备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点38 椭圆（附解析）

这是一份备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点38 椭圆（附解析），共35页。学案主要包含了椭圆的定义，椭圆的标准方程，椭圆的图形及其简单几何性质，必记结论等内容，欢迎下载使用。
（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
（3）了解椭圆的简单应用.
（4）理解数形结合的思想.
一、椭圆的定义
平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.
定义式：.
要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.
二、椭圆的标准方程
焦点在轴上，；
焦点在轴上，.
说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.
三、椭圆的图形及其简单几何性质
i)图形
焦点在轴上 焦点在轴上

ii)
注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.
求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.
四、必记结论
1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．
2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为4A．
考向一 椭圆定义的应用
1．椭圆定义的集合语言:往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.
以椭圆 上一点和焦点F1 (－c，0)，F2 (c，0)为顶点的中，若，注意以下公式的灵活运用：
（1）；
（2）；
（3）.
2．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.
典例1 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上．
（1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为________________；
（2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为________________；
（3）若，则点P到焦点F1的距离为________________．
【答案】（1）3；（2）8；（3）．
【解析】由椭圆的标准方程可知：，，
故，，．
（1）由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，
又|PF1|＝1，所以|PF2|＝4－1＝3．
（2）的周长
．
（3）在中，由余弦定理可得，
即，
由椭圆的定义可得，
两式联立解得．

1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的周长为，则的值是
A．B．
C．D．
考向二 求椭圆的标准方程
求椭圆的方程有两种方法:
（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.
第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.
第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.
典例2 椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2，0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a=2b，
又椭圆经过点(2，0)，
则若焦点在x轴上，则a =2，b=1，椭圆方程为;
若焦点在y轴上，则a=4，b=2，椭圆方程为，故选C．
2．已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，且，则的方程为
A．B．
C．D．
考向三 椭圆的几何性质及应用
1．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了.
2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：
（1）求出a，c，代入公式.
（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

典例3 已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m，(m>0)，则此椭圆的离心率为
A．eq \f(1,3) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(1,2)
【答案】B
【解析】由题意，得椭圆的标准方程为eq \f(x2,\f(m,2))＋eq \f(y2,\f(m,3))＝1，∴a2＝eq \f(m,2)，b2＝eq \f(m,3)，∴c2＝a2－b2＝eq \f(m,6)，
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,3)，即e＝eq \f(\r(3),3).故选B．
3．已知椭圆(a＞b＞0)的两焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是_____．
1．椭圆：的焦距为
A． B．2
C． D．1
2．“”是“方程表示椭圆”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．已知椭圆上的一点P到左焦点F1的距离为6，点M是线段的中点，O为坐标原点，则|OM|=
A．3 B．4
C．7 D．14
4．已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为
A．B．
C．D．
5．已知椭圆C的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长是短轴长的2倍，抛物线y2=-8x的焦点与椭圆C的一个顶点重合，则椭圆C的标准方程为
A． B．
C．或 D．或
6．已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈(，1)，则实数m的取值范围是
A．(0，) B．(，+∞)
C．(0，)∪(，+∞) D．(，1)∪(1，)
7．已知点，.若椭圆上存在点，使得为等边三角形，则椭圆的离心率是
A．B．
C．D．
8．若椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于点，则
A．B．
C．D．
9．已知点M是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且满足MF1·MF2=0，则的面积为
A．1 B．3
C．2 D．4
10．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为
A． B．
C． D．
11．已知是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为过的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为
A．B．
C．D．
12．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为
A． B．
C． D．
13．已知、为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在四个不同点满足的面积为，则椭圆的离心率的取值范围为
A．B．
C．D．
14．若椭圆的一个焦点坐标为(0，2)，则实数=__________．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与椭圆相切，则椭圆的长轴长是__________．
16．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若为正三角形，则椭圆的离心率为 .
17．如图，A，B分别为椭圆的左、右顶点，点P在椭圆上， 是面积为4的等腰直角三角形，则b= .
18．在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为_________．
19．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为______.
20．设分别为椭圆的右顶点和上顶点，已知椭圆过点，当线段长最小时椭圆的离心率为_______．
21．求适合下列条件的椭圆的标准方程:
（1）焦点分别为(0，-2)，(0，2)，经过点(4，32);
（2）对称轴为坐标轴，经过点P(-6，0)和Q(0，8).
22．已知椭圆C的方程为.
（1）求k的取值范围；
（2）若椭圆C的离心率，求的值.
23．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为椭圆上一点，且，求的面积.
24．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为2．
（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；
（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足，求椭圆C的离心率的取值范围．
25．如图，过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，点和点分别为椭圆的右顶点和上顶点，．
（1）求椭圆的离心率；
（2）过右焦点作一条弦，使，若的面积为，求椭圆的方程．
1．（2019年高考北京卷理数）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则
A．a2=2b2B．3a2=4b2
C．a=2bD．3a=4b
2．（2017浙江）椭圆的离心率是
A．B．
C．D．
3．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
4．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为
A．B．
C．D．
5．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A．B．
C．D．
6．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A．B．
C．D．
7．（2019年高考浙江卷）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．
8．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
9．（2018浙江）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
10．（2019年高考天津卷理数）设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．
11．（2019年高考江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．
已知DF1=．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
变式拓展
1．【答案】D
【解析】设椭圆的长轴长为，焦距为，则，，
由椭圆定义可知，的周长为，，
，∴解得，故选D.
【名师点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查利用椭圆定义求椭圆的焦点三角形问题，在处理椭圆的焦点与椭圆上一点线段（焦半径）问题，一般要充分利用椭圆定义来求解，属于基础题.解题时，由椭圆的定义知的周长为，可求出的值，再结合、、的关系求出的值，即的值.
2．【答案】C
【解析】因为，所以，
又，所以在直角三角形中，，
因为，所以，
所以椭圆的方程为：.
【名师点睛】本题考查焦半径、椭圆的定义、椭圆的标准方程等知识，考查运算求解能力.在直角三角形中利用勾股定理求，再由椭圆的定义求的值.
3．【答案】
【解析】由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，
所以底角小于等于30°，即，
故椭圆的离心率的取值范围是.
故答案为：.
【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆离心率的取值范围的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.求解时，由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，即得椭圆的离心率的取值范围.
专题冲关
1．【答案】B
【解析】由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且，所以，因此，故.所以焦距为2.故选B.
2．【答案】C
【解析】方程表示椭圆，即且，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选C.
【名师点睛】本题考查了椭圆的概念与充要条件的判断，易错点为椭圆中，属于较为基础题.先求得方程表示椭圆的m的取值范围，再利用充分必要条件去判断可得答案.
3．【答案】C
【解析】由椭圆的定义得PF1+PF2=2a=20，
∵|PF1|=6，∴|PF2|=14，
又|OF1|=|OF2|，|MF1|=|PM|，
∴.故选C.
4．【答案】C
【解析】椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，
于，，，可得，，
结合，解得，，
所以所求椭圆方程为：，故选C．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．求解时，利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后写出椭圆方程．
5．【答案】D
【解析】由于椭圆的长轴长是短轴长的倍，即有，
又抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，得椭圆经过点，
若焦点在轴上，则，，椭圆方程为；
若焦点在轴上，则，，椭圆方程为.
∴椭圆的标准方程为或．故选D．
6．【答案】C
【解析】椭圆x2+my2=1的标准方程为.
又