2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含答案】，共10页。
1.当圆x2+y2=4截直线l:x-my+m-1=0(m∈R)所得的弦最长时,m的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.已知直线l:(a-1)x+y-3=0,圆C:(x-1)2+y2=5.则“a=32”是“l与C相切”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.与两圆C1:(x-1)2+(y+2)2=1和C2:(x+1)2+(y-3)2=9都相切的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4.已知直线y=mx与圆x2+y2-4x+2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则m的值为( )
A.±3 B.±1 C.±22 D.±33
5.若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为62,则圆D的半径为( )
A.5 B.25 C.26 D.27
6.已知直线y=kx与圆C:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点.若△ABC为直角三角形,则k的值为 .
7.已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值 .
8.已知直线l:2mx-y-8m-3=0,则直线过定点 ,该直线被圆C:x2+y2-6x+12y+20=0截得的最短弦长为 .
9.已知圆C:x2+y2+2x+4y+m=0.
(1)若直线l:y=x-m与圆C相切,求实数m的值;
(2)若圆C与圆M:x2+y2-4x-4y-8=0外切,求实数m的值.
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10.过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则 sin α等于( )
A.1 B.154 C.104 D.64
11.(多选题)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,著作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0,0),A(3,0),圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有一个点P满足|PA|=2|PO|,则r的取值可以为( )
A.1 B.3 C.5 D.7
12.写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 .
13.已知圆E经过点A(0,0),B(2,2),且 .从下列三个条件中选取一个,补充在上面的横线处,并解答.
①与y轴相切;②圆E恒被直线mx-y-2m=0(m∈R)平分;③过直线x+4y-4=0与直线x-2y-4=0的交点C.
(1)求圆E的方程;
(2)求过点P(4,3)的圆E的切线方程.
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14.已知圆C1:x2+y2+2x-6y+5=0,圆C2:x2+y2-10x+5=0.
(1)判断C1与C2的位置关系;
(2)若过点(3,4)的直线l被C1,C2截得的弦长之比为1∶2,求直线l的方程.
参考答案
【A级 基础巩固】
1.解析:要使直线截圆所得弦最长,则直线必过圆心(0,0),所以m-1=0,可得m=1.故选C.
2.解析:直线与圆相切,则|a-1-3|(a-1)2+1=5,所以 a=-1或32,所以“a=32”是
“直线l与圆相切”的充分不必要条件.故选A.
3.解析:由题意知,C1(1,-2),r1=1,C2(-1,3),r2=3,
所以圆心距|C1C2|=(1+1)2+(-2-3)2=29>r1+r2=4,所以两圆外离,公切线有4条.故选D.
4.解析:由x2+y2-4x+2=0得圆的标准方程为 (x-2)2+y2=2,所以该圆的圆心坐标为(2,0),半径r=2,又直线y=mx与圆x2+y2-4x+2=0相交所得的弦AB的长为2,则圆心到直线的距离d=r2-(|AB|2) 2=1,即|2m|m2+1=1,解得m=±33.故选D.
5.解析:由圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2,
可得两圆公共弦的方程为2x-6y=4-R2,
又由圆C的方程为x2+(y-4)2=18,其圆心的坐标为(0,4),半径r=32,
两圆的公共弦的弦长为62,
则点C(0,4)在直线2x-6y=4-R2上,
则有2×0-6×4=4-R2,
解得R2=28,
则圆D的半径为27.故选D.
6.解析:根据题意,圆C:x2+y2-4x+3=0即 (x-2)2+y2=1,若△ABC为直角三角形,即为等腰直角三角形,所以有圆心C到直线的距离为|2k|1+k2=22,解得k=±77.
答案:±77
7.解析:设点C到直线AB的距离为d,由弦长公式得|AB|=24-d2,
所以S△ABC=12·d·24-d2=85,
解得d=455或d=255,
由d=|1+1|1+m2=21+m2,所以21+m2=455或21+m2=255,解得m=±12或m=±2.
答案:2(2,-2,12,-12中任意一个皆可)
8.解析:将直线l变形得2m(x-4)=y+3,
即直线l恒过定点P(4,-3);
圆的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25,
显然点P在圆内.
当圆心C(3,-6)到直线l的距离最大时,直线l被圆所截得的弦AB的长度最短.
此时PC⊥l,且|PC|=10,|AC|=5,
所以|AB|=2|AC|2-|PC|2=215.
故直线l被圆C截得的最短弦长为215.
答案:(4,-3) 215
9.解:(1)圆C:(x+1)2+(y+2)2=5-m,则有m0)上有且仅有一个点P满足|PA|=2|PO|,所以两圆相切.
圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)的圆心坐标为(2,0),半径为r,两圆的圆心距为3,
当两圆外切时,r+2=3,得r=1,
当两圆内切时,|r-2|=3,r>0,得r=5.
故选AC.
12.解析:法一 如图,因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1,
圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3,4),半径r2=4,所以|OA|=5,r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以两圆外切,公切线有三种情况:①易知公切线l1的方程为x=-1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称,易知过两圆圆心的直线l的方程为y=43x,由x=-1,y=43x
得x=-1,y=-43,由对称性可知公切线l2过点(-1,-43),设公切线l2的方程为y+43=k(x+1),则点O(0,0)到l2的距离为1,所以1=|k-43|k2+1,解得k=724,所以公切线l2的方程为y+43=724(x+1),即7x-24y-25=0.③还有一条公切线l3与直线l:y=43x垂直,设公切线l3的方程为y=-34x+t,易知t>0,则点O(0,0)到l3的距离为1,所以1=|t|(-34) 2+(-1)2,解得t=54或t=-54
(舍去),所以公切线l3的方程为y=-34x+54,即3x+4y-5=0.综上,所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.
法二 根据题意,精确作出两圆(需用到尺规),由图形可直观快速看出直线x=-1是两圆的一条公切线,经验证符合题意,故可填x=-1.
答案:x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(其中一条作答即可)
13.解:(1)选①,设圆E的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由题意可得|a|=r,a2+b2=r2,(2-a)2+(2-b)2=r2,
解得a=2,b=0,r=2,则圆E的方程为(x-2)2+y2=4.
选②,直线mx-y-2m=0恒过(2,0),
而圆E恒被直线mx-y-2m=0(m∈R)平分,
所以mx-y-2m=0恒过圆心,
所以圆心为(2,0),
可设圆的标准方程为(x-2)2+y2=r2,
由圆E经过点A(0,0),得r2=4,
则圆E的方程为(x-2)2+y2=4.
选③,由条件易知C(4,0),
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
由题意可得F=0,8+2D+2E+F=0,16+4D+F=0,
解得D=-4,E=0,F=0,
则圆E的方程为x2+y2-4x=0,
即(x-2)2+y2=4.
(2)因为(4-2)2+32=13>4,
所以点P在圆E外,
若直线斜率存在,设切线的斜率为k,
则切线方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0.
所以|2k-4k+3|k2+1=|-2k+3|k2+1=2,解得k=512.
所以切线方程为5x-12y+16=0,
若直线斜率不存在,直线方程为x=4,满足题意.
综上,过点P(4,3)的圆E的切线方程为x=4或5x-12y+16=0.
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14.解:(1)圆C1:(x+1)2+(y-3)2=5的圆心为 C1(-1,3),半径r1=5,
圆C2:(x-5)2+y2=20的圆心为C2(5,0),半径r2=25.
因为|C1C2|=(-1-5)2+(3-0)2=35=r1+r2,所以圆C1与圆C2外切.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为 x=3,直线l与圆C1
相离,不符合题意;
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-3)+4,即kx-y+4-3k=0,
则圆心C1到直线l的距离为d1=|1-4k|k2+1,
圆心C2到直线l的距离为d2=|2k+4|k2+1,
所以直线l被圆C1截得的弦长为25-(|1-4k|k2+1) 2,
直线l被圆C2截得的弦长为220-(|2k+4|k2+1) 2,
由题意可得25-(|1-4k|k2+1) 2=20-(|2k+4|k2+1) 2,
即4(1-4k)2=(2k+4)2,解得k=1或k=-15,经检验,k=1,k=-15均符合题意.
所以直线l的方程为x-y+1=0或x+5y-23=0.