福建省泉州市台商投资区2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年福建省泉州市台商投资区九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1. 下列二次根式中是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根

4. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

5. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列命题正确的是(    )

A. 已知：线段，，，，则，，，是比例线段
B. 已知关于的方程是一元二次方程
C. 一元二次方程的根是
D. 位似图形一定是相似图形，相似图形也一定是位似图形

7. 如图，为了测量一池塘的宽，在岸边找到一点，测得，在的延长线上找一点，测得，过点作交的延长线于，测出，则池塘的宽为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知，，，是边的中点，是边上一点，，的平分线分别交、于点、，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点，的运动时间为(    )

A.  B.  C.   D.

10. 如图，已知中，，是边上的中线，延长到，使，连接，点是中点，连接分别交、于、两点．下列结论：
    ；
    ；
    ；
    ．
    则正确的是结论(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11. 计算 ______ ．
12. 若有意义，则 ______ ．
13. 电影长津湖首映当日票房已经达到亿元，天后当日票房达到亿元，设平均每天票房的增长率为，则可列方程为______．
14. 已知一本书的宽与长之比等于称为黄金比，若书的长是，则宽为______．
15. 如图，为平行四边形边上一点，、分别为、的中点，、、的面积分别为、、，若，则______．

16. 如图，正方形的边长为，点是边上一个动点，点是边上一个动点，且，过点作于点，连接，则长的最小值是______．

三、解答题（本题共9小题，共72分）

17. 计算：
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图、在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
    画出与关于轴对称的；
    以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为：，并写出点的坐标．

20. 如图，在中，是边上一点，且．
    在边上求作点，使；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
    在的条件下，若，求的长．

21. 已知关于的方程．
    求证：方程总有两个不相等的实数根．
    当时，，是该方程的根，求的值．
22. 年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染疾病．
    在新冠初期，人们因为不了解这种病毒所以也没有及时进行隔离，若有人感染后经过两轮的传染将会有人感染了“新冠”，求每一轮传染后平均一个人会传染了几个人？
    后来，大家众志成城，全都隔离在家，但玲玲爷爷种的糖心苹果遇到了滞销，于是玲玲在朋友圈帮爷爷销售，糖心苹果的成本为元千克，她发现当售价为元千克时，每天可卖出千克，而每涨元时，每天就少卖出千克．如果每天要达到元的利润而且又最大限度地帮爷爷增加销量，请你帮玲玲确定销售单价．
23. 阅读材料题：
    我们知道，所以代数式的最小值为，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
    例如：求的最小值问题．
    
    解：，
    又，
    的最小值为．
    请应用上述思想方法，解决下列问题：
    探究：______；
    代数式有最______填“大”或“小”值为______；
    如图，长方形花圃一面靠墙墙足够长，另外三面所围成的棚栏的总长是，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
24. 【基础巩固】
    
    如图，在中，为上一点，求证：．
    【尝试应用】
    如图，在平行四边形中，为上一点，为延长线上一点．，若，，求的长．
    【拓展提高】
    如图，在菱形中，是上一点，是内一点．，，直接写出线段与线段之间的数量关系．
25. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在第一象限，线段，的长是一元二次方程的两根，，．
    
    直接写出点的坐标点的坐标；
    若反比例函数的图象经过点，求的值；
    如图过点作轴于点；在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似？若存在，直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
B、原式，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、原式，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误．
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据二次根式的乘法，加法，减法法则，二次根式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的一个根为，
且，
．
故选：．
把代入方程得到，解得，然后利用一元二次方程的定义确定满足条件的的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：若，，，，由于，，，，不是比例线段，所以选项不符合题意；
B.由于，则关于的方程是一元二次方程，所以选项符合题意；
C.一元二次方程的根是，所以选项不符合题意；
D.位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形，所以选项不符合题意．
故选：．
根据比例线段的定义对选项进行判断；根据一元二次方程的定义对选项进行判断；根据一元二次方程的求根公式对选项进行判断；根据位似的定义对选项进行判断．
本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
故选：．
根据相似三角形的性质即可解决问题；
本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
∽，
，
是的中点，
，
，
故选：．
证明∽，可得，解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
．
当运动时间为时，，，，
依题意得：，即，
整理得：，
解得：，
点，的运动时间为．
故选：．
在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，，，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，
为的中点，
又为的中点，
为的中位线，
，，
，，
∽，
，
；故正确；
延长到点，使，连接，

为的中线，
，
又，，
≌，
，，
，
又，
，
，，
≌，
，，故正确；
由为的中线，但得不到为的角平分线，
，只有，才等于，
但得不到为的角平分线，
故错误，
故选：．
由三角形中位线定理可得，，可证∽，得，故正确；延长到点，使，连接，利用证明≌，得，，在利用证明≌，可得，，，故正确；由为的中线，但得不到为的角平分线，可判断错误．
本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用算术平方根化简得出答案．
此题主要考查了算术平方根的化简，正确化简算术平方根是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，即可列出不等式组求得的值．
考查了二次根式的概念和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

13.【答案】 

【解析】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故答案为：．
设平均每天票房的增长率为，根据当日票房已经达到亿元，天后当日票房达到亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设宽为，
由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据黄金比值和题意列出关系式，计算即可得到答案．
本题考查的是黄金分割的概念和性质，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
 

15.【答案】 

【解析】解：过作交于点，由，得到，

四边形与四边形都为平行四边形，
≌，≌，
，，
为的中位线，
，，
∽，且相似比为：，
：：，，
．
故答案为：
过作平行于，由与平行，得到平行于，可得出四边形与都为平行四边形，进而确定出与面积相等，与面积相等，再由为的中位线，利用中位线定理得到为的一半，且平行于，得出与相似，相似比为：，面积之比为：，求出的面积，而面积面积面积，即为面积面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．
此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，

连接与相交于，
四边形是正方形，
，
，，
≌，
，
点是正方形的中心，
连接，取中点，连接，，则，为定长，过点作于则，，
由勾股定理可得，，
，
当，，三点共线时，最小．
故答案为：．
连接与相交于，判断出点是正方形的中心，连接，取中点，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出，的值．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】根据立方根、平方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：原式，
当时，原式． 

【解析】原式利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，点的坐标为；
 

【解析】根据关于轴对称的点的坐标得到、、的坐标，然后描点即可；
把、、的坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了轴对称变换．
 

20.【答案】解：点如图所示；
，，
，，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】根据平行线分线段成比例定理、基本尺规作图作出点；
证明∽，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、尺规作图，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

21.【答案】证明：方程可变形为，
．
，
，即，
这个方程总有两个不相等的实数根．
解：当时，原方程为，
，是该方程的根，
，，
，




． 

【解析】将方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出方程总有两个不相等的实数根；
代入，得到方程为，利用一元二次方程解的定义以及根与系数的关系得到，，代入即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式的知识点，熟练掌握若，是方程的两根时，，，方程总有两个不相等实数根，则一元二次方程根的判别式恒成立是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：设每轮传染中平均一个人传染了人，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每轮传染中平均一个人传染了人；
设小玲应该将售价定为元，则每天可以卖出千克，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
最大限度地帮爷爷增加销量，
小玲应该将售价定为元，
答：小玲应该将售价定为元． 

【解析】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据人感染“新冠”经过两轮传染后共有人感染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设小玲应该将售价定为元，则每天可以卖出千克，根据总利润每斤的利润销售数量，列出一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】  大   

【解析】解：，
故答案为：；
，
又，
，
，
的最大值为，
故答案为：大，；
设矩形花圃的宽为，则长为，
矩形的面积，
，
当时，有最大值，此时，，
当花圃的宽为，长为时花圃面积最大，最大面积为．
将原式配方即可；
将原式配方即可判断；
设矩形花圃的宽为，则长为，根据矩形的面积公式列出函数关系式，再配方，即可求最大面积．
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握配方法并灵活应用是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
∽，
，
；
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
；
解：延长、交于，

四边形是菱形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】直接利用两个角相等证明∽，可得结论；
首先说明∽，得，求出的长，再利用平行四边形的性质可得的长；
延长、交于，利用两组对边分别平行可得四边形是平行四边形，得，，再利用∽，得，代入化简即可．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握共边共角三角形相似是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
解得：，
，
，．

如图，过点  作 ，垂足为 ，

，
，
设 ，
，
在中
，
，
整理得：，
解得：不合题意舍去，，
，，
，
把 代入 ，得 ．

存在．
如图，若点在上，若∽，
则，
即，
解得：或
或；
如图，若点在上方，∽，
则，
即，
解得：，
；
如图，若点在上方，∽，
则，
即，
解得：或不合题意舍去，
；
如图，若点在轴负半轴，∽，
则，即，解得：或不合题意舍去，则点坐标为
点的坐标为：或或或或 

【解析】解一元二次方程，求出两根即可得到点，的坐标；
过点作，垂足为，设 ，在中，利用勾股定理构建方程求出点坐标即可解决问题；
分四种情形，根据相似三角形对应边成比例，构建方程解决问题即可；
本题属于反比例函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法、点的坐标、点在图象上、相似三角形的判定与性质以及分类讨论的数学思想方法的综合运用，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．