福建省福州市2024-2025学年高二上学期期末质量抽测数学模拟试卷-A4

这是一份福建省福州市2024-2025学年高二上学期期末质量抽测数学模拟试卷-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知命题p：∃x0∈R，sinx0≤1，则命题p的否定是（ ）
A．∀x∈R，sinx＞1B．∃x∈R，sinx＞1
C．∃x∈R，sinx≥1D．∀x∈R，sinx≤1
2．（5分）将参加夏令营的600名学生编号为1，2，…，600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为3．这600名学生分住在三个营区，从001到350在第Ⅰ营区，从351到490在第Ⅱ营区，从491到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）
A．29，13，8B．28，12，10C．28，13，9D．29，12，9
3．（5分）函数y＝x2在点x0＝2处的导数值f′（2）等于（ ）
A．0B．1C．2D．4
4．（5分）已知向量，且∥，则x+y＝（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
5．（5分）已知条件p：|x+1|≤2，条件q：﹣3≤x≤2，则p是q的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
6．（5分）若动点M（x，y）满足5＝|3x﹣4y+12|，则点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
7．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的2π倍的正四棱锥，现将一个棱长为6的正方体铜块，熔化铸造一些高为4的胡夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出（ ）个该金字塔模型（不计损耗）？
A．3B．4C．5D．6
8．（5分）已知A，B是椭圆＝1（a＞b＞0）长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0）．若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）已知曲线C的方程为＝1（k∈R），则下列结论正确的是（ ）
A．当k＝2时，曲线C为圆
B．当k＝﹣2时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
C．“0＜k＜2”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件
D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为
10．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点，点P是线段C1D上的动点，AA1＝2，则下列选项正确的是（ ）
A．直线AP与B1E是异面直线
B．三棱锥A1﹣AB1E的体积为
C．过点C作平面AEB1的垂线，与平面AB1C1D交于点Q，若，则Q∈AP
D．点P到平面AEB1的距离是一个常数
11．（6分）设函数f（x）＝xln2x+x的导函数为f′（x），则（ ）
A．f′（）＝0
B．x＝是f（x）的极值点
C．f（x）存在零点
D．f（x）在（，+∞）单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）已知双曲线﹣＝1的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|ON|＝ ．
13．（5分）为了估计某产品的使用寿命，从中随机抽取100件，在相同的条件下进行试验．根据试验所得到的样本数据，绘出频率分布直方图，如图所示．若根据样本估计总体，则总体数据落在[700，900]内的概率约为 ．
14．（5分）已知矩形ABCD，CD＝4AD＝4，过CD作平面α，使得平面ABCD⊥α，点P在α内，且AP与CD所成的角为，则点P的轨迹为 ，BP长度的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点M（1，y0）到抛物线C的焦点F的距离为2，A，B（不与O重合）是抛物线C上两个动点，且OA⊥OB．
（1）求抛物线C的标准方程及线段AB的最小值；
（2）x轴上是否存在点P使得∠APB＝2∠APO？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
16．（15分）已知四棱锥E﹣ABCD的底面为直角梯形∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝CE＝AB＝2，△EAB是以AB为底边的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求证：CE⊥AB；
（Ⅱ）若H为△EAD的垂心，求二面角H﹣EC﹣B的余弦值．
17．（15分）已知椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求线段AB长度的最大值．
18．（17分）“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年．“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程．国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到2025年全国水产品年产量达到6900万吨.2018年至2021年全国水产品年产量y（单位：千万吨）的数据如下表：
（1）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年水产品年产量能否实现目标；
（2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了2019年全国32个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过90万吨的地区有14个，有渔业科技推广人员高配比（配比＝渔业科技推广人员总数：渔业从业人员总数）的地区有16个，其中年产量超过90万吨且高配比的地区有4个，能否有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，
参考数据，
19．（17分）已知函数f（x）＝xex，g（x）＝ax+1+alnx．
（Ⅰ）当a≠0时，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）若a＝1，求证：f（x）≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．
2024-2025学年第一学期福州市高二期末质量抽测模拟
数学试卷
答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知命题p：∃x0∈R，sinx0≤1，则命题p的否定是（ ）
A．∀x∈R，sinx＞1B．∃x∈R，sinx＞1
C．∃x∈R，sinx≥1D．∀x∈R，sinx≤1
【考点】存在量词命题的否定．
【答案】A
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题p的否定命题即可．
【解答】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题p：∃x0∈R，sinx0≤1，
则命题p的否定是￢p：“∀x∈R，sinx＞1”．
故选：A．
【点评】本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题应用问题，是基础题．
2．（5分）将参加夏令营的600名学生编号为1，2，…，600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为3．这600名学生分住在三个营区，从001到350在第Ⅰ营区，从351到490在第Ⅱ营区，从491到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）
A．29，13，8B．28，12，10C．28，13，9D．29，12，9
【考点】系统抽样方法．
【答案】D
【分析】求出样本第k（1≤k≤50，k∈N*）个个体的编号为12k﹣9，解相应不等式，求出k的所有取值，即可得解．
【解答】解：因为分段间隔为，样本第1个号码为3，
则样本第k（1≤k≤50，k∈N*）个个体的编号为3+12（k﹣1）＝12k﹣9，
对于第I营区，由1≤12k﹣9≤350，可得，k的取值为：1、2、⋯、29，即第I营区被抽中的人数为29，
对于第Ⅱ营区，351≤12k﹣9≤490，解得的取值为：30、31、、41，即第Ⅱ营区被抽中的人数为12，
对于第Ⅲ营区，491≤12k﹣9≤600，解得的取值为：42、43、、、50，即第Ⅲ营区被抽中的人数为9，
因此，三个营区被抽中的人数依次29、12、9．
故选：D．
【点评】本题考查了系统抽样的应用，属于基础题．
3．（5分）函数y＝x2在点x0＝2处的导数值f′（2）等于（ ）
A．0B．1C．2D．4
【考点】基本初等函数的导数．
【答案】D
【分析】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：y＝x2，则y′＝2x，当x0＝2时，f′（2）＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
4．（5分）已知向量，且∥，则x+y＝（ ）
A．﹣6B．﹣3C．3D．6
【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【答案】C
【分析】根据空间向量共线的坐标运算即可求解．
【解答】解：由题意，，，
因为∥，所以，
得x＝﹣6，y＝9，所以x+y＝3．
故选：C．
【点评】本题考查空间向量共线的坐标运算，属基础题．
5．（5分）已知条件p：|x+1|≤2，条件q：﹣3≤x≤2，则p是q的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
【考点】充分条件与必要条件．
【答案】B
【分析】根据绝对值不等式的性质，解出命题p，再根据必要条件、充分条件的定义进行判断；
【解答】解：∵条件p：|x+1|≤2，
∴﹣3≤x≤1，
∵条件q：﹣3≤x≤2，
∴p⇒q，反之不能，
∴p是q的充分不必要条件，
故选：B．
【点评】本题以绝对值不等式的求解问题为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
6．（5分）若动点M（x，y）满足5＝|3x﹣4y+12|，则点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【考点】轨迹方程．
【答案】D
【分析】由已知结合抛物线的定义即可求解．
【解答】解：因为动点M（x，y）满足5＝|3x﹣4y+12|，
所以＝，
所以M到点（1，2）与到直线3x﹣4y+12＝0的距离相等，
则点M的轨迹是以（1，2）为焦点，以3x﹣4y+12＝0为准线的抛物线．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义在轨迹求解中的应用，属于中档题．
7．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的2π倍的正四棱锥，现将一个棱长为6的正方体铜块，熔化铸造一些高为4的胡夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出（ ）个该金字塔模型（不计损耗）？
A．3B．4C．5D．6
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【答案】B
【分析】求得正四棱锥P﹣ABCD的高及底面边长，求得正四棱锥P﹣ABCD的体积，根据，即可求得k＜4.1，因此可得铜块最多能铸造出4个该金字塔模型．
【解答】解：在正四棱锥P﹣ABCD中，令AC∩BD＝O，连接PO，
则正四棱锥P﹣ABCD的高为|PO|＝4，
设正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为a，则4a＝2π•|PO|＝8π，即a＝2π，
所以，正四棱锥P﹣ABCD的体积为，
则可得，则
该铜块最多能铸造出4个该金字塔模型．
故选：B．
【点评】本题考查棱锥的体积公式及应用，考查转化思想，等体积法，属于基础题．
8．（5分）已知A，B是椭圆＝1（a＞b＞0）长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0）．若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】B
【分析】设出点P，Q，A，B的坐标，表示出直线AP，BQ的斜率，作和后利用基本不等式求最值，利用离心率求得a与b的关系，则答案可求．
【解答】解：设P（t，s），Q（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），
k1＝，k2＝﹣，
|k1|+|k2|＝||+|﹣|≥2＝2，
当且仅当，即t＝0时等号成立．
∵A，B是椭圆＝1（a＞b＞0）长轴的两个端点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的两点，P（t，s），Q（t，﹣s），即s＝b，
∴|k1|+|k2|的最小值为，
∵椭圆的离心率为，
∴，即，得a＝b，
∴|k1|+|k2|的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的基本性质和基本不等式的应用，考查运算求解能力，是中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）已知曲线C的方程为＝1（k∈R），则下列结论正确的是（ ）
A．当k＝2时，曲线C为圆
B．当k＝﹣2时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
C．“0＜k＜2”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件
D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为
【考点】曲线与方程．
【答案】AC
【分析】结合曲线方程，通过k的取值，判断选项的正误即可．
【解答】解：当k＝2时，曲线C的方程为＝1为x2+y2＝2，表示圆，所以A正确；
当k＝﹣2时，曲线C为，是双曲线，其渐近线方程为y＝x，所以B不正确；
“0＜k＜2”推出“曲线C表示椭圆”，反之不成立，所以“0＜k＜2”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件，所以C正确；
曲线C为双曲线，其离心率为，必须满足﹣k＝4﹣k，这样的实数不存在，所以D不正确；
故选：AC．
【点评】本题考查曲线与方程的应用，双曲线与椭圆以及圆的方程的应用，是基础题．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点，点P是线段C1D上的动点，AA1＝2，则下列选项正确的是（ ）
A．直线AP与B1E是异面直线
B．三棱锥A1﹣AB1E的体积为
C．过点C作平面AEB1的垂线，与平面AB1C1D交于点Q，若，则Q∈AP
D．点P到平面AEB1的距离是一个常数
【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线的判定．
【答案】ACD
【分析】利用异面直线的定义判断选项A；利用三棱锥A1﹣AB1E的体积为V＝V，即可判断选项B；建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解，即可判断选项C；利用C1D∥平面AEB1即可判断选项D．
【解答】解：对于A，如图，AP⊂平面AB1C1D，B1E∩平面AB1C1D＝B，
故直线AP与B1E不平行，且B1∉AP，
故直线AP与B1E不相交，所以直线AP与B1E是异面直线，故选项A正确；
对于B，三棱锥A1﹣AB1E的体积为V＝V，因为E到面A1AB1的距离为2，所以V，＝＝，故错．
对于C，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B1（2，2，2），E（0，0，1），C（0，2，0），
＝（0，2，2），＝（﹣2，0，1），
因为，则P（0，，），＝（﹣2，，），
设存在Q∈AP，设＝＝（﹣2λ，，），
则Q（﹣2λ+2，，），＝（﹣2λ+2，，）
因为CQ⊥平面AEB1，所以，解得，满足条件，故选项C正确；
对于D，在正方体中，C1D∥AB1，因为AB1⊂平面AEB1，C1D⊄平面AEB1，
所以C1D∥平面AEB1，又P∈C1D，
故点P到平面AEB1的距离是一个常数，故选项D正确；
故选：ACD．
【点评】考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于难题．
11．（6分）设函数f（x）＝xln2x+x的导函数为f′（x），则（ ）
A．f′（）＝0
B．x＝是f（x）的极值点
C．f（x）存在零点
D．f（x）在（，+∞）单调递增
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【答案】AD
【分析】求出定义域，再求导，计算即可判断选项A，由导函数f′（x）＝ln2x+2lnx+1＝（lnx+1）2≥0，即可判断选项B、D，由f（x）＞0，即可判断选项C，从而可得结论．
【解答】解：由题可知f（x）＝xln2x+x的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝ln2x+2lnx+1，
所以f′（）＝ln2+2ln+1＝0，故A正确；
f′（x）＝ln2x+2lnx+1＝（lnx+1）2≥0，
故函数f（x）单调递增，故无极值点，故B错误，D正确，
f（x）＝xln2x+x＝x（ln2x+1）＞0，故函数f（x）不存在零点，故C错误．
故选：AD．
【点评】本题主要考查导数的应用，导数的运算，利用导数求函数的单调性与极值，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）已知双曲线﹣＝1的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|ON|＝ 4 ．
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用ON是△MF1F2的中位线，ON＝MF1，再由双曲线的定义求出MF1，进而得到ON的值．
【解答】解：连接MF1，ON是△MF1F2的中位线，∴ON∥MF1，ON＝MF1，
∵由双曲线的定义知，MF2﹣MF1＝2×5，∴MF1＝8．
∴ON＝4，
故答案为：4．
【点评】本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的定义，考查三角形中位线的性质，属于基础题．
13．（5分）为了估计某产品的使用寿命，从中随机抽取100件，在相同的条件下进行试验．根据试验所得到的样本数据，绘出频率分布直方图，如图所示．若根据样本估计总体，则总体数据落在[700，900]内的概率约为 0.6 ．
【考点】频率分布直方图的应用．
【答案】0.6．
【分析】利用频率分布直方图能求出结果．
【解答】解：总体数据落在[700，900]内的概率约为：
P＝（0.0020+0.0040）×100＝0.6．
故答案为：0.6．
【点评】本题考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知矩形ABCD，CD＝4AD＝4，过CD作平面α，使得平面ABCD⊥α，点P在α内，且AP与CD所成的角为，则点P的轨迹为 双曲线 ，BP长度的最小值为 6 ．
【考点】轨迹方程；平面与平面垂直．
【答案】见试题解答内容
【分析】建立空间直角坐标系，设点P坐标，结合已知条件求出P点轨迹方程进行求解即可．
【解答】解：如图，以D为原点，DC所在直线为x轴，平面α内过D且与CD垂直的直线为y轴，DA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则由已知，D（0，0，0），，，，
∵点P在平面α内，
∴设P（x，y，0），则，，
∵直线AP与直线CD所成的角为，
∴＝，
两边同时平方，化简得P点轨迹方程为，
∴点P的轨迹为双曲线．
＝，
∵P点轨迹方程为，
∴y2＝3x2﹣3，且x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
∴＝，
∴当时，|BP|的最小值为，
故答案为：双曲线，6．
【点评】本题主要考查轨迹方程和空间中两点间距离，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（12分）抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点M（1，y0）到抛物线C的焦点F的距离为2，A，B（不与O重合）是抛物线C上两个动点，且OA⊥OB．
（1）求抛物线C的标准方程及线段AB的最小值；
（2）x轴上是否存在点P使得∠APB＝2∠APO？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．
【答案】（1）抛物线C的标准方程为C：y2＝4x，线段AB的最小值为8；
（2）x轴上存在点P使得∠APB＝2∠APO，点P（﹣4，0）．
【分析】（1）由已知可得，可求p，设直线OA方程为：y＝kx（k≠0），可求A的坐标，同理可得B的坐标，可求|AB|的最小值；
（2）由∠APB＝2∠APO得∠OPA＝∠OPB，假定在x轴上存在点P使得∠OPA＝∠OPB，可得，进而得（k2﹣1）（x0+4）＝0，可求定点坐标．
【解答】解：（1）∵点M（1，y0）到抛物线C的焦点F的距离为2，
∴，解得P＝2，
则抛物线C的标准方程为C：y2＝4x，
依题意知，直线OA与直线OB的斜率存在，设直线OA方程为：y＝kx（k≠0），
由OA⊥OB得，直线OB方程为：y＝﹣x，由，得点，同理可得点B（4k2，﹣4k），
则|AB|＝＝4，
令，则，函数f（t）＝t2+t﹣2在区间[2，+∞）单调递增，
所以f（t）min＝f（2）＝4，则，所以线段AB的最小值为8；
（2）假定在x轴上存在点P使得∠OPA＝∠OPB，
由∠APB＝2∠APO得∠OPA＝∠OPB，设点P（x0，0），
则直线PA斜率，直线PB斜率，
由∠OPA＝∠OPB得kPA+kPB＝0，则有，即，
整理得（k2﹣1）（x0+4）＝0，
显然当x0＝﹣4时，对任意不为0的实数k，（k2﹣1）（x0+4）＝0恒成立，
即当x0＝﹣4时，kPA+kPB＝0恒成立，∠OPA＝∠OPB恒成立，
所以，x轴上存在点P使得∠APB＝2∠APO，点P（﹣4，0）．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．
16．（15分）已知四棱锥E﹣ABCD的底面为直角梯形∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝CE＝AB＝2，△EAB是以AB为底边的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求证：CE⊥AB；
（Ⅱ）若H为△EAD的垂心，求二面角H﹣EC﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【答案】（Ⅰ）证明过程请看解答；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）取AB的中点F，连接EF、CF，易推出CF⊥AB；由等腰三角形的性质可知EF⊥AB；再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可得证．
（Ⅱ）以D为原点，DA、DC所在直线为x、y轴，作Dz⊥面ABCD，建立空间直角坐标系，通过计算线段长可推出EF＝CE＝CF＝2，即△CEF是等边三角形，从而得点E的坐标；设EH与AD交于点G，则二面角H﹣EC﹣B与二面角G﹣EC﹣B相等，可求得DE＝AE，于是G为AD的中点，从而得G的坐标；再根据法向量的性质求出平面GCE和平面BCE的法向量与；最后由cs＜，＞＝即可得解．
【解答】（Ⅰ）证明：取AB的中点F，连接EF、CF，则AF∥CD，AF＝CD，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∴AD∥CF，∴∠CFB＝∠DAB＝90°，即CF⊥AB．
∵△EAB是以AB为底边的等腰直角三角形，
∴EF⊥AB．
又CF∩EF＝F，CF、EF⊂平面CEF，
∴AB⊥平面CEF，
∵CE⊂平面CEF，
∴CE⊥AB．
（Ⅱ）解：以D为原点，DA、DC所在直线为x、y轴，作Dz⊥面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，2，0），D（0，0，0），
在等腰Rt△EAB中，AE＝，EF＝AB＝2＝CE，
由（Ⅰ）知，四边形ADCF为平行四边形，∴CF＝AD＝2，
∴△CEF是边长为2的等边三角形，点E（1，2，）．
设EH与AD交于点G，则二面角H﹣EC﹣B与二面角G﹣EC﹣B相等，
∵H为△EAD的垂心，∴EG⊥AD．
由（Ⅰ）知CE⊥AB，而CD∥AB，∴CE⊥CD，∴DE＝＝AE，
∴G为AD的中点，点G（1，0，0）．
∴＝（1，0，），＝（﹣1，2，0），＝（﹣2，﹣2，0），
设平面GCE的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令z＝2，则x＝，y＝﹣，∴＝（，﹣，2）．
同理可得，平面BCE的法向量＝（﹣，，1）．
∴cs＜，＞＝＝＝．
由图可知，二面角H﹣EC﹣B为锐二面角，
故二面角H﹣EC﹣B的余弦值为．
【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握空间中线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17．（15分）已知椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求线段AB长度的最大值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征．
【答案】（1）；（2）2．
【分析】（1）根据题圆的几何性质，方程思想，即可求解．
（2）写出△AOB的面积S的表达式，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过①当AB⊥x轴时，求出面积；
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m（显然k≠0），通过直线与圆相切，得到关系式，直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式及基本不等式，即可求解．
【解答】解：（1）由题设：，a2＝b2+c2，
解得a2＝3，b2＝1，
∴椭圆C的方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
①当AB⊥x轴时，．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx+m（显然k≠0），
由已知，得，
把y＝kx+m代入椭圆方程消去y，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，，
＝
＝
＝，
∴|AB|≤2，
当且仅当即时等号成立．又当AB⊥x轴时，，
故|AB|max＝2．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的应用以及直线与圆相切的性质，考查分析问题、解决问题的能力，是中档题．
18．（17分）“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年．“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程．国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到2025年全国水产品年产量达到6900万吨.2018年至2021年全国水产品年产量y（单位：千万吨）的数据如下表：
（1）求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年水产品年产量能否实现目标；
（2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了2019年全国32个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过90万吨的地区有14个，有渔业科技推广人员高配比（配比＝渔业科技推广人员总数：渔业从业人员总数）的地区有16个，其中年产量超过90万吨且高配比的地区有4个，能否有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，
参考数据，
【考点】经验回归方程与经验回归直线．
【答案】（1）y＝0.076x++6.355；
（2）有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．
【分析】（1）先求出，的值，再利用公式求出β，α的值，从而得到y关于x的线性回归方程；
（2）根据题意列出业科技推广人员配比和年产量之间的2×2列联表，根据公式计算K2的值，再与临界值比较即可得到结果．
【解答】解：（1）由题意可得＝12+22+32+42＝30，
又因为＝＝，，，
所以β＝＝＝0.076，
所以α＝＝6.545﹣0.076×＝6.355，
所以y关于x的线性回归方程为y＝0.076x++6.355；
（2）由题意得，渔业科技推广人员配比和年产量之间的2×2列联表如下：
所以K2＝＝4.571＞3.841，
故有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了独立性检验的应用，属于中档题．
19．（17分）已知函数f（x）＝xex，g（x）＝ax+1+alnx．
（Ⅰ）当a≠0时，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）若a＝1，求证：f（x）≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【答案】（Ⅰ）当a＞0时，g（x）在（0，+∞）递增，当a＜0时，g（x）在（0，+∞）递减；
（Ⅱ）详见证明过程．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）代入a的值，问题转化为ex+lnx≥x+lnx+1在x∈（0，+∞）上恒成立，令t＝x+lnx，转化为求证et≥t+1在t∈R上恒成立，构造函数h（t）＝et﹣t﹣1，t∈R，根据函数的单调性证明结论成立即可．
【解答】解：（Ⅰ）g（x）＝ax+1+alnx，x∈（0，+∞），
∴g′（x）＝a+＝a（1+），
∴当a＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，
当a＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）递减；
证明：（Ⅱ）a＝1时，g（x）＝x+1+lnx，
要证原不等式成立，
即证：xex≥x+1+lnx对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∵x＝elnx，∴xex＝ex+lnx，
只需证明：ex+lnx≥x+lnx+1在x∈（0，+∞）上恒成立，
令t＝x+lnx，则t在（0，+∞）上单调递增且t∈R，
即转化为求证et≥t+1在t∈R上恒成立，
构造函数h（t）＝et﹣t﹣1，t∈R，∵h′（t）＝et﹣1，
∴当t∈（﹣∞，0）时，h′（t）＜0，h（t）递减，
当t∈（0，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）递增，
∴h（t）≥h（0）＝0，即et≥t+1，
综上，当a＝1时，f（x）≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题．
年份
2018
2019
2020
2021
年份代号x
1
2
3
4
总产量y
6.46
6.48
6.55
6.69
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
年份
2018
2019
2020
2021
年份代号x
1
2
3
4
总产量y
6.46
6.48
6.55
6.69
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
渔业科技推广人员配比
渔业科技推广人员配比
合计
年产量超过90万吨
4
10
14
年产量未超过90万吨
12
6
18
合计
16
16
32