广东省汕头市某校2023-2024学年高三下学期三模数学试题

这是一份广东省汕头市某校2023-2024学年高三下学期三模数学试题，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第二项B．第三项C．第四项D．第五项
2．已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
4．已知，若，则实数＝（ ）
A．﹣4B．1C．2D．6
5．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第行黑圈的个数为，则（ ）

A．4B．6C．8D．10
6．若正数，满足：，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
7．若正四面体的棱长为，M为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题出给的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9．将个互不相等的数排成下表：
记，，则下列判断中，一定不成立的是（ ）
（注：分别表示集合最大值和最小值．）
A．B．C．D．
10．下列说法中正确的是（ ）
A．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限
B．已知复数z满足，则
C．是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26
D．若复数z满足若，且，则的最小值为4
11．已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（ ）
A．直线l与圆C相交
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．点C到直线l的距离的最大值是
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数的实部为0，则 ．
13．已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则 .
14．已知点P，Q分别是拋物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知等差数列满足，，公差，且22，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的通项公式为，求数列的前项和．
16．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望；
(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值.
17．如图，在梯形中，已知，，，现将沿翻折成直二面角.
(1)证明：面；
(2)若直线与所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数的单调性（不用证明）；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．
19．已知动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切．
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)设过点且斜率为的直线与（1）中的曲线交于、两点，求；
(3)设点是轴上一定点，求、两点间距离的最小值．
参考答案：
1．C
【分析】根据题意，结合二项展开式的二项式系数的性质，即可求解.
【详解】由的展开式中，项的二项式系数为，
根据二项式系数的性质得，当时，，即第四项的二项式系数最大．
故选：C.
2．C
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性即可得解.
【详解】令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，则，，
所以.
故选：C
3．A
【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出和，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.
【详解】由，得，又点及附近点从左到右是上升的，则，
由，点及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得，
联立解得，，而，于是，，
若将函数的图像向右平移个单位后，得到，
则，而，因此，
所以当时，取得最小值为.
故选：A
4．B
【分析】本题根据向量减法、乘法以及向量垂直运算规则即可求解参数.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，解得．
故选：B．
5．C
【分析】设表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推即可求解.
【详解】由题意可知，设表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数，
则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，
所以，
又因为，所以，
所以，则.
故选：C
6．B
【分析】根据条件等式及均值不等式求解即可.
【详解】因为，为正数，所以，
因为，所以，
所以，所以，当且仅当，时，取等号.
故选：B.
7．A
【分析】首先根据几何性质分析外接球的球心位置，再构造长度的等量关系，即可求解三棱锥的体积.
【详解】如图，
在正四面体中，假设底面，则点H为外心．
在上取一点O，满足，则O为三棱锥的外接球球心．
当取得最小值时，最小，三棱锥的外接球体积最小，此时点O与点H重合．
作，垂足为N，，
为三棱锥的高．
由正四面体的棱长为，易知，
所以，，．
由，设，则，．
由，得，解得．
．．
故选：A
【点睛】关键点点睛：关键是确定外接球的球心位置.
8．B
【分析】设切点点，写出切线方程，将点代入切线方程得，此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.
【详解】在曲线上任取一点， ，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得，
令函数，
则.
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以.
设，
所以，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
的图象如图：
由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.
故选：B
9．ABD
【分析】根据题设条件，结合选项，逐一分析判断各个选项即可得出结果.
【详解】因为，
不妨令，则，
令，则，所以选项A不成立，
又，又，而，所以选项B不成立，
因为，若，则可能成立，所以选项C可能成立，
又，
所以，又，，故，所以选项D不成立，
故选：ABD.
10．BCD
【分析】对于A：求出复数的代数形式即可判断；对于B：求出复数的代数形式，然后求模即可；对于C：求出另一个根，然后利用韦达定理求解；对于D：利用复数的几何意义，转化为圆外的点到圆上的点的距离最小值来求解.
【详解】对于A：，则，其在复平面对应的点为，在第四象限，A错误
对于B：，
所以，B正确.
对于C：因为是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则另一个根为，
则，解得，C正确.
对于D：由得复数在复平面对应的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，
表示点到点的距离，
则最小值为，D正确；
故选：BCD.
11．ACD
【分析】对于A，，联立求定点,根据定点在圆内即可求解；对于B，令求轴交点纵坐标即可得弦长；对于C，根据定点到圆心距离即可求解最值，对于D，根据直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，求直线斜率，进而求出参数，即可得方程．
【详解】由，
则，得，即恒过定点，
由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确；
令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误；
点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确，
要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则，
所以，可得，故直线为，故D正确．
故选：ACD．
12．
【分析】利用复数的实部为0，求出，再利用二倍角公式得出结论．
【详解】复数的实部为0，
．
．
故答案为：．
13．
【分析】根据向量共线可设，进而对比系数列式求解即可.
【详解】因为是两个不共线的向量，，
若与是共线向量，设，则，
则，解得.
故答案为：.
14．
【分析】根据题意，将转化为的形式，寻求定点，使得恒成立，再通过转化求的最小值.
【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，
又由圆，可化为，
可得圆心坐标为，半径，
设定点，满足成立，且，
即恒成立，
其中，代入两边平方可得：
，解得：，，
所以定点满足恒成立，
可得，
如图所示，当且仅当在一条直线上时，
此时取得最小值，
即，
设，满足，
所以，
，
当时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是转化距离，再转化求得点M的坐标.
15．(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程求得，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
【详解】（1）解：等差数列的首项，公差设为，
由22，，成等比数列，则，
即，
即，解得或，
因为，可得，所以.
（2）解：由（1）可得，设数列的前项和为，
则，
，
两式相减得
即，
所以
16．(1)分布列见解析，期望为
(2)
【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，求出的值，由频率分布直方图求出这500名学生中参加公益劳动时间在，，三组内的学生人数分别为50人，40人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列，由分布列即可计算期望；
（2）根据独立重复试验的概率公式得到不等式组，解得的取值范围，即可得解.
【详解】（1）由频率分布直方图得:
解得
这500名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为:人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从参加公益劳动时间在14，16内的学生中抽取:人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
的分布列为:
则其期望为
（2）由（1）可知参加公益劳动时间在的概率
所以
依题意，即，
即，解得
因为为非负整数，所以，
即当最大时，
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点E，连接，利用平面几何知识证明，再利用面面垂直的性质定理证明面即可；
（2）取的中点O，连接，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，利用向量求异面直线与所成角，列方程求出a，进而通过向量法求出平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）取的中点E，连接，
因为，
则，
故四边形为平行四边形，
所以，
则，
故，即，
又平面平面，且平面平面，平面，
故面.
（2）取的中点O，连接，则，
所以，且，则两两互相垂直，
故以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，，，
故，
所以，
因为异面直线PC与AB所成角的余弦值为，
所以，解得，
故，
设面的法向量为，，
，令，可得，
由（1）可知平面的一个法向量为，
，
所以平面与平面的夹角的余弦值.
18．(1)
(2)在，上单调递减.
(3)
【分析】（1）考虑和两种情况，根据奇函数性质计算得到答案.
（2）确定定义域，设，且，计算，得到单调性.
（3）根据单调性确定时的值域，设，换元得到二次函数，计算最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案.
【详解】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为，
函数为奇函数，所以，
即在上恒成立，即，（舍），
当时，，函数的定义域为，
又函数为奇函数，所以，
此时，函数定义域为，
，函数为奇函数，满足，
综上所述：；
（2）在和上单调递减，证明如下：
，定义域为，
设，且，
则
因为，且，所以，
所以，所以在上单调递减，
同理可证，所以在上单调递减；
所以在，上单调递减.
（3）函数在和上单调递减，
且当时，，当时，，
时，，所以当时的值域，
又，
设，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，
即，所以，解得，即.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线的定义即得动圆圆心的轨迹方程；
（2）将直线方程与抛物线方程联立，求出交点坐标，再由计算可得；
（3）根据题设先求出的解析式，可将距离最小值问题转化为二次函数最小值问题，分类讨论即得.
【详解】（1）因为动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切，
即点到定点的距离与到直线的距离相等，且点不在直线上，
所以由抛物线定义知：圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，
抛物线方程形如，又，则，
故圆心的轨迹方程为．
（2）如图，由题知，直线的方程为，
由，解得或，所以，，
所以.

（3）设，则，又，
则，
因二次函数的对称轴为，
故当，即时，，此时；
当，即时，，此时.
所以.
0
1
2
3