π,2)x－1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋4kπ，\f(5π,3)＋4kπ))(k∈Z) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋4k，\f(5,3)＋4k))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋4kπ，\f(5π,6)＋4kπ))(k∈Z) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,6)＋4k，\f(5,6)＋4k))(k∈Z)
【答案】 B
【解析】 由题意，得2sin eq \f(π,2)x－1≥0，
eq \f(π,2)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ，\f(5π,6)＋2kπ))(k∈Z)，
则x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋4k，\f(5,3)＋4k))(k∈Z)．
3、（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【解析】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故选：C
4、（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数在单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
令，解得，，
因为，所以，则，
故，解得 ，所以最大值为．
故选：B．
5、（多选）（2022·苏锡常镇一模）下列函数中，最大值是1的函数有( )
A. y＝|sin x|＋|cs x|
B. y＝sin2x－cs2x
C. y＝4sin2x cs2x
D. y＝ eq \f(tan x tan 2x,tan 2x－tan x)
【答案】BC.
【解析】 对于A，y＝ eq \r((|sin x|＋|cs x|)2)＝ eq \r(1＋|sin 2x|)≤ eq \r(2)，当且仅当sin 2x＝±1，即x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z时取“＝”，即当x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z时，ymax＝ eq \r(2)，故A错误；对于B，y＝－(cs2x－sin2x)＝－cs2x≤1，当且仅当2x＝2kπ－π，即x＝kπ－ eq \f(π,2)，k∈Z时取“＝”，即当x＝kπ－ eq \f(π,2)，k∈Z时，ymax＝1，故B正确；对于C，y＝(2sin x cs x)2＝sin22x≤1，当且仅当sin2x＝±1，即x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z时取“＝”，即当x＝ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z时，ymax＝1，故C正确；对于D，依题意，由tan x，tan 2x都有意义，且tan 2x－tan x≠0，得x≠kπ，且x≠kπ＋ eq \f(π,2)，且x≠ eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,4)，k∈Z，y＝ eq \f(\f(sin x,cs x)·\f(sin 2x,cs 2x),\f(sin 2x,cs 2x)－\f(sin x,cs x))＝ eq \f(sin x sin 2x,sin 2x cs x－cs 2x sin x)＝ eq \f(sin x sin 2x,sin x)＝sin 2x，显然sin 2x最大值为1，此时，x＝kπ＋ eq \f(π,4)，k∈Z，而kπ＋ eq \f(π,4)，k∈Z使函数y＝ eq \f(tan x tan 2x,tan 2x－tan x)无意义，即sin 2x不能取到1，故D不正确．故选BC.
考向一 三角函数的定义域
例1 (1)函数y＝eq \f(1,tan x－1)的定义域为________．
【答案】 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))
【解析】 要使函数有意义，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x－1≠0，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，k∈Z，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))
故函数的定义域为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).
（2）函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________．
【答案】 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)
【解析】 要使函数有意义，必须使sin x－cs x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，
如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cs x的x为eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).
变式、函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)的定义域为________．
【答案】 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
【解析】 ∵函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)，
∴应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin 2x>0，,9－x2≥0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ