福建省漳州市台商投资区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷-A4

这是一份福建省漳州市台商投资区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）点M（3，﹣2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（4分）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．8，15，17B．，，C．1，1，D．2，12，14
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）在一次函数y＝kx+2中，当x1＞x2时，y1＜y2，则此函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）下列数，，，，﹣0.3，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
6．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．0.01的平方根是0.1B．﹣4没有立方根
C．的算术平方根是2D．5的立方根是
7．（4分）两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由甲地到乙地，他们的行驶路程与行驶时间之间的关系如图所示．已知甲、乙两地的距离是120km，则下列说法错误的是（ ）
A．行驶时间是自变量
B．自行车行驶了3.5h时，摩托车在自行车的前面
C．摩托车在途中行驶的速度是60km/h
D．自行车比摩托车晚到3h
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（ ）
A．8B．14C．20D．26
9．（4分）如图，BA＝BC，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是（ ）
A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．﹣2
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点C，D在坐标轴上，BE⊥y轴，垂足为点E，四边形ABCD是面积为40的正方形，若DE＝2OD，则点A的坐标为（ ）
A．B．C．（2，6）D．（2，8）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置．
11．（4分）点A（1，2）向左平移1个单位长度得到点B（a，2），则a＝ ．
12．（4分）如图所示的是做课间操时，小红、小刚和小明三人的相对位置．如果用（1，1）表示小红的位置，用（2，3）表示小刚的位置，那么小明的位置可以表示为 ．
13．（4分）若函数y＝x+k﹣2是关于x的正比例函数，则k＝ ．
14．（4分）两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，可得到一个大正方形，则大正方形的边长为 ．
15．（4分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当x＞1时，y的取值范围是 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点P，D分别为AC、AB边上的动点，则PB+PD的最小值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答．
17．（8分）计算：．
18．（8分）已知一个正数的两个平方根是4﹣a与2a，求的值．
19．（8分）如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴负半轴上，且AB＝4．
（1）求点B的坐标；
（2）将A，B，C三点的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变，得到点A1，B1，C1，请在平面直角坐标系中画出△A1B1C1，并直接写出△ABC与△A1B1C1的位置关系；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为2？若存在，请直接写出点P的坐标．
20．（8分）某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，现在每桶水的销售价格是8元，如果用x（单位：桶）表示每天的销售数量，用y（单位：元）表示每天的利润．（利润＝总销售额﹣固定成本﹣水的成本）
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）如果某天卖出了65桶水，当天该销售部是赚了还是亏了？赚或亏了多少钱？
21．（8分）历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中点E是边AB上的点．
（1）请用a，b，c分别表示△DAE，△DEC，△ECB的面积；
（2）请你利用等面积法验证勾股定理．
22．（10分）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中．
（1）m＝ ；
（2）表格中有一个y的值记录错误，排除后，利用正确的数据求出k与b的值；
（3）当输出的y值为12时，求输入的x的值．
23．（10分）如图，在△ABC中，BC＝8，D为BC边上的点，将△ACD沿AD折叠，得到△AED，恰好ED⊥BC，连接BE，S△BDE＝7．
（1）设BD＝a，CD＝b，求BE的长；
（2）若AB＝4，，试判断△ABE的形状，并说明理由．
24．（12分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其三角形的面积公式为：
①（海伦公式），
②（秦九韶公式）．
已知在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a，b，c满足．
（1）直接写出a，b，c的值；
（2）请从①、②中选择一个合适的公式，求出△ABC的面积；
（3）如图，若CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，求DE的长．
25．（14分）如图，点A，B分别是一次函数y＝x﹣4与x轴，y轴的交点，E为线段OB的中点，点F是直线OC：y＝kx（k＜0）上一点，连接AE，BF，且BF∥x轴．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若AE⊥OC，求k的值；
（3）连接EF，是否存在k值，使得∠EAF＝45°，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年福建省漳州市台商投资区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂．
1．（4分）点M（3，﹣2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点M（3，﹣2）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．（4分）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．8，15，17B．，，C．1，1，D．2，12，14
【分析】勾股数是应该符合a2+b2＝c2的据此作答即可．
【解答】解：A、82+152＝289＝172，故是勾股数，符合题意；
B、，不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
D、22+122≠142，不是勾股数，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次根式的运算法则可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：A、两者不是同类二次根式，无法加减运算，故运算错误，不符合题意；
B、运算正确，符合题意；
C、运算错误，不符合题意；
D、运算错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．（4分）在一次函数y＝kx+2中，当x1＞x2时，y1＜y2，则此函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用一次函数的增减性求出k的取值范围，再结合直线在y轴上的截距即可得出结论．
【解答】解：一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＞x2时，y1＜y2，
∴y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵2＞0，
∴一次函数y＝kx+2与y轴交点在y轴正半轴，
∴符合条件的图象为B，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟知一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
5．（4分）下列数，，，，﹣0.3，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：＝3，，，，﹣0.3，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有：，，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）共3个．
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
6．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．0.01的平方根是0.1B．﹣4没有立方根
C．的算术平方根是2D．5的立方根是
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义进行求解即可．
【解答】解：A、0.01的算术平方根是0.1，故该项不正确，不符合题意；
B、﹣4有立方根，故该项不正确，不符合题意；
C、的算术平方根是，故该项不正确，不符合题意；
D、5的立方根是，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握相关的知识点是解决本题的关键．
7．（4分）两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由甲地到乙地，他们的行驶路程与行驶时间之间的关系如图所示．已知甲、乙两地的距离是120km，则下列说法错误的是（ ）
A．行驶时间是自变量
B．自行车行驶了3.5h时，摩托车在自行车的前面
C．摩托车在途中行驶的速度是60km/h
D．自行车比摩托车晚到3h
【分析】A．根据自变量的定义判断即可；
B．当t＝3.5时，比较二者路程的大小即可判断；
C．根据速度＝路程÷时间计算即可；
D．根据图象计算即可．
【解答】解：∵行驶路程随行驶时间的变化而变化，
∴行驶时间是自变量，
∴A正确，不符合题意；
由图象可知，当t＝3.5时，自行车行驶的路程大于摩托车行驶的路程，
∴自行车行驶了3.5h时，自行车在摩托车的前面，
∴B错误，符合题意；
摩托车在途中行驶的速度是120÷（5﹣3）＝60（km/h），
∴C正确，不符合题意；
由图象可知，自行车比摩托车晚到的时间为8﹣5＝3（h），
∴D正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握自变量的定义，速度、时间、路程的关系是解题的关键．
8．（4分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（ ）
A．8B．14C．20D．26
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴AB2＝AO2+BO2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝BO2+CO2，AD2＝OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝BC2+AD2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝42+22＝20，
故选：C．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出三边关系解答．
9．（4分）如图，BA＝BC，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是（ ）
A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．﹣2
【分析】由勾股定理得BC＝，再求出a＝﹣1﹣，然后推出﹣4＜﹣1﹣＜﹣3，即可得出结论．
【解答】解：由勾股定理得：BC＝＝，
∴A表示的数比B表示的数小，
∵点B表示的数为﹣1，
∴a＝﹣1﹣，
∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴﹣4＜﹣1﹣＜﹣3，
即﹣4＜a＜﹣3，
∴a的值最接近的整数是﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理以及数轴等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点C，D在坐标轴上，BE⊥y轴，垂足为点E，四边形ABCD是面积为40的正方形，若DE＝2OD，则点A的坐标为（ ）
A．B．C．（2，6）D．（2，8）
【分析】作AF⊥y轴于点F，AH⊥BE于点H，则四边形AFEH是矩形，所以∠FAH＝90°，HA＝EF，因为正方形ABCD的面积为40，所以AD2＝40，AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝90°，可证明△BAH≌△DAF，得HA＝FA＝EF，再证明△DAF≌△CDO，得FA＝EF＝OD，设FA＝EF＝OD＝m，则DE＝2OD＝2m，DF＝3m，OF＝4m，由m2+（3m）2＝40，求得m＝2，则AF＝2，OF＝8，所以A（2，8），于是得到问题的答案．
【解答】解：作AF⊥y轴于点F，AH⊥BE于点H，则∠AHB＝∠AFD＝∠DOC＝90°，
∵BE⊥y轴于点E，
∴∠FEH＝∠AHE＝∠AFE＝90°，
∴四边形AFEH是矩形，
∴∠FAH＝90°，HA＝EF，
∵四边形ABCD是面积为40的正方形，
∴AD2＝40，AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠BAH＝∠DAF＝90°﹣∠DAH，∠ADF＝∠DCO＝90°﹣∠CDO，
在△BAH和△DAF中，
，
∴△BAH≌△DAF（AAS），
∴HA＝FA，
∴FA＝EF，
在△DAF和△CDO中，
，
∴△DAF≌△CDO（AAS），
∴FA＝OD，
∴FA＝EF＝OD，
设FA＝EF＝OD＝m，则DE＝2OD＝2m，
∴DF＝DE+EF＝3m，OF＝OD+DE+EF＝4m，
∵FA2+DF2＝AD2，
∴m2+（3m）2＝40，
∴m＝2或m＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴AF＝2，OF＝4×2＝8，
∴A（2，8），
故选：D．
【点评】此题重点考查图形与坐标、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置．
11．（4分）点A（1，2）向左平移1个单位长度得到点B（a，2），则a＝ 0 ．
【分析】根据平移的性质可得答案．
【解答】解：∵点A（1，2）向左平移1个单位长度得到的点的坐标为（0，2），
∴a＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
12．（4分）如图所示的是做课间操时，小红、小刚和小明三人的相对位置．如果用（1，1）表示小红的位置，用（2，3）表示小刚的位置，那么小明的位置可以表示为 （3，4） ．
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
【解答】解：用（1，1）表示小红的位置，用（2，3）表示小刚的位置，那么小明的位置可以表示为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
13．（4分）若函数y＝x+k﹣2是关于x的正比例函数，则k＝ 2 ．
【分析】根据正比例函数的常数项是0，列出方程，解方程即可．
【解答】解：∵函数y＝x+k﹣2是关于x的正比例函数，
∴k﹣2＝0，
∴k＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的常数项是0，列出方程是解题的关键．
14．（4分）两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，可得到一个大正方形，则大正方形的边长为 ．
【分析】根据大正方形是由两个小正方形拼成的，得到大正方形的面积恰好是这两个小正方形面积的和，从而计算得到a2解答即可．
【解答】解：对其中一个正方形沿对角线剪成四个直角三角形，再拼到另一个正方形四周，即可得到大正方形．
∵两个小正方形的面积都是1，用它们拼成的大正方形的面积应是两个小正方形面积之和，
∴拼成的大正方形的面积是1+1＝2，
∵大正方形的面积是2，
∴大正方形的边长a＝，是无理数 （正方形的面积等于边长的平方）．
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的应用，正方形的性质，正方形的面积等知识，解题的关键是确定大正方形的边长，属于中考常考题型．
15．（4分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当x＞1时，y的取值范围是 y＞0 ．
【分析】关键一次函数与一元一次不等式的关系解答即可．
【解答】解：由图象可知，当x＞1时，y的取值范围是y＞0，
故答案为：y＞0．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是关键．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点P，D分别为AC、AB边上的动点，则PB+PD的最小值为 ．
【分析】作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′D⊥AB于点D交AC于点P，P点即为所求作的点，连接AB′，根据对称点可知：BP＝B′P，即DP+PB的最小值为B′D的长，本题求出B′D的长度是进而得解．
【解答】解：作点B关于AC的对称点B'，过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时DP+PB有最小值，连接AB′，根据对称点可知：BP＝B'P，BC＝BC′，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACB'＝90°，
∴△ABC≌△AB′C（SAS），
∴S△ABB'＝S△ABC+S△AB'C＝2S△ABC，
∵S△ABB'＝AB×B'D，
∴AB×B'D＝2S△ABC，
∴×2×B'D＝2××4×2，
∴B'D＝，
∴DP+PB＝DP+B'P＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答．
17．（8分）计算：．
【分析】先算除法，去绝对值符号，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝﹣+2﹣
＝﹣2+2﹣
＝2﹣
＝．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18．（8分）已知一个正数的两个平方根是4﹣a与2a，求的值．
【分析】根据平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
4﹣a+2a＝0，
解得a＝﹣4，
所以＝＝4．
【点评】本题考查平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
19．（8分）如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴负半轴上，且AB＝4．
（1）求点B的坐标；
（2）将A，B，C三点的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变，得到点A1，B1，C1，请在平面直角坐标系中画出△A1B1C1，并直接写出△ABC与△A1B1C1的位置关系；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为2？若存在，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据题意可直接得出点B的坐标为（﹣5，0）．
（2）根据题意可得点A1，B1，C1的坐标，再描点连线即可，可知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称．
（3）设点P的坐标为（0，m），根据题意可列方程为＝2，求出m的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点B在x轴负半轴上，且AB＝4，A（﹣1，0），
∴点B的坐标为（﹣5，0）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
△ABC与△A1B1C1关于y轴对称．
（3）存在．
设点P的坐标为（0，m），
∵以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为2，
∴＝2，
解得m＝1或﹣1，
∴点P的坐标为（0，1）或（0，﹣1）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，现在每桶水的销售价格是8元，如果用x（单位：桶）表示每天的销售数量，用y（单位：元）表示每天的利润．（利润＝总销售额﹣固定成本﹣水的成本）
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）如果某天卖出了65桶水，当天该销售部是赚了还是亏了？赚或亏了多少钱？
【分析】（1）设每天的销售数量为x，每天的利润为y元，然后根据利润＝总销售额﹣固定成本﹣售出水的成本列出函数解析式；
（2）代入数据计算即可．
【解答】解：（1）y与x的函数关系式为：y＝8x﹣5x﹣200＝3x﹣200．
（2）亏了5元，
当x＝65时，
y＝3x﹣200＝3×65﹣200＝﹣5．
∴亏了5元，
【点评】本题考查的是一次函数解析式问题，关键是根据利润＝总销售额﹣固定成本﹣售出水的成本列出解析式．
21．（8分）历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中点E是边AB上的点．
（1）请用a，b，c分别表示△DAE，△DEC，△ECB的面积；
（2）请你利用等面积法验证勾股定理．
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）△DAE的面积＝ab，△DEC的面积＝c2，△ECB的面积＝ab，
（2）∵四边形ABCD的面积＝（a+b）（a+b）＝（a2+2ab+b2）＝a2b2+ab，或四边形ABCD的面积＝△DAE的面积+△DEC的面积+△ECB的面积＝ab+c2+ab＝c2+ab，
∴a2b2+ab＝c2+ab，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积的公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
22．（10分）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中．
（1）m＝ 8 ；
（2）表格中有一个y的值记录错误，排除后，利用正确的数据求出k与b的值；
（3）当输出的y值为12时，求输入的x的值．
【分析】（1）由x≥1时，y＝8x，可得m＝8×1＝8；
（2）观察表格可知，输入x＝﹣4时，y的值是错误的，再用待定系数法可得k的值为2，b的值为6；
（3）分两种情况列方程解答即可．
【解答】解：（1）∵x≥1时，y＝8x，
∴m＝8×1＝8；
故答案为：8；
（2）观察表格可知，输入x＝﹣4时，y的值是错误的，
把x＝0，y＝6和x＝﹣2，y＝2代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴k的值为2，b的值为6；
（3）在y＝2x+6中，令y＝12得：
12＝2x+6，
解得x＝3（不满足x＜1，舍去），
在y＝8x中，令y＝12得：
12＝8x，
解得x＝1.5；
∴输入的x的值是1.5．
【点评】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法．
23．（10分）如图，在△ABC中，BC＝8，D为BC边上的点，将△ACD沿AD折叠，得到△AED，恰好ED⊥BC，连接BE，S△BDE＝7．
（1）设BD＝a，CD＝b，求BE的长；
（2）若AB＝4，，试判断△ABE的形状，并说明理由．
【分析】（1）由翻折性质可得DE＝CD＝b，根据勾股定理得BE2＝2（a2﹣8a）+64，然后根据S△BDE＝7，得a2﹣8a＝﹣14，再整体代入计算即可解决问题；
（2）根据勾股定理逆定理即可判断△ABE是直角三角形．
【解答】解：（1）由翻折可知：DE＝CD＝b，
∵BC＝8，BD＝a，CD＝b，
∴DE＝CD＝b＝8﹣a，
∵ED⊥BC，
∴BE2＝BD2+DE2＝a2+（8﹣a）2＝2a2﹣16a+64＝2（a2﹣8a）+64，
∵S△BDE＝7，
∴BD•DE＝7，
∴a（8﹣a）＝14，
∴a2﹣8a＝﹣14，
∴BE2＝2（a2﹣8a）+64＝2×（﹣14）+64＝36，
∴BE＝6；
（2）△ABE是直角三角形，理由如下：
由翻折可知：AE＝，
∴AE2＝（2）2＝52，
∵AB＝4，BE＝6，
∴AB2+BE2＝16+36＝52，
∴AB2+BE2＝AE2，
∴△ABE是直角三角形．
【点评】本题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理及逆定理等知识，解题的关键是整体思想的熟练运用．
24．（12分）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其三角形的面积公式为：
①（海伦公式），
②（秦九韶公式）．
已知在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a，b，c满足．
（1）直接写出a，b，c的值；
（2）请从①、②中选择一个合适的公式，求出△ABC的面积；
（3）如图，若CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，求DE的长．
【分析】（1）根据非负数的性质得到a﹣＝0，b﹣＝0，c﹣4＝0，然后解一次方程得到a、b、c的值；
（2）选择公式①，先计算出p＝+2，再把a、b、c、p的值代入公式①，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算；
（3）过E点作EH⊥AC于H点，如图，先利用△ABC为等腰三角形得到AD＝BD＝c＝2，再根据角平分线的性质得到EH＝ED，然后利用面积法得到××EH+×2×ED＝×2，从而可求出ED的长．
【解答】解：（1）∵，
∴a﹣＝0，b﹣＝0，c﹣4＝0，
解得a＝，b＝，c＝4；
（2）∵p＝＝＝+2，
∴S＝＝＝＝2；
（3）过E点作EH⊥AC于H点，如图，
∵a＝b＝，
∴△ABC为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝c＝2，
∵AE平分∠BAC，EH⊥AC，ED⊥AB，
∴EH＝ED，
∵S△ACE+S△ADE＝S△ACD＝S△ABC，
∴××EH+×2×ED＝×2，
∴ED+ED＝1，
解得ED＝2﹣4．
【点评】本题考查了二次跟式的应用，在解决实际问题的过程中灵活运用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．
25．（14分）如图，点A，B分别是一次函数y＝x﹣4与x轴，y轴的交点，E为线段OB的中点，点F是直线OC：y＝kx（k＜0）上一点，连接AE，BF，且BF∥x轴．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若AE⊥OC，求k的值；
（3）连接EF，是否存在k值，使得∠EAF＝45°，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）由（1）知，B（0，4），求得OB＝4，由E为线段OB的中点，得到E（0，﹣2），设直线AE的解析式为y＝mx+n，解方程组得到直线AE的解析式为y＝x﹣2；由AE⊥OC，得到k＝﹣2；
（3）存在，如图，过A作AD⊥BF于D，根据正方形的性质得到BD＝AO＝4，设BF＝x，则DF＝4﹣x，延长BD到G，使DG＝OE＝2，根据全等三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）由（1）知，B（0，4），
∴OB＝4，
∵E为线段OB的中点，
∴OE＝2，
∴E（0，﹣2），
设直线AE的解析式为y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为y＝x﹣2；
∵AE⊥OC，
∴k＝﹣2；
（3）存在，如图，过A作AD⊥BF于D，
∵OA＝OB＝4，∠OBD＝∠AOB＝∠ADB＝90°，
∴四边形AOBD是正方形，
∴BD＝AO＝4，
设BF＝x，则DF＝4﹣x，
延长BD到G，使DG＝OE＝2，
∵AD＝OB，∠AOE＝∠ADG＝90°，
∴△AOE≌△ADG（SAS），
∴∠OAE＝∠GAD，
∵∠EAF＝45°，
∴∠OAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG＝6﹣x，
∵EF2＝BE2+BF2，
∴（6﹣x）2＝22+x2，
∴x＝，
∴F（，﹣4），
把F（，﹣4）代入y＝kx得k＝﹣．
输入x
…
﹣8
﹣6
﹣4
﹣2
0
1
2
…
输出y
…
﹣10
﹣6
0
2
6
m
16
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
B
A
D
B
C
C
D
输入x
…
﹣8
﹣6
﹣4
﹣2
0
1
2
…
输出y
…
﹣10
﹣6
0
2
6
m
16
…