备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点10 函数模型及其应用（附解析）

这是一份备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点10 函数模型及其应用（附解析），共23页。学案主要包含了常见的函数模型，几类函数模型的增长差异，函数模型的应用等内容，欢迎下载使用。
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
一、常见的函数模型
二、几类函数模型的增长差异
三、函数模型的应用
解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：
（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.
用框图表示如下：
数学问题
实际问题
建模
审题、转化、抽象
问题 解决 解模 运算
实际问题结论
数学问题答案
还原
结合实际意义
考向一 二次函数模型的应用
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
典例1 山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.
（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式；
（2）李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】（1）由题意得，y与x之间的函数关系式为：y=(10+0.5x)(2000-6x) =-3x2+940x+20000(1≤x≤110).
（2）由题意得，(-3x2+940x+20000)-(10×2000+340x)=22500，
化简得，x2-200x+7500=0，
解得x1=50，x2=150（不合题意，舍去）.
因此，李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放50天后出售.
（3）设利润为W，则由（2）得，W=(-3x2+940x+20000)-(10×2000+340x)
=-3x2+600x=-3(x-100)2+30000，
因此当x=100时，Wmax=30000.
又因为100∈(0,110)，
所以李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润，为30000元.
1．根据调查，某地区有300万从事传统农业的农民，人均年收入6000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作.据估计，如果有x(x>0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为6000a(1≤a≤3)元．
（1）在建立加工企业后，多少农民进入企业工作，能够使剩下从事传统农业农民的总收入最大，并求出最大值；
（2）为了保证传统农业的顺利进行，限制农民进入加工企业的人数不能超过总人数的，当地政府如何引导农民，即x取何值时，能使300万农民的年总收入最大．
考向二 指数函数、对数函数模型的应用
（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.
（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.
典例2 一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林面积为.
（1）求p%的值;
（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
（3）今后最多还能砍伐多少年?
【解析】（1）由题意得,即,
解得 .
（2）设经过m年，森林面积变为,
则,即，解得m=5,
故到今年为止,已砍伐了5年.
（3）设从今年开始,以后还可砍伐n年,则n年后的森林面积为,
令,即,,,解得n≤15,
故今后最多还能砍伐15年.
典例3 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系为．已知后消除了的污染物，试求：
（1）后还剩百分之几的污染物．
（2）污染物减少所需要的时间．（参考数据：，，）
【解析】（1）由，可知时，，
当时，，
所以，
当时，，
所以个小时后还剩的污染物．
（2）当时，有，
解得，
所以污染物减少所需要的时间为个小时．
2．在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：ml/L，记作[H+]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：ml/L，记作[OH-]）的乘积等于常数10-14.已知pH值的定义为pH=-lg[H+]，健康人体血液pH值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的可以为
（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．5 B．7
C．9 D．10
3．从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度f(t)(单位：米)与生长年限t（单位：年，tN*）满足如下的逻辑斯蒂函数：，其中e为自然对数的底数.设该树栽下的时刻为0.
（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）
（2）在第几年内，该树长高最快？
考向三 分段函数模型的应用
（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．
（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
典例4 某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完.据统计，线上日销售量ft、线下日销售量gt（单位：件）与上市时间tt∈ N*天的关系满足：ft= 10t, 1≤t≤10，-10t+200, 10