广东省汕头某校2024-2025学年高三上学期第四次月考数学试题

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题中所列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，则满足的集合C的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（ ）
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
3. 在中，，则( )
A. B. C. D.
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
5. 有一个非常有趣的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，……，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在一定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差绝对值近似为（ ）
A. 0.073 B. 0.081 C. 0.122 D. 0.657
6. (5分)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的
弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，从中随机选4个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的左､右顶点分别为是右支上一点，直线与直线的交点分别为，记的外接圆半径分别为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的经验回归方程为．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中（ ）．
A. 相关变量x，y具有正相关关系
B. 新的经验回归方程为
C. 随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小
D. 样本的残差为
10. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在线段
和上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ）
A. 的最小值为2
B. 四面体的体积为
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 存在点，使为等边三角形
11. 已知函数的零点分别为，则（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量的夹角的余弦值为，则________
13. 如图曲线为“笛卡尔叶形线”，其方程为，该曲线的渐近线方程为．若，直线与该曲线在第一象限交于点A，则过点A且与该曲线的渐近线相切的面积最小的圆的方程为______
14. 已知函数的定义域为的图象关于点对称，且，都有．当时，，则函数在区间上有_____个零点.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。）
15. (13分)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.
16. (15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB=AD= ，PA=4，点E、Q分别在棱BC、CP上，且，.
（1）求证：DE⊥平面PAC；
（2）求直线QE与平面PAC所成角的正弦值.
17. (15分)设函数.
（1）求的极值；
（2）若对任意，有恒成立，求最大值.
18. (17分)记椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，直线，的斜率满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆上点处的切线方程是.若点为直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，求面积的最小值.
19. (17分)给定整数，数列，且，为整数.在中去掉一项，并将剩下的数分成项数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为.将中的最小值称为数列的特征值.
（1）已知数列，写出的值及的特征值；
（2）若，当，其中，且时，证明：；
（3）已知数列的特征值为，求的最小值.