备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点40 抛物线（附解析）

这是一份备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点40 抛物线（附解析），共31页。学案主要包含了抛物线的定义和标准方程，抛物线的几何性质等内容，欢迎下载使用。
（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
一、抛物线的定义和标准方程
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
2．抛物线的标准方程
（1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为；
（2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为；
（3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为；
（4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为.
注意：抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p＜0的错误.
二、抛物线的几何性质
1．抛物线的几何性质
2．抛物线的焦半径
抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径．
根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：
3．抛物线的焦点弦
抛物线的焦点弦即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．
焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB为焦点弦，，，则
其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径．
对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为2p．
4．必记结论
直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4).
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.
（3）eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值eq \f(2,p).
（4）弦长AB＝eq \f(2p,sin2α)(α为AB的倾斜角)．
（5）以AB为直径的圆与准线相切．
（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
考向一 抛物线的定义和标准方程
1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F（抛物线的焦点），一条定直线l（抛物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）.
2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化．
典例1 设定点，动圆过点且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，动圆圆心到定点与到定直线的距离相等，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，则方程为.
故选A.
【名师点睛】本题考查抛物线的定义，属于简单题.由题意，动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，求得，即可得到答案.
典例2 已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为
A．（）B．（0，）
C．（2）D．（0，2）
【答案】A
【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到准线的最小距离为，就是顶点到焦点的距离是，即，
则抛物线的焦点坐标为（，0）．
故选A．
【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程，属于基础题．抛物线上的点到准线的最小距离即为顶点到焦点的距离，进而列方程求解即可.
1．已知，抛物线：的焦点为，与抛物线在第一象限的交点为，且，则________．
考向二 求抛物线的标准方程
1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：
若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.
典例3 若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为43,则该抛物线的方程是
A．y2=x B．y2=3x
C．y2=23x D．y2=x
【答案】A
【解析】根据对称性,可知AB⊥x轴,由于正三角形OAB的面积是43,故AB2=43,故AB=4,正三角形OAB的高为23,故可设点A的坐标为(23,2),代入抛物线方程得4=43p,解得p=,故所求抛物线的方程为y2=
x.
典例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程．
（1）过点；
（2）焦点在直线上．
【解析】（1）设所求抛物线的方程为或．
∵过点，∴或，∴或.
故所求抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.
（2）令得；令得，
∴抛物线的焦点为或．
当焦点为时，，∴，此时抛物线的方程为；
当焦点为时，，∴，此时抛物线的方程为.
故所求抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.
2．已知直线l过点且与x轴垂直，则以直线l为准线、顶点在原点的抛物线的方程是
A．B．
C．D．
考向三 抛物线的简单几何性质及其应用
确定及应用抛物线性质的关键与技巧：
(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.
典例5 已知等腰三角形OPM中，OP⊥MP，O为抛物线=2px(p>0)的顶点，点M在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，则点P与抛物线的焦点F之间的距离是
A．2p B．p
C．2p D．p
【答案】B
【解析】由题意得因此点P与抛物线的焦点F之间的距离为，选B.
【名师点睛】（1）凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．（2）解答本题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．
3．抛线的焦点为，准线为，与轴的交点为，点在上，直线的倾斜角为，且，则的面积为
A．B．
C．D．
考向四 焦点弦问题
与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键.
典例6 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1)，B(x2，y2)，若|AB|=7，求AB的中点M到抛物线准线的距离.
【解析】抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=－1.
由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,即x1+x2+2=7,得x1+x2=5,
于是弦AB的中点M的横坐标为,
因此点M到抛物线准线的距离为.
典例7 已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10）的焦点为F,准线方程是x=-1.
（1）求此抛物线的方程;
（2）设点M在此抛物线上,且|MF|=3,若O为坐标原点,求的面积.
17．已知M,N是焦点为F的抛物线上两个不同的点,线段MN的中点A的横坐标为.
（1）求|MF|+|NF|的值;
（2）若p=2,直线MN与x轴交于点B,求点B的横坐标的取值范围.
18．已知抛物线和的焦点分别为，点且为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，求面积的最小值．
1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
2．（2018新课标I理）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A．5 B．6
C．7 D．8
3．（2017新课标全国I理科）已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16B．14
C．12D．10
4．（2017新课标全国II理科）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_______________．
5．（2018新课标Ⅲ理）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
6．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
7．（2019年高考北京卷理数）已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
8．（2019年高考浙江卷）如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记的面积分别为．
（1）求p的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点G的坐标．
9．（2018新课标Ⅱ理）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
变式拓展
1．【答案】1
【解析】由题意，抛物线：的焦点为，准线方程为，
联立方程得，可得，
根据抛物线的定义可得，解得．
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中联立方程，求得点的坐标，合理利用抛物线的定义列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】依题意，设抛物线的方程为：，
准线方程为，
，
，
抛物线的方程是．
故选B．
【名师点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线方程的求法，属于基础题.利用抛物线的性质可知该抛物线的形式为：，依题意可求p的值，从而可得答案．
3．【答案】B
【解析】由直线的倾斜角为，得，.
∴==2，故的面积为.
故选B.
【名师点睛】本题考查了抛物线的性质，向量数量积，三角形面积公式，考查转化能力，属于基础题．
4．【答案】B
【解析】抛物线的准线方程是，所以，，，故选B.
【名师点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及过焦点弦的弦长求法.依据抛物线的定义，可以求出点A，B到准线距离，即可求得的长.
5．【答案】B
【解析】如图所示，利用抛物线的定义知：，
当三点共线时，的值最小，且最小值为，
抛物线的准线方程：，，
，.
本题正确选项为B.
【名师点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.
专题冲关
1．【答案】A
【解析】由抛物线方程可知：，焦点坐标为：.
本题正确选项为A.
【名师点睛】本题考查根据抛物线方程求解焦点坐标，属于基础题.
2．【答案】C
【解析】若“”，则中的，所以“抛物线的焦点在轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线的焦点在轴正半轴上”，则中的，即，则“”成立，故是充分必要条件.
故答案为C.
【名师点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断.
3．【答案】B
【解析】抛物线y2＝4x，，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，，即有，.
故选B.
【名师点睛】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法，抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解.
4．【答案】A
【解析】依题意 设圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝32，抛物线的焦点，
半径为3的圆过抛物线的顶点O和焦点F，则圆心到点F的距离等于到准线的距离，
所以，解得＝4，
因此抛物线的方程为：y2＝8x．故选A.
【名师点睛】本题考查了圆的标准方程和抛物线的性质，属于基础题．求解时，设出圆的标准方程，代入原点和焦点可解得p＝4．
5．【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为x=，当MQ∥x轴时，|MQ|-|QF|取得最小值，此时|MQ|-|QF|=|2+3|-|2+|=.
6．【答案】D
【解析】①若，即点在直线上，解得，所以的周长为；
②若，设，所以，解得，所以，所以的周长为.
故选D.
【名师点睛】本题考查抛物线的性质.由题意可知，满足要求的点有两个，所以进行分类讨论.本题的关键就是求出的坐标，求出周长，所以只需设出的坐标，结合各自的等量关系，求坐标，得到周长.
7．【答案】A
【解析】设直线AB的方程为y=−x+b，代入得2x2+x−b=0，∴x1+x2=−，x1x2==−．
∴b=1，即AB的方程为y=−x+1．
设AB的中点为M（x0，y0），则x0==−，代入y0=−x0+1，得y0=．
又M（−，）在y=x+m上，∴=−+m．∴m=．
故答案为A.
【名师点睛】这是属于圆锥曲线中的中点弦问题，可以联立，由根与系数的关系得到中点坐标，代入已知直线.还有解决中点弦问题和对称问题，可以利用点差法，由两式作差直接得中点坐标和直线斜率的关系.
8．【答案】A
【解析】设，则，
由得
，
因为，所以，
因此，
从而，
故选A.
【名师点睛】本题考查向量数量积以及抛物线定义，考查基本分析求解能力，属中档题.求解时，设出坐标，根据向量数量积以及抛物线定义化简条件，即得结果.
9．【答案】B
【解析】作出图形如下图所示，过点作，垂足为.设，因为，故，，由抛物线定义可知，，则，故.四边形的面积，解得，故抛物线的方程为.
故选B.
【名师点睛】本题考查抛物线的定义与方程，考查运算求解能力、推理论证能力以及数形结合思想.
10．【答案】A
【解析】设直线与轴相交于点，与直线相交于点，，
设，因为，所以，
所以，解得：，设，由焦半径公式得：，
所以，，
所以，
所以点到直线的距离为.故选A.
【名师点睛】解析几何问题中，如果能充分挖掘条件中的几何性质，能使运算量大大减少，节省运算时间.由直线的斜率得到直线的倾斜角为，利用直角三角形角对边等于斜边的一半，求得焦半径，进而求出点的坐标，再利用几何法求出点到直线的距离.
11．【答案】4
【解析】由椭圆知，，，
所以椭圆的右焦点坐标为，又抛物线的焦点坐标为，即有，解得.
【名师点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的性质的应用，由标准方程求焦点坐标.依据抛物线的性质以及椭圆的性质求出焦点坐标，由题意列出方程，即可求出.
12．【答案】10
【解析】由抛物线的定义可得，依据题设可得，则（舍去负值），故，应填.
13．【答案】
【解析】如图，，，，，，
，
，，
，解得：，
故答案为．
【名师点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思想，属于中档题．画出图形，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即得p的值.
14．【答案】2
【解析】依题意得焦点F的坐标为(a4,0),设M在抛物线的准线上的射影为K,连接MK,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,因为|FM|∶|MN|=1∶3,所以|KN|∶|KM|=22∶1,又,kFN=-|KN||KM|=-22,所以=22,解得a=2.
15．【答案】
【解析】如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，
由抛物线的定义可设：，
由勾股定理可知：，
由梯形中位线的性质可得：，
则，当且仅当时等号成立.
即的最小值为.
【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.
16．【解析】（1）因为抛物线的准线方程为x=-1，
所以，得p=2.
所以抛物线的方程为 y2=4x.
（2）设M(x0,y0),
因为点M(x0,y0)在抛物线上,且|MF|=3,
由抛物线定义知，得x0=2.
由在抛物线上,满足抛物线的方程y2=4x,知，
所以的面积为.
17．【解析】（1）设,则,
而,,
∴.
（2）当p=2时,抛物线方程为.
①若直线MN的斜率不存在,则B(3,0).
②若直线MN的斜率存在,设A(3,t)(t≠0),则由(1)知，整理得,
∴,即,
∴直线,
∴B点的横坐标为,
由消去x得,
由Δ>0得0