新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第十讲 第二章 函数与基本初等函数 章节总结（高频精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13790" 第一部分：典型例题讲解 PAGEREF _Tc13790 \h 3
\l "_Tc16839" 题型一：函数的定义域 PAGEREF _Tc16839 \h 3
\l "_Tc28842" 角度1：具体函数的定义域 PAGEREF _Tc28842 \h 3
\l "_Tc20952" 角度2：抽象函数的定义域 PAGEREF _Tc20952 \h 4
\l "_Tc29627" 角度3：已知定义域求参数 PAGEREF _Tc29627 \h 5
\l "_Tc20737" 题型二：函数的值域 PAGEREF _Tc20737 \h 6
\l "_Tc30417" 角度1：单调性法求值域 PAGEREF _Tc30417 \h 6
\l "_Tc31014" 角度2：分离常数法 PAGEREF _Tc31014 \h 8
\l "_Tc20679" 角度3：指数型函数（对数型函数）值域或最值 PAGEREF _Tc20679 \h 9
\l "_Tc16440" 角度4：分类讨论法解决二次函数中的值域（最值问题） PAGEREF _Tc16440 \h 11
\l "_Tc6234" 角度5：利用基本不等式求值域（最值） PAGEREF _Tc6234 \h 12
\l "_Tc16451" 题型三：求函数的解析式 PAGEREF _Tc16451 \h 14
\l "_Tc3207" 题型四：分段函数问题 PAGEREF _Tc3207 \h 16
\l "_Tc7408" 角度1：分段函数求值 PAGEREF _Tc7408 \h 16
\l "_Tc2183" 角度2：分段函数的值域或最值 PAGEREF _Tc2183 \h 17
\l "_Tc14842" 角度3：分段函数的单调性与参数 PAGEREF _Tc14842 \h 20
\l "_Tc10476" 题型五：函数的单调性 PAGEREF _Tc10476 \h 22
\l "_Tc29287" 角度1：根据函数的单调性求参数 PAGEREF _Tc29287 \h 22
\l "_Tc12913" 角度2：根据单调性解不等式 PAGEREF _Tc12913 \h 25
\l "_Tc16015" 角度3：比较大小 PAGEREF _Tc16015 \h 27
\l "_Tc4216" 角度4：复合函数单调性 PAGEREF _Tc4216 \h 28
\l "_Tc26407" 题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用 PAGEREF _Tc26407 \h 30
\l "_Tc12364" 角度1：利用函数的奇偶性求参数 PAGEREF _Tc12364 \h 30
\l "_Tc5620" 角度2：利用函数的奇偶性解抽象函数不等式 PAGEREF _Tc5620 \h 31
\l "_Tc26530" 角度3：构造奇偶函数求值 PAGEREF _Tc26530 \h 33
\l "_Tc22743" 角度4：奇偶性与周期性综合问题 PAGEREF _Tc22743 \h 35
\l "_Tc18412" 角度5：单调性与奇偶性综合问题 PAGEREF _Tc18412 \h 37
\l "_Tc4671" 角度6：对称性，奇偶性，周期性综合问题 PAGEREF _Tc4671 \h 40
\l "_Tc3452" 角度7：利用周期性求值 PAGEREF _Tc3452 \h 44
\l "_Tc27222" 题型七：不等式中的恒成立问题 PAGEREF _Tc27222 \h 45
\l "_Tc4232" 题型八：不等式中的能成立问题 PAGEREF _Tc4232 \h 48
\l "_Tc11868" 题型九：函数的图象 PAGEREF _Tc11868 \h 50
\l "_Tc3987" 角度1：利用函数解析式选择图象 PAGEREF _Tc3987 \h 50
\l "_Tc14347" 角度2：利用动点研究函数图象 PAGEREF _Tc14347 \h 53
\l "_Tc9663" 角度3：利用函数图象解决不等式问题 PAGEREF _Tc9663 \h 58
\l "_Tc1279" 角度4：利用函数图象解决方程的根与交点问题 PAGEREF _Tc1279 \h 61
\l "_Tc5398" 角度5：指对函数图象相结合 PAGEREF _Tc5398 \h 64
\l "_Tc9846" 题型十：指数函数，对数函数，幂函数 PAGEREF _Tc9846 \h 67
\l "_Tc3032" 角度1：定义域问题 PAGEREF _Tc3032 \h 67
\l "_Tc13277" 角度2：值域问题 PAGEREF _Tc13277 \h 69
\l "_Tc1339" 角度3：过定点问题 PAGEREF _Tc1339 \h 71
\l "_Tc32523" 角度4：单调性问题 PAGEREF _Tc32523 \h 73
\l "_Tc10574" 角度5：指对幂综合问题 PAGEREF _Tc10574 \h 76
\l "_Tc32540" 题型十一：函数中的零点问题 PAGEREF _Tc32540 \h 80
\l "_Tc27871" 角度1：零点个数问题 PAGEREF _Tc27871 \h 80
\l "_Tc20289" 角度2：零点所在区间问题 PAGEREF _Tc20289 \h 83
\l "_Tc31116" 角度3：零点中的参数问题 PAGEREF _Tc31116 \h 85
\l "_Tc18696" 角度4：零点的代数和（积）问题 PAGEREF _Tc18696 \h 88
\l "_Tc26477" 题型十二：函数模型的应用 PAGEREF _Tc26477 \h 92
\l "_Tc15846" 第二部分：新定义（文化）问题 PAGEREF _Tc15846 \h 98
\l "_Tc23797" 第三部分：高考新题型 PAGEREF _Tc23797 \h 101
\l "_Tc12807" 角度1：开放性试题 PAGEREF _Tc12807 \h 101
\l "_Tc3840" 角度2：劣够性试题 PAGEREF _Tc3840 \h 103
\l "_Tc19125" 第四部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc19125 \h 106
\l "_Tc10791" 角度1：函数与方程思想 PAGEREF _Tc10791 \h 106
\l "_Tc29903" 角度2：分类讨论思想 PAGEREF _Tc29903 \h 108
\l "_Tc14284" 角度3：数形结合思想 PAGEREF _Tc14284 \h 112
\l "_Tc11306" 角度4：转化与化归思想 PAGEREF _Tc11306 \h 114
\l "_Tc25729" 角度5：极限思想 PAGEREF _Tc25729 \h 117
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第一部分：典型例题讲解
题型一：函数的定义域
角度1：具体函数的定义域
1．（2023春·江苏南京·高三江苏省南京市第十二中学校考阶段练习）设全集U＝R，若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由集合的意义，可得M为函数的值域，
令 ，
由二次函数的性质可得 ，易得 ，
进而可得0≤≤2；
在中，有1≤y≤4；
即M＝{y|1≤y≤4}，则或y＞4}；
集合N为函数的定义域，则，
解可得 ，
即 ；
则 ；
故选：D．
2．（2023秋·北京西城·高一统考期末）函数的定义域是_____________．
【答案】
【详解】由题意可知：，
所以该函数的定义域为，
故答案为：
3．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数的定义域为______；
【答案】
【详解】因为，所以，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
角度2：抽象函数的定义域
1．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）若函数的定义域是[1，2023]，则函数的定义域是（ ）
A．[0，2022]B．
C．（1，2024]D．
【答案】D
【详解】因的定义域是[1，2023]，
则由可得：，
则定义域为：.
故选：D
2．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）设函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】要使有意义，
只需，即，
解得或，
则函数的定义域为.
故选：B.
角度3：已知定义域求参数
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数的取值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】ABC
【详解】因函数的定义域为，于是得，不等式成立，
当时，恒成立，则，
当时，必有，解得，
综上得：，显然，选项A，B，C都满足，选项D不满足.
故选：ABC
2．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．
【答案】
【详解】解：∵函数的定义域是R，
∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，
即ax＞对于任意实数x恒成立，
当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；
当x＞0时，则a＞＝，
∵x＞0，∴，则≥，
则≤，可得a＞；
当x＜0时，则a＜，
∵x＜0，∴，则＞1，
则＞1，可得a≤1．
综上可得，实数a的取值范围是．
故答案为：．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【详解】解：因为函数的定义域是.
所以不等式恒成立．
所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；
当时，则有，即，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为:
4．（2023·高三课时练习）设函数的定义域为A，函数的定义域为B，若，求实数a的取值范围．
【答案】．
【详解】由，解得，所以．
由，得．因为函数的定义域为非空集合，所以，则．
根据题意，或，即实数a的取值范围为．
题型二：函数的值域
角度1：单调性法求值域
1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知函数且的图象过点，若当时，的值域中正整数的个数超过2023个，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【详解】依题意，；
易知在上单调递增，
当时，，此时正整数的个数是1027，
当时，，此时正整数的个数是2051，
故的最小值为11，
故选：C.
2．（2022秋·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）函数，若时，函数值均小于0，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】 ，
当 时， ， 是减函数， ；
当 时， ，不符合题意；
故答案为： .
3．（2023·高三课时练习）设，，求的最小值．
【答案】
【详解】令，则，于是,
当时,在上单调递增，
因此，即．
当时，在上单调递增，
因此，即．
当时，,
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增,
①当，即时，在上单调递增，
因此，即．
②当，即时，根据的单调性得，
即，
综上所述，.
角度2：分离常数法
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________
【答案】
【详解】，
，，，
即的值域为.
故答案为：.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
【答案】
【详解】由，
又，则，则，所以，
故函数的值域为．
故答案为：．
3．（2022秋·广西桂林·高一校考期中）函数的值域为________.
【答案】
【详解】因为函数，
又因为，所以，则，
所以，则有，
所以函数的值域为，
故答案为：.
角度3：指数型函数（对数型函数）值域或最值
1．（2022秋·山东德州·高一校考阶段练习）函数，的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：令，，则在上单调递增，
又，，所以，
又在上单调递增，
所以，即.
故选：A
2．（2022秋·海南海口·高一海口一中校考阶段练习）函数时，的值域为__________．
【答案】
【详解】，令，则，，因为在上单调递减，上单调递增，，，所以的值域为，即的值域为.
故答案为：.
3．（2021秋·重庆璧山·高一重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知指数函数经过点.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数，的值域.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意（负根舍去），
，
在上递增，在区间上递减，在区间上递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递减区间是.
（2），
.
4．（2022秋·辽宁辽阳·高一校联考期末）已知函数．
(1)求的定义域;
(2)求的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为,
所以,解得,
所以的定义域为．
（2）因为
,
由(1)知的定义域为,
所以,,，
因为是增函数，所以，
故的值域为．
5．（2023秋·江苏镇江·高一统考期末）已知函数，则的值域为________﹔函数图象的对称中心为_________.
【答案】
【详解】因为，则，所以，，
所以，函数的值域为，
因为，则，
因此，函数图象的对称中心为.
故答案为：；.
角度4：分类讨论法解决二次函数中的值域（最值问题）
1．（2022秋·新疆克拉玛依·高一克拉玛依市高级中学校考期中）已知函数，
(1)当时，解不等式；
(2)若时，求函数的最小值和最大值.
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）当时，即为，解得：，
故不等式解集为；
（2）因为的图像开口向下且对称轴为，
①当即时，在上单调递减，
故，；
②当时，即时，根据函数图像得：在上
；
③当时，即时，根据函数图像得：在上
；
④当时，即时，在上单调递增，
.
综上，，
2．（2022秋·福建泉州·高一石狮市第一中学校考期中）已知二次函数满足，且
(1)求函数的解析式.
(2)当时，求函数的最大值（用表示）
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，所以，，
即，
所以，解得 ，所以.
（2），开口向下，在上单调递增，在 单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以；
当时，在上单调递减，
所以；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以.
综上所述：
角度5：利用基本不等式求值域（最值）
1．（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）命题：，使得成立.若是假命题，则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为命题：，使得成立，
所以命题的否定为：，成立，
而是假命题，故命题的否定为真命题.
所以在上恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即.
故选：A
2．（2023秋·吉林延边·高一统考期末）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．23B．26C．22D．25
【答案】D
【详解】由题意得，，，
故，
当且仅当，结合，即时取等号，
故的最小值是25，
故选：D
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知，且，则的最小值为__________.
【答案】6
【详解】因为，，
所以，
令，
则，
其中，当且仅当，即时，等号成立，
故，此时，，
故答案为：6
4．（2023秋·广东河源·高一龙川县第一中学统考期末）求函数的值域．
【答案】
【详解】，
若，则，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
若，则，
∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的值域为．
题型三：求函数的解析式
1．（2023秋·云南楚雄·高一统考期末）设是定义域为R的单调函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，则，
因为是定义域为R的单调函数，
所以t为常数，即，
所以，解得，
所以，
故.
故选：B
2．（2023春·河南开封·高一校考阶段练习）已知函数满足，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【详解】分别令，，则，解得.
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由可得，
所以由解得，
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．
(1)已知，则的解析式为__________．
(2)已知满足，求的解析式．
(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）方法一（换元法）：令，则，．
所以，
所以函数的解析式为．
方法二（配凑法）：．
因为，所以函数的解析式为．
（2）将代入，得，
因此，解得．
（3）令，得，
所以，即．
题型四：分段函数问题
角度1：分段函数求值
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题可知，当时，，
所以，
因为，
故选:C.
2．（2023秋·福建三明·高一统考期末）若函数为奇函数，则（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】C
【详解】函数为奇函数，设，则，∴，
∴，.
故选：C.
3．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）函数，则______．
【答案】
【详解】因为，
故，
故答案为：
4．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知，则______.
【答案】
【详解】，
．
故答案为：．
角度2：分段函数的值域或最值
1．（2023·河北·高二统考学业考试）已知函数，则的最小值是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【详解】当时，函数在上单调递减，
所以当时，函数有最小值为，
当时，函数在上单调递增，
所以，
综上，当时，函数有最小值为1.
故选：C
2．（2023秋·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考期末）已知，设，则函数的最小值是（ ）
A．－2B．－1C．2D．3
【答案】A
【详解】由，即，解得或；
由，即，解得.
由题意，
则在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
故函数的最小值是．
故选：A．
3．（2023秋·上海松江·高一校考期末）设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】因为，
当时函数单调递减且，
由是函数的最大值，
所以的最大值为，
当时，
可得在时函数单调递减，在单调递增，
若，，则，不符题意；
若，，则，即，
综上可得的范围是．
故答案为：
4．（2023·高一课时练习）若函数的表达式为，则函数的值域是______．
【答案】
【详解】当时，，当时，，
所以函数的定义域是.
故答案为：
5．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【详解】当时，函数不存在最大值，故，
当时，在区间上单调递增，
所以此时；
当时，在区间上单调递减，所以此时，
若函数存在最大值，则，解得，又，
所以的取值范围为
故答案为：
6．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考模拟预测）已知函数，若，则的值域是_________；若的值域是，则参数的取值范围是_________.
【答案】 ； .
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
故的值域是；
若的值域是，
因为时，，
因为时，，故需满足 ，
又因为需满足 ，则，故参数的取值范围是，即，
故答案为：;.
角度3：分段函数的单调性与参数
1．（2023秋·云南保山·高一统考期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意解得，
所以实数的取值范围是，
故选：C.
2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知函数，且满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得：是R上的减函数，
则，解得，
故实数a的取值范围是.
故选：C.
3．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由于函数满足对任意，都有成立，
所以在上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
4．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）若,且（，且）在上单调递增，则a的值可能是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】BC
【详解】因为在上单调递增，
所以，解得，
则BC符合取值范围.
故选：BC.
5．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是_________．
【答案】
【详解】因为函数是上的增函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
6．（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）已知函数在上严格增，则实数的取值范围是________.
【答案】
【详解】因为函数在上严格增，
所以，解得，即实数的取值范围是，
故答案为：
题型五：函数的单调性
角度1：根据函数的单调性求参数
1．（2023·全国·高三专题练习）使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由函数在区间上单调递减，
得在区间上单调递减，
所以，解得.
结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是.
故选：C.
2．（2023秋·广东广州·高一统考期末）函数在上不单调，则实数k的取值范围为___________．
【答案】
【详解】解：根据题意，二次函数的对称轴为，
函数在上不单调，
，即，则实数k的取值范围为.
故答案为：．
3．（2023·高一课时练习）若奇函数在上是严格减函数，则的取值范围是______．（结果用区间表示）
【答案】
【详解】因为是上的奇函数，
所以，即，
所以；
又因为在上是减函数，
所以，解得；
所以.
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】因为在与上单调递减，
而在上单调递增，
所以，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为2，且在上单调递增，则a的范围是______，的最小值为______.
【答案】 2
【详解】注意到是减函数，
∴在上单调递减，
而的递减区间是，
∴，.
∵的最大值为2，
∴的最小值为，
即，，
令，，，
∴在处取得最小值2.
故答案为：，2
角度2：根据单调性解不等式
1．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞,0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】函数的图象关于y轴对称，为偶函数，，
∴不等式可变为，
偶函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
∴，解得.
故选：B.
2．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为为偶函数，所以的图像关于y轴对称，则的图像关于直线对称．
因为在上单调递增，所以在上单调递减．
因为，所以，解得．
故选：A.
3．（2023·北京平谷·统考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由题意可得函数的定义域为，
因为与在均为单调递增函数，
所以在为单调递增函数，
因为，
所以的解集为.
故选：C.
4．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】函数是定义域为的减函数，因，
故，解得，
故选：C
5．（2023秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知函数是在定义域上的严格减函数，且为奇函数.若，则不等式的解集是______.
【答案】
【详解】因为是在定义域上的奇函数，，
所以，
故，
因为是在定义域上的严格减函数，
所以，解得：，
故答案为：
6．（2023秋·河北承德·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【详解】对于函数，则定义域为，
且，所以是偶函数，
当时，又函数、、在上单调递增，
所以在上单调递增，则在上单调递减.
又，所以不等式，即，
即，即，所以，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：
角度3：比较大小
1．（2023秋·江苏镇江·高一统考期末）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】，，，所以，
故选：B
2．（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由指数函数的单调性可知：；
由对数函数的单调性可知：；
由余弦函数的单调性可知：，
故选：.
3．（多选）（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）已知,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】解:因为在单调递增,
所以,即,
因为在单调递增,
所以,,
综上:,故选项B错误,选项A、C正确;
因为,且,
即,所以,故选项D正确.
故选:ACD
角度4：复合函数单调性
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在函数中，由得或，则的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，
于是得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是___________
【答案】[3，）
【详解】由题意，，而函数的对称轴为：，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数的增区间为：，又因为函数在上单调递增，所以.
故答案为：.
3．（2023·高三课时练习）函数的单调递减区间为________．
【答案】
【详解】因为复合函数是由与复合而得，
而在上单调递减，
所以的单调减区间即为的单调增区间，
因为开口向下，对称轴为，
所以的单调增区间.
则答案为：.
4．（2023秋·山西大同·高一大同一中校考期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______．
【答案】
【详解】解：设，则，
因为在上单调递增，
所以由复合函数的单调性可得，函数在区间上单调递增且函数值恒大于0，
所以，解得,
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
5．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【详解】在上单调递增，
在单调递减，
则，即，
同时 需满足，即，
解得，
综上可知
故答案为：
题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用
角度1：利用函数的奇偶性求参数
1．（2023·全国·哈尔滨三中校联考一模）若为奇函数，则实数______.
【答案】
【详解】若为奇函数，则，
故，解得.
故答案为：1.
2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若函数是偶函数，则__________．
【答案】1
【详解】∵为偶函数，定义域为，
∴对任意的实数都有，
即，
∴，
由题意得上式对任意的实数恒成立，
∴，解得,所以
故答案为：1
3．（2023春·北京·高一校考开学考试）已知函数，且函数是偶函数，求实数___________
【答案】4
【详解】因为函数，且函数是偶函数，
所以所以图像关于对称，即，
即恒成立，化简为
当时，，不可能恒成立，舍去；
当时，恒成立，
，解得.
故答案为：4.
角度2：利用函数的奇偶性解抽象函数不等式
1．（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知定义在上的函数，满足，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题知的图象关于点中心对称，所以关于中心对称，因为定义域为，所以为奇函数，
记，当时，，
即，所以在上单调递减，
因为，所以在上为偶函数，
所以在上单调递增，因为，，
是在上为偶函数，且在上单调递增，所以当，单调递减，，而，所以，当，单调递减，，而，所以，因为为奇函数，所以的解集为.
故选：C.
2．（2021秋·河南南阳·高一校考阶段练习）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为定义域为R的奇函数在内单调递减，且, ，
所以在上也是单调递减，且，
所以当 时， ，当时，，
所以由可得 或 或 ,
解得或 ，
所以满足的x的取值范围是，
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数是定义在R上的偶函数，记，且函数在区间上是增函数，则不等式的解集为_____
【答案】
【详解】解：因为，且是定义在上的偶函数，
则，
∴函数为偶函数，
原不等式可化为，
即，
又因为函数在区间上是增函数，则，解之得：或，
故答案为：
4．（2023春·浙江·高三开学考试）已知定义在上可导函数，对于任意的实数x都有成立，且当时，都有成立，若，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【详解】令，
则易得，
即为偶函数，
当时，有，
即函数在上单调递减，故在上单调递增，
由
得，
即，
由为偶函数得，
又在上单调递增，所以，
故答案为：．
5．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）已知是偶函数，则________，的最小值为________．
【答案】
【详解】因为函数为偶函数，则，
即，
所以，
由的任意性可得，故，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即，
所以，即的最小值为.
故答案为：；.
角度3：构造奇偶函数求值
1．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市第十七中学校联考期末）设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，
可令，则，
为定义在上的奇函数，，
则，.
故选：D.
2．（2022秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中），若，则__________.
【答案】4
【详解】令，则，为奇函数，
由，解得，所以.
所以.
故答案为：4.
3．（2023·高一课时练习）已知函数，其中，、、，且，则______．
【答案】
【详解】设，则，
的定义域为，
，所以为奇函数，
所以，，所以，
所以，
故答案为: .
4．（2023秋·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）函数，（a，b为常实数），若，则______．
【答案】3
【详解】令，则，，
因为，所以，
因为，
所以为奇函数，
所以，
所以，
故答案为：3
5．（2023秋·河北保定·高一校考期末）已知关于x的函数在上的最大值为M，最小值N，且，则实数t的值是__________．
【答案】
【详解】解：
又
故令
则，定义域关于原点对称
且
所以为奇函数
（奇函数的性质）
故解得：
故答案为：
角度4：奇偶性与周期性综合问题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）定义在上的奇函数满足．当时，，则（ ）
A．B．4C．14D．0
【答案】A
【详解】因为，令，则，
所以，即，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，则，
故的周期是4，
因为当时，，
所以.
故选：A.
2．（2023·河南·统考模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为是奇函数，所以①，且关于点对称，
因为是偶函数，所以②，且关于对称，
所以的周期为，
令，由①得，由②得
又，所以，，
令，由①得，
所以，，
所以，又，
所以.
故选：D
3．（多选）（2023·吉林·东北师大附中校考二模）定义在R上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．时，
C．D．
【答案】AC
【详解】因为函数的，所以，则，故函数的周期为，所以，故A正确；
又当时，，则当时，，，故B不正确；
由周期可得，又函数是R上的奇函数，
所以，即，所以，故C正确；
当时，，所以，又因为，所以，，
则，所以，故D不正确.
故选：AC.
4．（2023·山东泰安·统考一模）设是定义域为R的偶函数，且.若，则的值是___________.
【答案】##0.25
【详解】因为是定义域为的偶函数，所以；
又，所以，
所以是周期为2的函数，则.
故答案为：.
角度5：单调性与奇偶性综合问题
1．（2022秋·四川·高一四川省平昌中学校考阶段练习）定义在R上的奇函数对任意都有，若，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题设对任意都有，
所以在上递减，又为R上的奇函数，
所以，
故在R上也为奇函数，则在上递减，
又，则，故，
综上，有.
故选：B
2．（多选）（2023春·浙江杭州·高一校联考阶段练习）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的为（ ）
A．可能是偶函数B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】对于选项A，当时，符合题意，所以A正确；
对于选项B，由是奇函数，则，
所以①，
是偶函数，同理易知：②，
由②得，联立①式得③，
所以④，
由③④得，即，
所以，选项B错；
对于选项C，由知，当得，
由知，当得，
所以，
所以，
由已知在上单调递增，且，所以，
所以，所以C正确；
对于选项D，由及
得，
所以，
因为，即，所以选项D正确，
故选：ACD．
3．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对于任意，都有，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：因为是奇函数，是偶函数，
所以，
又，则，
两式相加可得，
若对于任意，都有，
可变形为，
令，则函数在上递增，
当时，在上递增，符合题意，
当时，则函数为二次函数，对称轴为，
因为函数在上递增，
所以或，解得或，
综上所述，.
故答案为：.
4．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）已知是定义在上的奇函数，且对任意且，都有，若，则不等式的解集为________.
【答案】
【详解】解：已知是定义在上的奇函数，则，且
又对任意且，都有，不妨设，则，所以，即，
所以函数在上单调递减，则函数在上单调递减，
又，所以，
则函数的大致图象如下图：
根据图象可得不等式的解集为：.
故答案为：.
5．（2022秋·云南玉溪·高二统考期末）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为___________.
【答案】
【详解】∵是偶函数，
∴，即：
∴关于对称.
∵当时，，
∴在上单调递增，
又∵，
∴，即：，
∴，即：，解得：或.
故答案为：或.
角度6：对称性，奇偶性，周期性综合问题
1．（辽宁省抚顺市2023届普通高中应届毕业生高考模拟数学试题）定义在R上的函数同时满足：①，②，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数为奇函数B．的图象关于直线对称
C．D．函数的周期
【答案】C
【详解】定义在R上的函数，由得：，即函数为奇函数，A正确；
令，则，
因此函数，即的图象关于直线对称，B正确；
由得：，由得：，
于是，即，所以函数的周期，D正确；
由知，，显然由给定条件的值不确定，又，
因此不确定，D错误.
故选：D
2．（2023·云南昆明·统考一模）已知函数，的定义域均为，为偶函数且，，则 （ ）
A．21B．22C．D．
【答案】C
【详解】∵为偶函数且，则，
故关于点对称，
又∵，则，
则是以周期为4 的周期函数，故关于点对称，
∴，
则，
又∵，
则，
故.
故选：C.
3．（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）设函数定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列四个结论错误个数是（ ）
（1）
（2）为奇函数
（3）在上为减函数
（4）的一个周期为8
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】由题设，，则关于对称，
所以，即，
则，即，
由，则关于对称，
所以，即，
综上，，则，
故，即易知的周期为8，所以(4)正确；
，所以(1)正确；
由，而为奇函数，故为奇函数，所以(2)正确；
由时，递增，则时，递增，所以(3)错误．
故选：A．
4．（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）已知函数是定义在R上的奇函数，，且当时，，则下列关于函数的判断中，其中正确的判断是（ ）．
A．函数的最小正周期为4
B．
C．函数在上单调递增
D．不等式的解集为．
【答案】ABD
【详解】由得，于是，
所以函数的最小正周期为4，A正确；
，B正确；
在上递增，由是奇函数得在上递增，即在上递增，
又图象关于直线对称（∵），因此在上递减，
而是周期为4的周期函数，因此在上递增，C错误；
由选项C的讨论，可得到不等式的解集为，D正确．
故选：ABD．
5．（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足是上的偶函数，且，则__________.
【答案】##0.5
【详解】由题意，，
在中，是奇函数，是偶函数，
∴，，，
∴，
∴，则，
∴，即，
∴函数是以4为周期的周期函数，，
∴，，，
∴.故答案为：.
6．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：①；②在上是增函数；③的图象关于直线对称；④函数在处取得最小值，其中判断正确的序号是______________．
【答案】①④
【详解】由得，
又是偶函数，所以，所以，
则，，
所以是以4为周期的周期函数，
令得解得，
所以，①正确；
由可得的图象关于点对称，③错误；
又为偶函数，可知的图象关于点对称，
因为在区间上单调递增，所以在上单调递增，
由偶函数的对称性得在上单调递减，②错误；
因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，在处取得最小值，
又是以4为周期的周期函数，所以在处取得最小值，④正确；
故答案为：①④
角度7：利用周期性求值
1．（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）设是定义域为的奇函数，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为是定义域为的奇函数，
所以由，
函数该函数的周期为，
，
故选：B
2．（多选）（2023秋·浙江·高一期末）定义在R上的函数，满足，且为偶函数，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】A项：因为为偶函数，所以，故A正确；
B项：由，消去得，故B不正确；
C项：将代入①式得，即③，
由，消去得，故C正确；
D项：由，消去得，即，故的周期为4；
将代入①：；
将代入②：，
由关于中心对称，且；
将代入：，
故有，故D错误．
故选：AC.
3．（2023春·福建漳州·高三福建省漳州第一中学校考开学考试）已知函数的定义域为，对任意的恒成立，若，则__________
【答案】##0.5
【详解】已知，令，
则，
即.
因为，即，
所以，即函数的周期为6.
令，，又，则，
令，
，同理，，，，
.
故答案为：.
4．（2023秋·江苏南京·高一统考期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，若，则___________.
【答案】1
【详解】由可得的函数周期为4，则，
由，则，解得.
故答案为：1.
题型七：不等式中的恒成立问题
1．（多选）（2023秋·云南德宏·高一统考期末）已知定义在上的函数满足：对任意的，当时，都有，若不等式恒成立，则实数m的可能取值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】ABC
【详解】因为对任意的，当时，都有，
所以在上单调递增，
又不等式恒成立，即，解得，
所以符合题意的有A、B、C.
故选：ABC
2．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：原不等式可化为对恒成立．
（1）当时，若不等式对恒成立，
只需，解得；
（2）当时，若该二次不等式恒成立，
只需，解得，
所以；
综上：.
故答案为：
3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为__________．
【答案】##
【详解】为偶函数，为奇函数，，即
又，解得，
时，等价于，
化简得，，
令，则，在上单调递增，
当时，
则实数的最大值为
故答案为：
4．（2023秋·广东汕尾·高一统考期末）已知函数.
(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；
(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）的定义域为，则对任意的,恒成立，
当时，显然成立，故符合，
当时，即，
综上：；
（2）令，由于，则，则问题转化成：恒成立，即，两边平方整理得，进一步得，
当时，即，此时的解为，此时，不等式，故不符合，
当时，即，此时不等式为，当，不等式不成立，故不符合，
当时，即,此时的解为，
故的解为或，故要对，恒成立，则满足，解得，
综上，.
题型八：不等式中的能成立问题
1．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）设函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是________________.
【答案】
【详解】因为函数，，
而函数在为减函数，在为增函数，所以，
即函数的最小值为, 又，使得成立，则，
即，解得：或，
即实数的取值范围是或，
故答案为：
2．（2023春·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考阶段练习）已知函数，，，有，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【详解】，有等价于当，时，.
∵时，则，且在定义域内为增函数，
则，
所以函数在上的最小值，
又∵的图象开口向上且对称轴为，
则在上的最小值，
∴，解得.
故答案为：.
3．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【详解】因为，又函数在上单调递减，所以，
又因为函数在上单调递增，
所以当时，，
因为对于任意，存在，使得，
又，
所以，解得：，
故答案为：.
4．（2023秋·湖北黄冈·高一统考期末）已知，，若对，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【详解】若对，总存在，使得成立，则，
当时，令，则，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，
所以，当时，，
故当时，，即对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，
由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，
所以，当时，，故.
故答案为：.
题型九：函数的图象
角度1：利用函数解析式选择图象
1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】依题意可得，
又，则根据指数函数图象即可判断只有选项B符合．
故选：B．
2．（2023·全国·模拟预测）函数的大致图象是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：易知函数的定义域为，
因为，
所以函数为非奇非偶函数，排除A；
易知当时，，故排除C；
因为，，所以，所以排除D．
故选：B．
3．（2023·云南昆明·统考一模）函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】对于函数，
∵，
故为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；
又∵，且，
故，C错误；
故选：A.
4．（2022秋·广东深圳·高一深圳中学校考期末）若函数，则函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故排除BD，
当时，，，所以，
故排除A，而C满足题意
故选：C.
5．（2021春·陕西延安·高二子长市中学校考期末）函数的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】函数，定义域为R，
，函数为偶函数，排除CD；
由，，则，排除B.
故选：A
角度2：利用动点研究函数图象
1．（2022秋·北京房山·高一统考期中）如图，是边长为2的等边三角形，点E由A沿线段向B移动，过点E作的垂线l，设，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以当时，设直线与交点为，当点在中点左侧时，，，此时函数为下凸函数；当点在中点右侧时，，此时左侧部分面积为：，此时函数为上凸函数，C项符合.
故选：C
2．（2021秋·湖北武汉·高一武汉市第四十九中学校考期中）直角梯形OABC中，，，，直线l：截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知：当时，，
当时，；
所以．
结合不同段上的函数的性质，可知选项C符合．
故选：C．
3．（2021秋·山东青岛·高一青岛市即墨区第一中学校考期中）一质点从正方形的一个顶点出发，沿着正方形的边顺时针运动一周后回到点，假设质点运动过程中的速度大小不变，则质点到点的距离随时间变化的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
如图，当该质点运动到AB段的G点时，，长度逐渐增大，变化图象为一条上升的线段；
当该质点运动到BC段的E点时，，不变，逐渐增大，变化图象为一段上升的曲线；
当该质点运动到CD段的F点时，，不变，逐渐减小，变化图象为一段下降的曲线；
当该质点运动到AD段的H点时，，长度逐渐减小，变化图象为一段下降的线段.
综上可知，只有D选项满足情况.
故选：D.
4．（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）如图为正方体ABCD﹣A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面A1DC1的距离保持不变，运动的路程x与l＝MA1+MC1+MD之间满足函数关系l＝f（x），则此函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由于点M与平面A1DC1的距离保持不变，且从B1点出发，因此点M沿着运动.
设点P为B1C的中点，当M从B1到P时，如图所示
在平面A1B1CD内，作点A1关于B1B的对称点A′，
则MA1+MD＝MA′+MD，
由图象可知，当M从B1到P时，MA1+MD是减小的，MC1是由大变小的，
所以当M从B1到P时，l＝MA1+MC1+MD是逐渐减小的，故排除B，D；
因为PC1是定值，MC1，函数是减函数，类似双曲线形式，所以C正确；
故选：C
5．（多选）（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】对于A，易知水面高度的增加是均匀的，所以A不正确；
对于B，h 随t的增大而增大，且增大的速度越来越慢，所以B正确；
对于C，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越慢，后越来越快，所以C正确；
对于D，h 随t的增大而增大，增大的速度先越来越快，后越来越慢，所以D正确.
故选：BCD.
6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是
A．函数在，上有两个零点
B．函数是偶函数
C．函数在，上单调递增
D．对任意的，都有
【答案】AB
【详解】解：当，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆
当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，
当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，
作出函数的图象如图，
函数值域为，，则函数与直线的图象在，上有2个交点，故正确；
函数为偶函数，故正确；
由图可知，函数在，上单调递减，故错误；
由图，当时，，，此时，故错误
故选：．
角度3：利用函数图象解决不等式问题
1．（2021春·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）已知，当时，函数的图象恒在轴下方，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为函数的图象恒在轴下方，
所以对任意恒成立，
又时，可得对任意恒成立，
即恒成立，
在同一坐标系中作出函数，的图象，如图所示：
由图象知，只需，
解得，又，所以，
故选：A
2．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数的定义域为R，，且在上递增，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：函数，满足，则关于直线对称，
所以，即，
又在上递增，所以在上递减，
则可得函数的大致图象，如下图：
所以由不等式可得，或，解得或，
故不等式的解集为.
故选：D.
3．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】若，此时，，而，故无解；
若，此时，，而，
令，，
画出两函数图象，如下：
故要想在内恒成立，
则要，解得：.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________．
【答案】
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图像如图：
两函数图像的交点坐标为，
由图可知：当或时，成立，
所以不等式的解集为：．
故答案为：．
5．（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）已知集合，且关于x的不等式至少有一个负数解}，则集合A中的元素之和等于___________
【答案】
【详解】作出函数和的大致图象，
由图象可知，当的左边射线过点时，，
当的右边射线与的图象相切时，
由，即，可得，即，
∴满足题意的取值范围是，其中整数有，它们的和为，
即集合A中的元素之和等于．
故答案为：．
角度4：利用函数图象解决方程的根与交点问题
1．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知函数的图象上恰有3对关于原点成中心对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】问题转化为方程：有三个大于0的根，
即等价于与在上有三个交点，如图所示，
显然，当时，不符合题意.
当时，
只需满足且方程：有两根，
则有，
令，函数开口向上，对称轴，要使函数两零点均大于，则有，解得，满足两根均大于，
所以实数的取值范围是，
故选：C.
2．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据，可得图象如下：
因为有四个实数根，，，且，
由图知时，有四个实数根，且，
又，，
则，即，
所以，所以，且，
由在上单增，，
可知,
则的取值范围是为.
故选：A
3．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是______.
【答案】
【详解】由得：；
当时，，则，解得：,∵，，满足题意；
当时，；若存在唯一的，使得成立，则与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解得：，则；
当时，,结合图象可得：，解得：，则；
综上所述：原命题成立的充要条件为，
故答案为：-1