人教版数学九年级上册期中复习专题08 二次函数与一元二次方程重难点题型专训【六大题型】（2份，原卷版+解析版）

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【知识梳理】
知识点：二次函数与一元二次方程
1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。
2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。
3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。
二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况:
①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0.
(2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标.
(3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换.
知识点：二次函数与不等式
【经典例题一 抛物线与x、y轴的交点坐标】
【例1】（2022秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（ ）
A．－7或1B．－1C．－7D．1
【变式训练】
1．（2022·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则m的最小整数值为（ ）
A．2B．－2C．3D．－3
2．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，抛物线与轴交于点，交轴正半轴于，直线过，是抛物线第一象限内一点，过点作轴交直线于点，则的最大值为______．

3．（2023·新疆喀什·统考三模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于，点P在抛物线上，横坐标设为m．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在x轴上方时，直接写出m的取值范围；
(3)若抛物线在点P右侧部分（含点P）的最高点的纵坐标为，求m的值．
【经典例题二 由二次函数解一元二次方程】
【例2】（2021秋·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期末）根据下面表格中的对应值：
判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．的解是或
2．（2023·吉林长春·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围为______.
3．（2023·湖北黄石·统考一模）阅读材料：
材料1．已知实数m、n满足，且，求的值．
解：由题意知m、n是方程的两个不相等的实数根，得，
∴
材料2．如图，函数的图像，是一条连续不断的抛物线，因为当时，；当时，．可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间．
所以方程的一个根所在的范围是．
根据上述材料解决下面问题：

(1)已知实数m、n满足，，且，求的值．
(2)已知实数p、q满足，，，且，求的值．
(3)若关于x的一元二次方程的一个根大于2，另一个根小于2，求m的取值范围．
【经典例题三 由二次函数的图象求不等式的解集】
【例3】（2023·山东聊城·统考二模）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点．下列结论：①；②若点，是抛物线上的两点，则；③；④若，则，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式训练】
1．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）二次函数（，，为常数，且）中与的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ）
①
②当时，的值随值的增大而减小；
③4是方程的一个根；
④当时，
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（2023·上海普陀·统考二模）抛物线开口向上，且过，下列结论中正确的是_________（填序号即可）．
①若抛物线过，则；
②若，则不等式的解为；
③若，、为抛物线上两点，则时；
④若抛物线过，且，则抛物线的顶点一定在的下方．
3．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：．
解：设，解得：，，
则抛物线与轴的交点坐标为和．
画出二次函数的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当时函数图象位于轴下方，
此时，即．
所以一元二次不等式的解集为：．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号）
①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．
(2)用类似的方法解一元二次不等式：．
(3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
①自变量的取值范围是___________；与的几组对应值如表，其中___________．
②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
③结合函数图象，解决下列问题：
解不等式：

【经典例题四 抛物线交点问题的综合】
【例4】（2023·湖南岳阳·统考三模）如图，抛物线与直线交于点和点B．点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标的取值范围是（ ）

A．B．或
C．D．或
【变式训练】
1．（2023·天津河东·一模）抛物线(a，b，c为常数)开口向下且过点，以下结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知抛物线（）．现给出以下结论：①该抛物线与y轴的交点坐标是；②当时，抛物线与直线没有交点；③若该抛物线的顶点在直线与坐标轴围成的三角形内（包括边界），则；④若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点与之间．其中正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）
3．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点都在抛物线上．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的取值范围；
(3)在（1）的条件下，设抛物线与轴正半轴交于点A，与轴交于点B． 将抛物线沿着轴向上平移个单位长度得到抛物线，若抛物线与轴交于C，D两点，与轴交于点E，且，． 求抛物线在的最高点的纵坐标．
【经典例题五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】
【例5】（2023·山东聊城·统考中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）．

A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练】
1．（2022秋·广东珠海·九年级校考期中）二次函数的图像如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤若方程两根为，，则．其中正确个数是（ ）

A．个B．个C．个D．个
2．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于 _____．
3．（2022秋·浙江·九年级期中）宏志班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中，
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质：① ；② ．
(4)关于的方程有4个实数根时，的取值范围是 ．
【经典例题六 求x轴与抛物线的截线长】
【例6】（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，．若线段上有且只有7个点的横坐标为整数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（ ）
A．1B．C．D．
2．（2022春·全国·九年级专题练习）已知抛物线与x轴交于 A，B两点，则线段AB的长的最小值为______．
3．（2023·河南洛阳·统考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)抛物线的顶点坐标为______（用含m的式子表示）；
(2)已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
①若，求抛物线的解析式；
②若，请直接写出m的取值范围．
【重难点训练】
1．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考二模）函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别为，，且，，当时，该函数的最小值m与b的关系式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）抛物线交x轴于，A两点，将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于另一点；将绕点旋转得到抛物线，交x轴于另一点；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023春·浙江杭州·九年级翠苑中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知函数，，其中a，b是正实数，且，设，的图象与x轴交点个数分别是M，N，则（ ）
A．或或B．或
C．或D．或或
4．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知点，，都在抛物线上，，下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②；③图象与x轴的另一个交点坐标为；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤．其中正确的结论个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（2023春·浙江·九年级专题练习）抛物线与轴交于，两点，和也是抛物线上的点，且，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示），当直线与图象G有4个交点时，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程有一个根是1，若的顶点在第一象限，设，则t的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
9．（2022秋·浙江丽水·九年级期末）二次函数的部分对应值列表如下：
则一元二次方程的解为____________．
10．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线的图象与轴交点的横坐标为和1，则不等式的解集是__________．
11．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期中）如图， 抛物线与轴交于点， 顶点坐标为， 与轴的交点在之间 （包含端点）， 则的取值范围为___________．
12．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为．若直线与图象恰好有3个交点，则___________．
13．（2021·浙江金华·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若该抛物线过原点，则t的值为________．
（2）已知点与点，若该抛物线与线段只有一个交点，则t的范围是__．
14．（2022秋·浙江·九年级期中）对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于2﹣n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝ax2+x﹣1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则a的取值范围是_____．
15．（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，抛物线与y轴交于点C，与直线交于点，B，已知点B与点C关于抛物线的对称轴对称．

(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出满足不等式(x－2)2＋m－kx－b>0的x的取值范围．
16．（2022秋·广东韶关·九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点、是二次函数图像上一对对称点，一次函数的图像过点、．

(1)直接写出点、的坐标；
(2)求二次函数的解析式；
(3)将二次函数向左平移2个单位，并向下平移2个单位，写出得到的图像的解析式；
(4)根据图像求的解集．
17．（2020秋·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数的取值范围．
(2)若方程两实数根为，，且满足，求二次函数的图象与轴的两个交点间的距离．
18．（2023·河南鹤壁·统考一模）如图所示，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A的坐标为，对称轴为直线．

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当直线经过点C时，结合图象直接写出不等式的解集；
(3)已知点，，连接，若抛物线向下平移个单位长度时，与线段只有一个公共点，请直接写出k的取值范围．
19．（2022·广东梅州·一模）已知抛物线与轴有两个不同的交点．
(1)试确定的取值范围．
(2)设该抛物线与轴的交点为，，其中；抛物线与y轴交于点，如图所示．
①求该抛物线的表达式并确定点坐标和点坐标；
②连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值．
20．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，抛物线（）与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B仍然在抛物线L上．

(1)求抛物线L的对称轴，并用含m的代数式表示n；
(2)当抛物线L的顶点在x轴上时，求该抛物线的解析式；
(3)若抛物线与x轴相交于P、Q两点，且，求m的取值范围．
判别式
抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0
或
△＝0
（或）
无解
△＜0
全体实数
无解
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09

0
1
3
3
5
3
…
4
0
1
2
3
4
…
…
5
0
0
1
0
…
0
1
2
3
3
0
0
3
x
…
0
1
3
5
…
y
…
7
7
…