新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第10讲 高考难点突破二：圆锥曲线的综合问题（定值问题）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc15645" 高频考点一：椭圆中的定值问题 PAGEREF _Tc15645 \h 1
\l "_Tc10856" 高频考点二：椭圆中的定直线问题 PAGEREF _Tc10856 \h 8
\l "_Tc1827" 高频考点三：双曲线中的定值问题 PAGEREF _Tc1827 \h 16
\l "_Tc31500" 高频考点四：双曲线中的定直线问题 PAGEREF _Tc31500 \h 25
\l "_Tc22838" 高频考点五：抛物线中的定值问题 PAGEREF _Tc22838 \h 32
\l "_Tc18547" 高频考点六：抛物线中的定直线问题 PAGEREF _Tc18547 \h 37
高频考点一：椭圆中的定值问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线，交椭圆于，两点，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）短轴长为2，离心率为．
，，又，
解得，．
∴椭圆C的方程为．
（2）证明：设，则直线l的方程为，

联立 可得．
设，，则，，
∴
．
∴为定值．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，离心率为．过点的直线l与椭圆E交于不同的两点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线和直线的斜率分别为和，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，，，且，解得，．
故椭圆E的方程为．
（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋2，设，．
将y＝kx＋2代入，消去y得；消去x得．于是
，，，．
∴
．
当直线l的斜率不存在时，，，此时．
综上，．
例题3．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知椭圆，且过两点．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)若经过有两条直线，它们的斜率互为倒数，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点，，分别是，的中点试探究：与的面积之比是否为定值？
若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)4
【详解】（1）由题意可得，解得，
则的方程；
（2）
由已知可得直线的斜率存在，且不为，也不为，
设直线，（且），联立可得，
方程的判别式，
设，，，
则，.
所以，，
所以，
因为两直线斜率互为倒数，则，
用代换点坐标中的得.
所以，
所以直线即
所以恒过定点，
设点、到直线的距离分别是，，
则.
与的面积之比是定值，定值为4.
练透核心考点
1．（2023春·贵州六盘水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆：经过点，且离心率．
(1)求的标准方程；
(2)经过原点的直线与椭圆交于，两点，是上任意点，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：是定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意得：
，
解得．
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为直线过原点，设，，．
所以，，
所以
又因为，，
所以
所以是定值．
2．（2023春·河南信阳·高二统考期末）已知椭圆过点，点A为下顶点，且AM的斜率为．

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，过点作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C、D两点，直线AD，AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点．证明：为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）因为椭圆过点，，且AM的斜率为，
所以，
解得，，
所以椭圆E的方程为
（2）证明：由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC：，
设，，
由，得，
，得，
则，，
因为，直线AD的方程为，
令，解得，
则，同理可得，
所以
为定值，
所以为定值，该定值为
3．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知椭圆：，，，是椭圆上三个不同的点，原点为的重心.

(1)求椭圆的离心率；
(2)如果直线和直线的斜率都存在，求证为定值；
(3)试判断的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)为定值，
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，解得，
所以椭圆E的的离心率.
（2）设直线的方程为，
联立，得，
设，，，则，，
因为原点为的重心，所以，，
所以.
（3）因为原点为的重心，所以当直线的斜率不存在时，必有或，
当时，直线的方程为；当时，直线的方程为，
将或者代入椭圆方程，均求得，
又点到直线的距离均为3，因此.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由（2）知，，
，，
因为在椭圆上，代入椭圆方程可得，
化简得，
又
，
到直线AB的距离为：
，
所以为定值.
综上所述，的面积是为定值.
高频考点二：椭圆中的定直线问题
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或．
【详解】（1）由离心率，可得，所以椭圆的方程为：，
将点，代入椭圆的方程可得：，
解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，，，，
联立，整理可得：，
，即，
且，，，
因为四边形为平行四边，与互相平分，所以，
因为在椭圆上，则，
整理可得：，①
又因为直线，，的斜率依次成等比数列，即，
即，
而，
可得，②
由①②可得：，，符合△，
可得，，
所以直线的方程为：或．
例题2．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线与椭圆C交于异于，的，两点，当与轴垂直时，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与直线交于点，证明点在定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定直线为：
【详解】（1）由题知椭圆焦点在轴上，左、右顶点分别为，，
所以，
又过点的直线l与椭圆C交于异于，的M，N两点，
当l与x轴垂直时，，
所以将代入中，求得：
，所以，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）如图所示：
由题知直线与直线的斜率存在，
设，，
由，消去整理得：
，
解得：，
又是异于，的两点，
所以有，
同理可得：，
又，且共线，
所以，
化简得：，
由题知同号，
所以，
联立：，
所以，
将代入点的横坐标，
则，
所以点在定直线上.
例题3．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校考阶段练习）已知椭圆C：的离心率为，且为C上一点．
(1)求的标准方程；
(2)点，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两点，直线不与坐标轴平行且不过坐标原点，点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：点位于定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设椭圆C的焦距为，
由题意得，解得，
∴C的标准方程为．
（2）由题可知，，
设，，
则，设：．
联立消去x得，
∴，，
又，∴：，：，
又∵点P为直线AM'和BN的交点，
∴，
故
，
∴，故：．
联立消去y得，
因此，点Q位于定直线上．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦距为2，且过点．不过原点的直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，方程为，或，或，或．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得，
故椭圆方程为．
（2）解：设直线为，设，，
因为直线，，的斜率依次成等比数列，
所以．
联立直线与椭圆的方程，得，
所以，
，，
，
所以，得．
存在点，使得四边形为平行四边形．理由如下：
四边形为平行四边形，则点，
点在椭圆上，则
因为，
，
所以，即，
当，时，满足，
所以直线的方程为或或或．
2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，
所以,
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以的轨迹的方程为；
（2）设直线的方程为：，，
联立方程得：，
则，
所以，
又直线的方程为：，
又直线的方程为：，
联立方程得：，
把代入上式得：
，
所以当点运动时，点恒在定直线上
3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右焦点为F，，过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)若直线l的斜率为3，求的值．
(2)过点M且与y轴垂直的直线交直线EN于点G，探究：点G是否在某一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点G在定直线上，该直线的方程为x＝4
【详解】（1）设，，依题意，，直线l：y＝3x－6，
联立，消去y整理得：，
，则，，
故．
（2）由题易知直线l不与y轴垂直，设直线MN的方程为x＝my＋2，
联立，消去x整理得：，，则，，得．由，可知点E的坐标为，则直线EN的方程为，①，直线的方程为，②
（根据点G是直线与直线EN的交点，联立方程求解即可）
联立①②可得，，
故点G在定直线上，该直线的方程为x＝4．
高频考点三：双曲线中的定值问题
典型例题
例题1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知双曲线的左、右顶点分别为，，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）．

(1)求的取值范围；
(2)记直线的斜率为，直线的斜率为，那么是定值吗？证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）与圆相切，，，
由，得，
，
，
故的取值范围为.
（2）由已知可得的坐标分别为，
，
，
又因为，所以，
为定值.
例题2．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知为双曲线的左、右焦点，的离心率为为上一点，且.
(1)求的方程；
(2)设点在坐标轴上，直线与交于异于的两点，且点在以线段为直径的圆上，过作，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在点，为定值
【详解】（1）因为双曲线的离心率为，所以，即，
又，所以，则，所以，
因为，所以，
故双曲线的方程为.
（2）因为点满足，
所以点在双曲线的左支上，又因为点在坐标轴上，则，
设，当的斜率存在时，设的方程为，
联立方程，整理得,则，,即,
，因为在以线段为直径的圆上，所以，
则，又，，
则，
所以，
即，整理得，
即，解得或，经检验均满足，
当时，直线的方程为，则直线过点，不合题意，舍去；
当时，直线的方程为，则直线恒过定点，符合题意.
当的斜率不存在时，， ，，
，又，解得（舍去）或，
所以直线方程为，则直线恒过定点.
综上，直线恒过定点.
因为，所以是以为斜边的直角三角形，
即点在以为直径的圆上，则点为该圆的圆心即斜边的中点，
又，，所以，为该圆的半径，即，
故存在点，使得为定值.

例题3．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线垂直.
(1)求的标准方程；
(2)点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可设双曲线C的标准方程为，
的一条渐近线与直线垂直,
由已知得，则，解得,,
故双曲线C的标准方程为.
（2）由双曲线的对称性不妨设M在第一象限，设，，，
若直线MB的斜率存在，则，
则直线MB的方程为.
联立，消去x整理得，
将代入上式整理得.
，，
则，
故，同理可得，故.
若直线MB的斜率不存在，则，此时轴，，
直线MA的方程为.
联立，消去x整理得，解得，
故，此时.
综上所述，为定值.
练透核心考点
1．（2023·河北沧州·统考三模）已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，
又，所以.
将点的坐标代入C的方程得，解得，
所以，所以C的方程为.
（2）依题意可设PQ：，
由，得,

设，，，则.
，，
则，
而，
所以，
所以是定值.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知离心率为2的双曲线的左右顶点分别为，，顶点到渐近线的距离为.过双曲线右焦点的直线与双曲线交于，（异于点，）两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)记，，的面积分别为，，，当时，求直线的方程；
(3)若直线，分别与直线交于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)定值，.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，取一条渐近线为，又，
则由题意可得，
故双曲线的标准方程为；
（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线，
，.
联立，消去整理得，
当时，，
则，.
当与双曲线交于两支时，
，，，不合题意；
当与双曲线交于一支时，
，，
则，得，
故；
（3）直线的方程为，
令，得，则.
直线的方程为，令，得，则.
因为，所以，，
，
故，即，
故为定值.
3．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的左、右焦点分别为，，，焦点到其渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，，且与同向，试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值．
【详解】（1）因为，所以，
因为焦点到渐近线的距离，
所以．
所以双曲线的方程．
（2）由（1）知，依题意直线与轴不重合，故可设，，
由消去整理得：，
设，，则，，
由交左右两支于、两点，有，
即，即，即，则，
，
由于，可设，由，消去整理得：，
设，，则，，
所以，
所以为定值．
高频考点四：双曲线中的定直线问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.
【答案】（1）或；（2）证明见解析.
【详解】解：设直线的方程为，设，，把直线与双曲线
联立方程组，，可得，
则，
（1），，由，可得，
即①，②，
把①式代入②式，可得，解得，，
即直线的方程为或．
（2）直线的方程为，直线的方程为，
直线与的交点为，故，即，
进而得到，又，
故，解得
故点在定直线上．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是线段的中点，求直线的方程；
(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
【答案】(1)
(2)或
(3)直线PM与QN的交点在定直线，理由见解析
【详解】（1）由题意得：，，.
解得，，所以双曲线的标准方程为.
（2）方法1：设，则
依题意有解得，
所以直线的方程为或.
方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
当时
设，，得，.
又因为，所以，，解得.
此时，所以直线MN的方程为或.
（3）方法1：设，，
直线PM的方程为，直线ON的方程，
联立两方程，可得①
结合（2）方法2，可得
代入①得
故.
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
方法2设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：
.
设，，，，由根与系数的关系，得
，.
：，：，联立两方程，可得：
，
解得
所以直线PM与QN的交点在定直线上.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）在①C的渐近线方程为 ②的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答．
已知双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在上，且______．
(1)求的标准方程；
(2)已知的右焦点为，直线与交于另一点，不与直线重合且过的动直线与交于，两点，直线和交于点，证明：在定直线上．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）选①
因为C的渐近线方程为，所以，
故可设C的方程为，
代入点P的坐标得，可得，
故C的标准方程为．
选②．
因为C的离心率为，所以，得，
故可设C的方程为，
代入点P的坐标得，可得，
故C的标准方程为．
（2）由（1）可知F的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q的坐标为．
设点M，N的坐标分别为，直线l的方程为，
联立直线和双曲线方程得，
所以，，
直线PM：，即，
直线QN：，即，
消去y，得，
整理得，
则．
因为，所以A的横坐标为1．
故A在定直线上．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由
【答案】(1)1
(2)是在定直线上，定直线
【详解】（1）由题意得，所以，
设，，，
则，
作差得，
又MN的斜率，，
所以.
（2）∵，∴，，，
直线l：，，
设，，
联立得，
所以，所以，
设直线AN：，BM：，
所以，
所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上．
2．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．
(1)求Γ的方程；
(2)若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．
【答案】(1)；
(2)详见解析.
【详解】（1）由题意得，又为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为，
所以，解得，
所以双曲线Γ的标准方程为；
（2）设直线MN的方程为，
由，可得，则
，，
设，，，，，
所以，
直线：，：，
联立两方程，可得：
，
解得，
当直线与x轴重合时，则，
：，：，联立可得，
综上，直线ME与NF的交点在定直线上.
3．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在定直线方程上
【详解】（1）设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
高频考点五：抛物线中的定值问题
典型例题
例题1．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知抛物线：的焦点为.

(1)求抛物线的标准方程；
(2)抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）抛物线：的焦点为，
，解得，
故抛物线的标准方程为：；
（2）点的横坐标为，即，解得，
故点的坐标为，设，，
由已知设：，即，
代入抛物线的方程得，即，
则，故，
所以，
即，
设：，即，
同理可得，则，
即
直线的斜率，
所以直线的斜率为定值．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知是抛物线：的焦点，以为圆心，为半径的圆与抛物线交于，两点，且.
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)若点为圆优弧上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)抛物线C的方程为，圆F的方程为
(2)是，16
【详解】（1）由题意可得：抛物线C：的焦点为，则圆F的方程为，
联立方程，消去x得，解得或（舍去），
将代入得A，B的坐标分别为，.
故，所以，
所以抛物线C的方程为，圆F的方程为.
（2）是，理由如下：
设，则，
因为抛物线的方程为，则，
所以切线PM的方程为，即，①
同理切线PN的方程为，②
则由①②过，则，
所以直线MN的方程为，
联立方程，消去y得，
则，，
所以
，
又在圆F上，则，即，
故为定值16.
例题3．（2023春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考开学考试）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于两点，设，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)是，0
【详解】（1）解：由题意，设抛物线的方程为：，
所以点的坐标为，点的坐标为，
因为，所以，即，解得.
所以抛物线的方程为：
（2）解：设直线的方程为，
则联立方程得，
所以，，
因为，
所以
.
所以为定值.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意，，直线l的方程为，代入，得．于是，∴焦点弦，解得p＝2．故抛物线E的方程为．
（2）因在E上，∴m＝2．设E在P处的切线方程为，代入，得．由，解得t＝1，∴P处的切线方程为y＝x＋1，从而得．
易知直线MN的斜率存在，设其方程为，设，．
将代入，得．于是，，且，．
∴
．
故为定值2．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.
(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；
(2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值.
【答案】(1)，或
(2)证明见解析
【详解】（1）由抛物线的定义，得，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为，M的坐标为或.
（2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝ty＋1（t≠0），则.将x＝ty＋1代入得.设，，则，.
由，得；由，得.
所以，故是定值1.
3．（2023·全国·高三对口高考）已知是抛物线上一点，经过点的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线分别交直线于点M，N．
(1)求抛物线方程及其焦点坐标；
(2)已知O为原点，求证：为定值．
【答案】(1)，焦点坐标为
(2)证明见解析
【详解】（1）因为是抛物线上一点，
所以，即，所以抛物线方程为：，
其焦点坐标为：.
（2）证明：如图：

设，，，,
设直线l方程为，
直线l方程与抛物线方程联立得
消去，整理得：，恒成立.
则，，
又直线的方程为：，即.
令，得，则，
同理可得，
则，.
所以.
所以，即，为定值.
高频考点六：抛物线中的定直线问题
典型例题
例题1．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知抛物线：，过的直线与相交于，两点，其中为坐标原点.
(1)证明：直线，的斜率之积为定值；
(2)若线段的垂直平分线交轴于，且，求直线的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【详解】（1）设，设直线AB：x=my+1.
联立化简可得：
由韦达定理可得：；
所以，
所以直线OA，OB的斜率之积为定值.
（2）设线段AB的中点N，设.
则，解得，
所以，即；
所以；
又线段AB的中点N，可得，所以.
因为，所以，所以.
所以，解得；
所以直线AB的方程为：或.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，，，，分别垂直于坐标轴，垂足依次为，，，．
(1)若矩形和矩形面积分别为，，求的值；
(2)求证：直线与直线交点在定直线上．
【答案】(1)4；
(2)证明见解析.
【详解】（1）抛物线的焦点，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为：，
由消去x并整理得，，设点，，则，，
矩形ANOM和矩形BDOC面积分别为，，
所以．
（2）由（1）得，，，，
于是得直线MN的方程为：，直线CD的方程为：，
由消去y并整理得：，而，
因此有，即直线MN与直线CD交点在直线上.
所以线MN与直线CD交点在定直线上.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：（）与圆：相交于,两点，且点的横坐标为.是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点，.
（1）求抛物线的方程.
（2）过点，作抛物线的切线，，是，的交点，求证：点在定直线上.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）点A的横坐标为，所以点A的坐标为，
代入解得，所以抛物线的方程为；
（2）抛物线，则，设,，
所以切线PM的方程为 ，即,
同理切线PN的方程为，
联立解得点，
设直线MN的方程为，代入，
得，所以，
所以点P在上，结论得证.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，圆，直线与抛物线和圆同时相切.
（1）求和的值；
（2）若点的坐标为，过点且斜率为的直线与抛物线分别相交于、两点（点在点的右边），过点的直线与抛物线分别相交于、两点，直线与不重合，直线与直线相交于点，求证：点在定直线上.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【详解】（1）圆的标准方程为，可知圆的圆心为，半径为，
由直线与圆相切，可得，解得或（舍去），
联立方程，消去后整理为，
因为直线与抛物线相切，所以，得，
故，.
（2）证明：直线的方程为，
联立方程，解得或，
则点的坐标为，点的坐标为，
设直线的方程为，
点的坐标为，点的坐标为
联立方程，消去整理为，
有，，
，
由得或，
直线的斜率为，
直线的斜率为，
直线的方程为，化为，
直线的方程为，化为，
联立直线、的方程消去后得，
得，因为直线与不重合，所以，所以，
故点在定直线上.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点，长为的线段PQ的两端点在轨迹C上滑动．当轴是的角平分线时，求直线PQ的方程．
【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）由题意，动圆过定点，
设圆心，线段MN的中点为E，连接，则，
则由圆的性质得，所以，
所以，整理得．
当时，也满足上式，
所以动圆的圆心的轨迹方程为．
（2）设，，由题意可知，．
（ⅰ）当PQ与x轴不垂直时，，，
由x轴平分，得，
所以，所以，整理得，
设直线，代入C的方程得：．
则，所以，解得，
由于，解得，
因此直线PQ的方程为．
（ⅱ）当PQ与x轴垂直时，，可得直线PQ的方程为．
综上，直线PQ的方程为或．
3．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）当过点的动直线与抛物线相交于不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上.
【答案】（1）（2）总在定直线上.
【详解】（1）过三点的圆的圆心为,则圆心在的中垂线上，
则，又点到抛物线的准线的距离为
所以，则
所以抛物线的方程为.
（2）设，记.
则，，
联立可得，
又，代入得，
所以总在定直线上.