安徽省江南十校2024-2025学年高一上学期12月分科诊断联考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省江南十校2024-2025学年高一上学期12月分科诊断联考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知命题，则它的否定为( )
A.，B.，
C.，D.，
2．已知集合，若且，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．若，，则( )
A.B.C.D.
4．设函数若，则实数a的值等于( )
A.B.C.2D.
5．已知幂函数（为常数）具有性质：①定义域为，②图象关于y轴对称，则的可能取值为( )
A.B.C.2D.
6．已知，且，若，，则( )
A.B.C.D.
7．定义在上的函数可表示为一个奇函数与偶函数的和，则不等式的解为( )
A.B.C.D.
8．已知，，，，则下列不等式成立的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．如图，U是全集，M，N是U的两个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A.B.C.D.
10．德国数学家狄利克雷（，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.例如，下列说法正确的是( )
A.B.为偶函数
C.的值域为D.是函数的一条对称轴
11．已知函数若函数有零点，记为，，，…，，且，则下列结论正确的是( )
A.
B.任意直线都与函数的图象有交点
C.当时，的取值范围为
D.当时，的取值范围为
三、填空题
12．化简：________.
13．函数的单调递减区间是________.
14．记，，中的最大者为，则的最小值为________.
四、解答题
15．已知函数的定义域为A，集合.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.
16．已知函数.
（1）若函数具有奇偶性，试求实数a的值；
（2）若函数为奇函数，判断函数的单调性，并证明.
17．某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且，.
（1）求实数a，b，c的值；
（2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润.
18．已知二次函数图象经过，且不等式的解集为.
（1）求函数的表达式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
19．如果函数的每一个函数值y都有唯一的自变量x和它对应，则函数有反函数，记为.定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“a和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“a积性质”.
令，则，解得，即.
又函数的值域为R，故其反函数为.
（1）求函数的反函数；
（2）判断函数是否满足“a积性质”，并说明理由；
（3）求所有满足“2025和性质”的一次函数.
参考答案
1．答案：D
解析：命题的否定既要变换量词，又要否定动词，故选D.
2．答案：A
解析：由且，得解得，故选A.
3．答案：C
解析：对于选项A，ab符号及是否为零不定，故不正确；
对于B，时，命题不成立；
对于C，由，得，从而，故C选项正确；
对于D，a，b，c，d符号不定，因此D选项不正确，故选A.
4．答案：B
解析：由得，则，从而，解得，故选B.
5．答案：B
解析：由幂函数的性质描述知其为偶函数且，故选B.
6．答案：C
解析：由，，得，，因此，，从而，所以，故选C.
7．答案：D
解析：函数的定义域关于原点对称，
可得，即，即定义域为.
又，从而有，即，
解得，是上的减函数.
又函数为奇函数，故，
因此解得，故选D.
8．答案：A
解析：定义域为R，有，
故为偶函数，
则，
当时，有，故在上单调递增，
而，
又，即，因此，故选A.
9．答案：AC
解析：由阴影部分位置，易知AC选项正确.
10．答案：BD
解析：因为，故选项A错误；
当时，，因此；当时，同理有，
因此对，均有，故为偶函数，因此选项B正确：
因为，所以，因此函数的值域为，选项C错误；
当时，；当时，，因此恒有，选项D正确.
11．答案：ACD
解析：如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象，由图象知，有交点，则，选项A正确：
过点，作直线，其与函数图象没有交点，故选项B不正确；
当时，，
由，得，则.
由，知，从而；
对于C，，因此选项C正确：
对于D，，则
，所以D正确.
故选ACD.
12．答案：18
解析：.
13．答案：或.
解析：设，由可得，或，记函数，
由在单调递减，在单调递增，
而在上为增函数，故函数的单调递减区间是.
14．答案：3
解析：作出3个函数图象如图1所示，则如图2所示，可知的最小值为与交点的纵坐标，可求得，故.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由可得.
当时，或，故.
（2）因为""是""的必要不充分条件，所以.
当，即时，或，满足题意.
当时，或，，
要使得，则解得；
当时，或，，
要使得，则解得.
综上所述，a的取值范围为
16．答案：（1）；
（2）是R上的增函数
解析：（1）若函数为偶函数，则，，
即恒成立，则；
若函数为奇函数，则，，
即恒成立，则.
综上知，函数具有奇偶性时，.
（2）函数为奇函数时，是R上的增函数，证明如下：
由(I)知函数为奇函数时，，此时.
设，，
，，则，，，
故是R上的增函数.
17．答案：（1），，；
（2）项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元
解析：（1）由，，
可得解得
故，.
（2）设项目甲研发投入资金为x万元，则项目乙投入万元，投资收益为y，则，，
所以
，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元.
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由题知不等式的解集为，
可设，即
又，解得.
故.
（2）由（1）知，
则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，，，
因此函数的值域为.
不等式可化为，
而，故恒成立
恒成立的最大值.
令，，
则，
函数在区间上单调递增，而，所以，
故实数m的取值范围为.
19．答案：（1）；
（2）函数满足"a积性质"；
（3）
解析：（1）令，
可知函数在区间上单调递增，故.
又，则，即.
故函数的反函数为
（2）由，得，
则函数的反函数为，
因此.
再令，可得，
因此函数的反函数为，与是同一函数，
故函数满足"a积性质".
（3）设函数满足"2025和性质".
由，得，则，.
而，得反函数，
由"和性质"定义可知对恒成立.
，，即所求一次函数.