新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第11讲 高考难点突破三：圆锥曲线的综合问题（最值、范围问题） (精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc12580" 高频考点一：椭圆中最值问题 PAGEREF _Tc12580 \h 1
\l "_Tc16057" 高频考点二：椭圆中参数范围问题 PAGEREF _Tc16057 \h 9
\l "_Tc13039" 高频考点三：双曲线中最值问题 PAGEREF _Tc13039 \h 17
\l "_Tc20377" 高频考点四：双曲线中参数范围问题 PAGEREF _Tc20377 \h 24
\l "_Tc23844" 高频考点五：抛物线中最值问题 PAGEREF _Tc23844 \h 31
\l "_Tc23451" 高频考点六：抛物线中参数范围问题 PAGEREF _Tc23451 \h 38
高频考点一：椭圆中最值问题
典型例题
例题1．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知椭圆的左，右顶点分别为，，左焦点为,点在椭圆上．
(1)求的方程；
(2)设直线与交于不同于的，两点，且，求的最大值．
例题2．（2023·北京通州·统考三模）已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为2.
(1)求椭圆的方程
(2)动直线交椭圆于，两点，交轴于点，为线段的中点，点是关于的对称点，以点为圆心的圆过原点，直线与相切于点，求的最大值
例题3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知椭圆：的离心率，点，为椭圆的左、右焦点且经过点的最短弦长为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点，，与直线交于点，若，且点满足，求的最小值．
练透核心考点
1．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是轴正半轴上的一点，求的最大值.
2．（2023春·广西·高二校联考期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使面积最大时直线l的方程．
3．（2023·全国·高三对口高考）已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点，点是椭圆上位于轴上方的动点，为椭圆的右顶点，直线、与直线分别交于、两点．求线段的长度的最小值．

高频考点二：椭圆中参数范围问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，直线.
(1)若到直线的距离为，求；
(2)若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求；
(3)若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围.
例题2．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知椭圆:过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且互相垂直的直线,分别交椭圆于,两点及两点.求的取值范围.
例题3．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，离心率为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，经过坐标原点和点的直线与椭圆交于，两点，求四边形的面积的取值范围．
练透核心考点
1．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上两点．
(1)若直线过左焦点，求的周长；
(2)若直线过点，求的取值范围；．
2．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆上运动且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”.过原点作椭圆的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于两点，若直线的斜率存在，并记为，求的取值范围.
3．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，分别为椭圆：的上、下顶点，直线：与有且仅有一个公共点，设点在上运动，且不在坐标轴上，当直线的斜率为时，的右焦点恰在直线上．
(1)求的方程；
(2)设直线交轴于点，直线交于点，直线交于，两点．
（i）证明：直线的斜率为定值；
（ii）求面积的取值范围．
高频考点三：双曲线中最值问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，双曲线上除顶点外任一点满足直线与的斜率之积为4.
(1)求的方程；
(2)若直线过上的一点，且与的渐近线相交于，两点，点，分别位于第一、第二象限，，求的最小值.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的右顶点为，虚轴长为，两准线间的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设动直线与双曲线交于两点，已知，设点到动直线的距离为，求的最大值.
例题3．（2023·高二课时练习）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，的最小值，，且满足．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若，过点的直线交双曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点），求的最小值．
练透核心考点
1．（2023·广东深圳·校考二模）中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国.后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合.将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓.如图，一张圆形纸片的圆心为点D，A是圆外的一个定点，P是圆D上任意一点，把纸片折叠使得点A与P重合，然后展平纸片，折痕与直线DP相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹.

(1)证明：点Q的轨迹是双曲线；
(2)设定点A坐标为，纸片圆的边界方程为.若点位于（1）中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求面积的最小值.
2．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知双曲线过点，左､右顶点分别是，右焦点到渐近线的距离为，动直线与以为直径的圆相切，且与的左､右两支分别交于两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记直线的斜率分别为，求的最小值.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知等轴双曲线经过点，过原点且斜率为的直线与双曲线交于、两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设为双曲线上异于、的任意一点，且、的斜率、均存在，证明为定值；
(3)已知点，求最小时的值.
高频考点四：双曲线中参数范围问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线经过点，它的两条渐近线分别为和.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线交双曲线的左支于､两点，求周长的取值范围.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线与圆交于点第一象限，曲线为、上取满足的部分．
（1）若，求的值；
（2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求；
（3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线的方程；
(2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．
2．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知双曲线的焦距为，直线与交于两点，点是上异于两点的动点，且直线的斜率之积为.
(1)求的方程；
(2)已知是直线上的动点，过点作两条倾斜角互补的直线分别交于点和点，若，求实数的值.
3．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）平面直角坐标系中，双曲线过点，且该双曲线虚轴长为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)设过点的直线l与E的左支交于点M，N，直线DM，DN与y轴相交于P，Q两点．
①求直线l的斜率k的取值范围；
②求|TP|＋|TQ|的取值范围．
高频考点五：抛物线中最值问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)求的最大值.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点到准线的距离为2．
（1）求的方程;
（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）点为抛物线上一点，且，求面积的最大值.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，当A，B两点的纵坐标相同时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若P，Q为抛物线C上两个动点，，E为PQ的中点，求点E纵坐标的最小值．
2．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知点在曲线上.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过原点的直线与（1）中的曲线交于、两点，求的最大值与最小值.
高频考点六：抛物线中参数范围问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求证：直线轴；
(3)以线段为直径作圆，交直线于，求 的取值范围．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线过点，且与抛物线交于、两点，．
（1）求的取值范围；
（2）若，点的坐标为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与抛物线的另一个交点为，直线与轴交于点，求的取值范围．
例题3．（2023·上海·高二专题练习）已知点在抛物线：上，过点作圆：的两条切线，与抛物线分别交于，两点，切线，与圆分别相切于点，.
（1）若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，且时，求直线的方程；
（3）若点的坐标为，设线段中点的纵坐标为，求的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为．直线与抛物线相切于点且与轴交于点，点是点关于点的对称点，直线与抛物线交于另一点，与准线交于点．
(1)证明：直线直线;
(2)设的面积分别为，若，求点的横坐标的取值范围．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上一点，抛物线的焦点在以为直径的圆上（为坐标原点）.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一交点分别为、，线段中点的横坐标记为，求实数的取值范围.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3，
(1)求抛物线C的方程和点A的坐标；
(2)设过点且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若，求斜率k的取值范围．