广东省广州市荔湾区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题（答案）

这是一份广东省广州市荔湾区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题（答案），共29页。试卷主要包含了选择题，四象限，，解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省广州市荔湾区 2023-2024 学年第一学期九年级期末数学模拟试
题
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
下列图形中，为中心对称图形的是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：B．
抛物线 y=5 x  42  2 的顶点坐标是（ ）
A. 2, 4
B. 4, 2
C. 2, 4
D. 4, 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式，直接写出顶点坐标即可．
【详解】抛物线 y=5 x  42  2 的顶点坐标是： 4, 2 ．故选 B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数 y=a  x  h2  k 的顶点坐标为（h，
k）是解题的关键．
如图，点 A，B，C 在O 上，若AOB  140 ，则ÐACB 的度数为（）
A. 40B. 50C. 70D. 140
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】解： AOB 140 ，
ACB  70 ， 故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
反比例函数 y  k k  0 的图象在直角坐标系中的位置如图，若点 A（- 1，y ）， B（2，y ），
x12
C（3，y ）的在函数 y  k k  0 的图象上，则 y ， y ， y 的大小关系为（）
3x123
y1＜y2＜y3
y2＜y1＜y3
y3＜y2＜y1
y2＜y3＜y1
【答案】D
【解析】
【分析】先根据函数解析式中的比例系数 k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：∵反比例函数 y  k k  0 的图象在二、四象限，
x
∴ k＜0 ，
∴点 A（- 1，y1）在第二象限，
∴ y1＞0 ，
∵ 3＞2＞0 ，
∴ B（2，y2）， C（3，y3）两点在第四象限，
∴ y2＜0，y3＜0 ，
∵函数图象在第四象限内为增函数，
∴ y2＜y3＜0 ．
∴ y1 ， y2 ， y3 的大小关系为 y2＜y3＜y1 ． 故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题关键是掌握反比例函数图象增减性，当 k＜0 时，该
反比例函数的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大．
暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
11
A.B.
23
11
C.D.
69
【答案】B
【解析】
【详解】解：画树状图得：
∵共有 9 种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有 3 种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为： 3  1
93
故选 B
抛物线 y   x  22  2 与 y 轴的交点坐标是（）
A. 2，2
B. 0，6
C. 0，2
D. 0，4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识．根据题意得出 x  0 ，然后求出 y 的值，即可以得到与 y 轴的交点坐标．
【详解】解：令 x  0 ，得 y   x  22  2  0  22  2  6 ，故与 y 轴的交点坐标是： 0，6 ．
故选：B．
如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，点 E 是 BC 延长线上一点，若BAD  114 ，则ÐDCE
的度数是（）
A. 94B. 124C. 104D. 114
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解：BAD  114 ，
BCD  180  BAD  180 114  66 ，
DCE  180  BCD  180  66  114
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质的应用，解决此题的关键是圆内接四边形的对角互补，并且一个外角等于它的内对角．
如图，在 Rt ABC 中， C  90, ABC  30, AC  1cm, 将 Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到
Rt△ABC ，使点C 落在 AB 边上，连接 BB，则 BB的长度是（ ）
C.3cm
A. 1cmB. 2cmD. 2 3cm
【答案】B
【解析】
【分析】由旋转的性质可知， CAB=∠BAB'  60 ，进而得出BAB' 为等边三角形，进而求出
BB' =AB=2 ．
【详解】解：∵ C 
90, ABC  30, AC  1cm,
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，
∴ AB=2 AC=2 cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋转的性质可知： CAB=∠BAB'  60 ，且 AB=AB' ，
∴ BAB' 为等边三角形，
∴ BB' =AB=2 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．
某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长） 24m ，拱高（弧的中点到弦的距离） 4m ，则求拱桥的半径为（）
A. 16mB. 20mC. 24mD. 28m
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示（见详解），设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为O ，可得半径OA  OC  OB ，根据垂径定理，可知Rt AOD ，设OA  OC  OB  r ，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为O ，
∵圆弧形拱桥的跨度（弧所对的弦的长） 24m ，拱高（弧的中点到弦的距离） 4 米，
∴ AB  24m ， CD  4m ，且半径OA  OC  OB ，
设OA  OC  OB  r ，在Rt AOD 中， AD  BD  1 AB  1  24  12 ， OD  r  4 ，
22
∴ r 2  122  (r  4)2 ，解方程得， r  20 ，
∴拱桥的半径为20m ， 故选： B ．
【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆的垂径定理，直角三角形的勾股定理是解题的关键．
如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在反比例函数 y  4  x  0 与 y   2  x  0 的图像上，点 C、
xx
D 在 x 轴上， AB、BD 分别交 y 轴于点 E、F，则阴影部分的面积等于（）
10115
A.B. 2C.D.
363
【答案】D
【解析】
【分析】设 A（a 4 、 a＞0 ，根据题意：利用函数关系式表示出线段OD、OE、OC、OF、EF ，然后
， ）
a
利用三角形的面积公式计算即可．
， ）
aa
∴点 B 的纵坐标为 4 ．
a
∴点 B 的横坐标为 a ．
2
∴ OC  a ．
2
∴ BE  a ．
2
∵ AB ∥CD ，
∴BEF DOF ，
∴ EF  BE
 1 ．
OFOD2
∴ EF  1 OE  4 , OF  2 OE  8 ．
33a33a
∴ S 1 EF  BE  1 

4  a  1 ．

BEF
223a23
S 1  OD  OF  1  a  8  4 ．
ODF
223a3
∴ S S S
 1  4  5 ．

阴影 BEF
故选：D．
ODF
333
【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图像上点的坐标的特征、矩形的性质等知识点，灵活利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．）
若 2 是关于 x 的方程 x2  c  0 的一个根，则c ．
【答案】4
【解析】
【分析】将 x  2 代入方程可得一个关于c 的一元一次方程，解方程即可得． 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解的意义是解题的关键．
【详解】解：由题意，将 x  2 代入方程 x2  c  0 得： 22  c  0 ， 解得c  4 ，
故答案为：4．
点（2，3）绕原点逆时针旋转 90°对应点的坐标是．
【答案】(3, 2)
过点A 作 AB ^x 轴于点 B ，则OB  2, AB  3 ，
因为点 A, B分别是点 A, B 绕原点逆时针旋转90 的对应点， 所以OB  OB  2, AB  AB  3, AB  y 轴，
又因为点 A 位于第二象限， 所以点 A 的坐标为(3, 2) ， 故答案为： (3, 2) ．
【点睛】本题考查了求绕原点逆时针旋转90 的点坐标，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
一口袋中装有 10 个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为 0.4．据此估计：口袋中约有个黄球．
【答案】15
【解析】
【分析】通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为 0.4，即红球占总数的 0.4，列方程求解即可．
10
【详解】解：设有黄球 x 个，由题意得，
10  x
 0.4 ，
解得， x  15 ，
经检验， x  15 是原方程的解， 故答案为：15
【点睛】本题考查频率估计概率，理解频率和概率之间的关系是正确解答的关键．
123
14. 已知 A1, y , B 1, y
, C 4, y
 三点都在二次函数 y   x  32  k 的图象上，则 y , y , y 的大小
123
关系为
【答案】 y1  y2  y3 ## y3  y2  y1
【解析】
【分析】本题考查了根据二次函数的图象和性质，根据解析式可得二次函数的对称轴为直线 x  3 ，二次函数图象开口向下，进而根据点距离对称轴越远，函数值越小，即可求解．
【详解】解：∵ 1  0 ，
∴二次函数图象开口向下，
∵ y   x  32  k ，
∴二次函数的对称轴为直线 x  3 ，
∵抛物线 y   x  32  k 的图象上有三个点 A1, y , B 1, y
, C 4, y  ，
1 3  4, 1 3  2, 4  3  1，
∴ y1  y2  y3 ，
故答案为： y1  y2  y3
123
如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数 y  4 上，第二象限的点 B 在反比例函数 y  k 上，且
xx
OA  OB ， OB  3 ，则 k 的值为．
OA4
【答案】  9
4
【解析】
【分析】作 AC⊥x 轴于点 C，作 BD⊥x 轴于点 D，易证OBD ∽△AOC ，则面积的比等于相似比的平方，然后根据反比例函数中比例系数 k 的几何意义即可求解．
【详解】解：作 AC⊥x 轴于点 C，作 BD⊥x 轴于点 D．
则∠BDO＝∠ACO＝90°， 则∠BOD＋∠OBD＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD＋∠AOC＝90°，
∴∠OBD＝∠AOC，
∴OBD ∽△AOC ，
∴ SOBD
 OB 2
 
 3 29
  ，
S AOC
 OA  4 16
1
又∵S△AOC＝ 2 ×4＝2，
9
∴S△OBD＝ 8 ，
∵第二象限的点 B 在反比例函数 y  k 上
x
∴k＝  9 ．
4
故答案为 9 ．
4
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的比例系数 k 的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键．
已知二次函数的 y＝ax2+bx+c （a≠0）图象如图所示，有下列 4 个结论：①abc＜0；②b＜a+c；
③2a+b＝0；④a+b＜m （am+b） （m≠1 的实数），其中正确的结论有 ．
【答案】①③
【解析】
【分析】①由抛物线开口向下 a＜0，抛物线和 y 轴的正半轴相交，c＞0，  b
2a
＝1＞0，b＞0，②令 x＝
﹣1，时 y＜0，即 a﹣b+c＜0，③  b
2a
＝1，即 2a+b＝0，④把 x＝m 代入函数解析式中表示出对应的函数
值，把 x＝1 代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知 x＝1 时函数值最大，所以 x＝1 对应的函数值大于 x＝m 对应的函数值，化简得到不等式．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，抛物线和 y 轴的正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，
b
∵ ＝1＞0，
2a
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②令 x＝﹣1，时 y＜0，即 a﹣b+c＜0，故②错误；
③∵  b
2a
＝1，
∴2a+b＝0， 故③正确；
④x＝m 对应的函数值为 y＝am2+bm+c，
x＝1 对应的函数值为 y＝a+b+c，又 x＝1 时函数取得最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c，即 a+b＞am2+bm＝m（am+b），故④错误；
故答案为①③．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数、性质，熟练掌握二次函数的图象与系数、性质的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
解下列方程：
（1） x2  4x  5  0 ；
（2）  x  32  2  x  3 ．
【答案】（1） x1  5, x2  1
（2） x1  3, x2  1
【解析】
【分析】本题主要考查利用因式分解法解一元二次方程，
选择因式分解法求解即可．
选择因式分解法先移项，再提取公因式求解即可．
【小问 1 详解】
解：∵ x2  4x  5  0 ，
∴  x  5 x 1  0 ，
∴ x  5  0, x  1  0 ， 解得 x1  5, x2  1．
【小问 2 详解】
∵  x  32  2  x  3 ，
∴  x  3  2  x  3  0 ，
∴ x  3  0, x 1  0 ， 解得 x1  3, x2  1 ．
在平面直角坐标系中， V ABC 的顶点坐标是 A2, 4 ， B 1,0 ， C 3,1 ．试画出V ABC 绕点O 逆时
针旋转 90°的△A1B1C1 ，并写出 A1 、C1 坐标．
【答案】图见解析， A1 4, 2 、C1 1, 3
【解析】
【分析】先画出点 A、B、C 绕点O 逆时针旋转 90°的对应点，再一次连接即可，最后根据图形写出 A1 、C1
坐标即可．
【详解】解：如图：
由图可知： A1 4, 2 、C1 1, 3．
【点睛】本题主要考查了旋转的作图，解题的关键是熟练掌握旋转的作图方法和步骤．
如图，在V ABC 中，已知 AB  AC ，C  50 ，将V ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转一定的角度后得到DBE ，若 DE 恰好经过点 A，设 BE 与 AC 相交于点 F，求AFB 的大小．
【答案】70
【解析】
【分析】根据“等边对等角”与“三角形内角和定理”求得ABC, BAC 大小，然后根据旋转的性质得
BA  BD, D  BAC ， CBE  ABD ，再求出ÐABD ，然后根据三角形的外角性质即可得解．
【详解】解： AB  AC ， C  50 ，
ABC  C  50 ，
BAC  180  50 2  80，
将V ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转一定的角度后得到DBE ，若 DE 恰好经过点 A，
 BA  BD, D  BAC  80 ， CBE  ABD ，
在△ABD 中， BA  BD ，
D  BAD  80 ，
 ABD  180  80 2  20，
CBE  ABD  20 ，
AFB  C  CBE  50  20  70 ；
AFB 的大小为70 ．
【点睛】此题考查了图形旋转的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握并运用相关性质与定理进行逻辑推理是解答此题的关键．
某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了 5 个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）： A ．音乐； B ．体育； C ．美术； D ．阅读； E ．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
①此次调查一共随机抽取了名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角a 度；
若该校有 2800 名学生，估计该校参加 D 组（阅读）的学生人数；
学校计划从 E 组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】（1）①400；②图见解析③54
参加 D 组（阅读）的学生人数为 980 人
1
恰好抽中甲、乙两人的概率为
6
【解析】
【分析】（1）①利用参加体育活动小组的人数除以所占的百分比求出总人数；②先求出参加 A, C 小组的人数，再补全条形图即可；③用360 C 小组人数所占的百分比求出圆心角度数即可；
用总人数乘以参加 D 组在样本中所占的百分比，进行求解即可；
利用列表法求出概率即可．
【小问 1 详解】
解：①100  25%  400 （人）；故答案为： 400 ；
②参加A 组的学生人数为： 400 15%  60 （人）；
参加C 组的学生人数为： 400  60 100 140  40  60 （人）；补全条形图如下：
③ a  360
60
400
 54 ；
故答案为：54；
【小问 2 详解】
解： 2800  140  980 （人）；
400
答：参加 D 组（阅读）的学生人数为 980 人．
甲
乙
丙
丁
甲
甲，乙
甲，丙
甲，丁
乙
乙，甲
乙，丙
乙，丁
丙
丙，甲
丙，乙
丙，丁
丁
丁，甲
丁，乙
丁，丙
【小问 3 详解】解：列表如下：
共有 12 种等可能的结果，其中抽到甲、乙两人的情况有 2 种，
∴ P 
2  1 ；
126
1
答：恰好抽中甲、乙两人的概率为 ．
6
【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从条形图和扇形图中有效的获取有效信息，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．
某商品的进价为每件 20 元，售价为每件 25 元时，每天可卖出 250 件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价 1 元，每天要少卖出 10 件．
求出每天所得的销售利润 w（元）与每件涨价 x（元）之间的函数关系式；
销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？
【答案】（1）w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）（2）销售单价为 35 元时，该商品每天的销售利润最大
【解析】
【分析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；
（2）利用二次函数的性质得出销售单价.
【详解】（1）根据题意得：w =（25+x-20)(250-10x）
即：w =-10x2+200x+1250 或 w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）
（2）∵-10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，
当x   b  200
 10 时，销售利润最大
2a2 10
此时销售单价为：10+25=35（元）
答：销售单价为 35 元时，该商品每天的销售利润最大．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键．
如图，AB＝BC，以 BC 为直径作⊙O，AC 交⊙O 于点 E，过点 E 作 EG⊥AB 于点 F，交 CB 的延长线于点 G．
求证：EG 是⊙O 的切线；
3
若 GF＝2，GB＝4，求⊙O 的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O 的半径为 4
【解析】
【分析】（1）连接 OE，根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：（1）连接 OE．
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C；
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠OEC，
∴OE∥AB，
∵BA⊥GE，
∴OE⊥EG，且 OE 为半径；
∴EG 是⊙O 的切线；
（2）∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
3
∵ GF  2
，GB＝4，
BG2  GF2
∴ BF  2 ，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴ BF  BG ，
OEOG
∴ 2 4，
OE4  OE
∴OE＝4，
即⊙O 的半径为 4．
【点睛】
本题考查了圆和三角形的综合问题，掌握等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
如图，一次函数 y  x  4 的图象与 y 轴交于点 C，与反比例函数 y  k 的图象交于 B 1, m ，
x
An,1 两点．
求 A、B 两点的坐标和反比例函数的表达式；
连接OA 、OB ，求△OAB 的面积；
在 x 轴上找一点 P，使 PA  PB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标．
【答案】（1） B 1，3 、 A3，1 ； y   3
x
（2）4（3）   5 ,0 
2

【解析】
【分析】（1）把 B 1, m ， An,1 两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出 m、n 的值，再把 B 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出 k 的值；
求得 C 的坐标，然后根据 S△ AOB  S△ AOC  S△ BOC 求得即可；
作 B 点关于 x 轴的对称点 B¢，连接 AB 交 x 轴于 P 点，则 B1， 3 ，利用两点之间线段最短可判断此时 PA  PB 的值最小，再利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，然后求出直线与 x 轴的交点坐标即可得到 P 点坐标．
【小问 1 详解】
解：把 B 1, m ， An,1 两点的坐标代入 y  x  4 ， 得 m  1 4  3 ，
n  4  1，解得 n  3 ， 则 B 1，3 、 A3，1 ，
把 B 1，3 代入 y  k ，得k  3 1  3 ，
x
∴反比例函数的表达式为 y   3 ；
x
【小问 2 详解】
解：∵一次函数 y  x  4 的图象与 y 轴交于点 C，
∴ C 0，4 ，
∴ OC  4 ，
∵ B 1，3 、 A3，1 ，
∴ S AOB
 S AOC
S BOC
 1  4  3  1  4 1  4 ； 22
【小问 3 详解】
解：作 B 点关于 x 轴的对称点 B ，连接 AB 交 x 轴于 P 点，则 B1， 3 ，
∵ PA  PB  PB  PA  AB ，
∴此时 PA  PB 的值最小，
设直线 AB的解析式为 y  mx  nm  0 ，
3m  n  1
把点 B1， 3 ， A3，1 的坐标代入 y  mx  n ，得m  n  3 ，

m  2

解得n  5 ，
∴直线 AB的解析式为y  2x  5，
当 y  0 时， 0  2x  5 ，解得： x   5 ，
2
∴点 P 的坐标为  5 ,0  ．
2

【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键，（1）是熟练掌握
待定系数法，（2）利用割补法，（3）是作出点 B 关于 x 轴的对称点 B ，求得对称点的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y  ax2  bx  4 与 x 轴交于点 A2, 0，B 4, 0 ，与 y 轴交于点C，点 D 为 BC 的中点．
求该抛物线的函数表达式；
点 G 是该抛物线对称轴上的动点，若GA  GC 有最小值，求此时点 G 的坐标；
若点 P 是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP 面积的最大值；
【答案】（1） y  1 x2  x  4
2
（2） 1, 3
（3） △BDP 面积的最大值为 2
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
根据对称轴得出当点 G 正好在直线 BC 与抛物线对称轴的交点上时GA  GC 最小，求出直线 BC 的解析式 y  x  4 ，求出抛物线的对称轴为直线 x  1 ，把 x  1 代入 y  x  4 求出点 G 的坐标即可；
连接 PC ，过点 P 作 PQ ∥ y 轴，交 BC 于点 Q，根据点 D 是 BC 的中点，得出 S
 BDP
 1 S 2
 PBC ，
12
当△PBC 面积最大时， △BDP 面积最大，设 P  m, 2 m  m  4  ，则Q m, m  4 ，用 m 表示出

SPBC ，求出其最大值，即可得出答案．
【小问 1 详解】
解：把 A2, 0，B 4, 0 代入抛物线 y  ax2  bx  4 得：

4a  2b  4  0
，
16a  4b  4  0

a  1
解得： 2 ，
b  1
∴抛物线的函数表达式为 y  1 x2  x  4 ；
2
【小问 2 详解】
解：∵点 G 是该抛物线对称轴上的动点，
∴ GA  GB ，
∴ GA  GC  GB  GC ，
∴当点 G 正好在直线 BC 与抛物线对称轴的交点上时GA  GC 最小，
把 x  0 代入 y  1 x2  x  4 得： y  4 ，
2
∴点 C 的坐标为： 0, 4 ，
设直线 BC 的解析式为： y  kx  4k  0 ， 把 B 4, 0 代入得： 0  4k  4 ，
解得： k  1 ，
∴ 直线 BC 的解析式为： y  x  4 ，
抛物线的对称轴为直线
x  
1  1 2  1，
2
把 x  1 代入 y  x  4 得： y  1 4  3 ，
∴点 G 的坐标为： 1, 3 ；
【小问 3 详解】
解：连接 PC ，过点 P 作 PQ ∥ y 轴，交 BC 于点 Q，如图所示：
∵点 D 是 BC 的中点，
∴ S BDP
 1 S 2
 PBC ，
∴当△PBC 面积最大时， △BDP 面积最大，
设 P  m, 1 m2  m  4 0  m  4 ，则Q m, m  4 ，
2

PQ  m  4  1 m2  m  4   1 m2  2m ，
22
S PBC
 1 PQ  4 2
 2   1 m2  2m 
2

 m 2  4m
 m  22  4 ，
∴当 m  2 时，△PBC 面积取最大值 4，
∴△BDP 面积的最大值为 1  4  2 ．
2
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质， 解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合．