2022-2023学年安徽省宿州市九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年安徽省宿州市九年级上学期数学期中试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 如果两个相似三角形周长的比是，那么它们的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【详解】解：两个相似三角形周长的比是，
这两个相似三角形的相似比是，
这两个相似三角形的面积比是．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．
2. 当锐角A>45°时，sinA的值( )
A. 小于B. 大于C. 小于D. 大于
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：在范围内的值会随着的增大而增大.
时，

故选B.
3. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】∵直线不经过第二象限，
∴，
∵方程，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.
4. 图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可得出俯视图的边长进而得出答案．
【详解】解：∵S主，S左，
∴主视图的长，左视图的长，
则俯视图的两边长分别为：、，
S俯，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了已知三视图求边长，正确得出俯视图的边长是解题关键．
5. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ）
A. B. 2C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
6. 在中，，为边上的高，，，则的长为（ ）
A. 5B. 7
C. 5或7D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中，根据，，求得，然后分情况讨论即可求得的长．
【详解】解：在中，，
如图，当点C在点D右边时
如图，当点C在点D左边时
故的长为5或7
故选：C
【点睛】本题考查解直角三角形以及分类讨论，解题关键是正确画出分类讨论的三角形图形求解．
7. 反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 函数图象分布在第一、三象限
C. 当时，随的增大而增大D. 当时，随的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可．
详解】将点（2,1）代入中，解得：k=2，
A．k=2，此说法正确，不符合题意；
B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；
C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；
D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．
8. 如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴△AEF∽△ACD，
∴，故选项A错误；
∴，
∵，
∴△CEG∽△CAB，
∴，
∴，故选项B错误；，故选项D错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项正确C．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题的关键．
9. 班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】采用树状图法，确定所有可能情况数和满足题意的情况数，最后运用概率公式解答即可.
【详解】解：根据题意列树状图如下：
由上表可知共有12中可能，满足题意的情况数为6种
则，两位同学座位相邻的概率是 .
故选C.
【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图成为解答本题的关键.
10. 如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为3，则（ ）
A. 36B. 18C. 12D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），先确定出D（3，），C（3-t，+t），由点C在反比例函数y=的图象上，推出t=3-，进而求出点B的坐标（3，6-），再点C在反比例函数y=的图象上，整理后，即可得出结论．
【详解】解：连接AC，与BD相交于点P，
设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）．
∴点D的坐标为（3，），
∴点C的坐标为（3-t，+t）．
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴（3-t）（+t）=k2，化简得：t=3-，
∴点B的纵坐标为+2t=+2（3-）=6-，
∴点B的坐标为（3，6-），
∴3×（6-）=，整理，得：+=18．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出，之间的关系．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可）
【答案】AB=BE（答案不唯一）
【解析】
【分析】由题目提供的条件可以得到四边形是平行四边形，再添加一个条件使其成为菱形即可．
【详解】解：添加AB=BE，
∵将沿着方向平移得到，
∴AB=DE，AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB=BE，
∴四边形是菱形，
故答案为：AB=BE（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、平移的性质，证明四边形ABED是平行四边形是解题的关键．
12. 如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是.如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，，，则，，的大小关系为______（用小于号连接）；
【答案】
【解析】
【分析】设A、B、C三个面的面积分别为5S、3S、S，砖块受到的重力为G，根据压强的计算公式和地面受到的压力等于砖块受到的重力分别计算，而后比较即得．
【详解】设A、B、C三个面的面积分别为5S、3S、S，砖块受到的重力为G，
∵地面受到的压力等于砖块受到的重力，
∴A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为：
，，，
∴．
故答案：．
【点睛】本题主要考查了分数的大小比较，解决问题的关键是熟练掌握分子相同的分数的大小比较方法．
13. 在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为，；小刚看错了常数项，得到的解为，．请你写出正确的一元二次方程_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出二元一次方程组求解即可得出答案．
【详解】解：将，代入一元二次方程得，
解得：，
∵小明看错了一次项，
∴c的值为6，
将，代入一元二次方程得，
解得：，
∵小刚看错了常数项，
∴b=-5，
∴一元二次方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
14. 如图，正方形中，，与直线所夹锐角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线与点，作正方形.依此规律，则线段______，线段______；
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】利用正方形的性质和平行线的性质得到每个正方形与直线的夹角都为，根据含有的直角三角形的三边关系得到，利用同样的方法得到，，依次类推，最后根据的指数变化规律即可得到．
【详解】∵在正方形中，，与直线所夹锐角为，
∴，，
∴，，
又∵，，，
∴，
易得，
依次类推，
故答案为：2，
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，直角三角形的边角关系定理，本题是规律型问题，找出各个正方形的边长的数量关系是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 已知是锐角，，求．
【答案】，
【解析】
【分析】根据，设AC=3x，AB=5x（x≠0），根据锐角三家函数的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴在中，设AC=3x，AB=5x（x≠0），则BC=，
∴
故sinA＝，tanA＝．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数以及勾股定理，关键是掌握画出直角三角形，根据锐角三角函数的定义求解．
16. 如图，，，，，．求的长．
【答案】．
【解析】
【分析】先根据相似三角形的判定定理证明三角形相似，再利用相似三角形的性质定理得对应边成比例，求出CD的长.
【详解】∵，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质定理和判定定理，熟练掌握这些知识是解答本题的关键.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要多长时间？
【答案】
【解析】
【分析】根据路程和时间之间的关系，将s=200代入求出t即可．
【详解】∵行驶的路程和时间之间的关系为：，
∴将s=200代入得：，
解得：t1=-10（舍去），t2=．
答：行驶需要．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把s的值代入求解．
18. 如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH.
（1）填空：判断此光源下形成的投影是： 投影.
（2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子.
【答案】（1）中心；（2）如图，线段FI为此光源下所形成的影子. 见解析
【解析】
【分析】（1）根据中心投影的定义“由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影”即可得；
（2）如图（见解析），先通过AB、CD的影子确认光源O的位置，再作立柱EF在光源O下的投影即可.
【详解】（1）由中心投影的定义得：此光线下形成的投影是：中心投影
故答案为：中心；
（2）如图，连接GA、HC，并延长相交于点O，则点O就是光源，再连接OE，并延长与地面相交，交点为I，则FI为立柱EF在此光源下所形成的影子.
【点睛】本题考查了中心投影的定义，根据已知立柱的影子确认光源的位置是解题关键.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E，F分别为边，的中点，连接，，.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）如果，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）要证明四边形是菱形，可根据“四条边相等的四边形是菱形”或“一组邻边相等的平行四边形菱形”进行证明；
（2）根据四边形是菱形可以得出，，结合，可求出长，进而得到的长；又因为E，F分别为边，的中点，根据三角形中位线的性质即可求出线段的长．
【小问1详解】
（1）∵四边形是菱形，∴，
又∵分别是的中点，
∴是△的中位线
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴四边形是菱形.
【小问2详解】
（2）∵菱形，
∴，，
∴，
∴
∵分别是、的中点，
∴
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
20. 某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；
（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案；
（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可．
【详解】解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为，
故答案为：
（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能，
所以：两名同学均来自八年级的概率
【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 直线与双曲线交于、两点，为第三象限内一点．
（1）如图1，若点的坐标为．
①______，点坐标为______．
②不等式的解集为______．
（2）如图2，当为等边三角形时，点的坐标为，试求、之间的关系．
【答案】（1）①；；②或
（2）
【解析】
【分析】（1） ①直接把点坐标代入双曲线解析式即可求出的值，令解方程，继而即可求出点的坐标；②根据图1可知不等式对应的解集；
（2）连接，作轴于点，于点，根据等边三角形的性质，易证，继而可得，用、表示、，继而可得，，即，将点坐标代入中即可求解．
【小问1详解】
①∵点在双曲线上，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
将点代入直线，得：，
∴，
∴直线，
∵点是直线与双曲线交点，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为，
故答案为：；；
②根据图1可知：不等式，对应的解集为：或
故答案为：或；
【小问2详解】
如图2，连接，作轴于点，于点，
∵双曲线和直线都是中心对称图形，它们都关于原点对称，
∴，
又∵为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，，所以，
代入中，得．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数、直角三角形、形似三角形的频道、等边三角形的性质，综合性较强，解题的关键是熟练掌握并运用所学知识点．
七（本题满分12分）
22. 无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空：___________度，___________度；
（2）求楼的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面的高度．
【答案】（1）75；60
（2）米
（3）110米
【解析】
【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求；
（2）在中，求出DE的长度再根据计算即可；
（3）作于点G，交于点F，证明即可．
【小问1详解】
过点A作于点E，
由题意得：
∴
【小问2详解】
由题意得：米，．
在中，，
∴，
∴
∴楼的高度为米．
【小问3详解】
作于点G，交于点F，
则
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（AAS）．
∴．
∴
∴无人机距离地面的高度为110米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知：在矩形中，连接，过点作，交于点，交于点．
（1）如图1，若．
①求证：；
②连接，求证：．
（2）如图2，若，求的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）①根据已知易得，再由可得，即可得，而矩形对边相等，从而可得；
②延长、，交于点．易证B是CG的中点，故中，．再由即可得出结论；
（3）根据可得，再由可得，进而由勾股定理可得，继而得到，再结合即可解题．
【详解】（1）证明：①如图，在矩形中，∠DAB=∠ADC=90°，
∴∠1+∠EDC=90°，
又∵，
∴∠2+∠EDC=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵AB=CD，
∴，
∴．
②证明：如解图2，延长、，交于点．
∵在矩形中，AD//BC,
∴，
在和中，
∴≌，
∴，
故中，．
由（1）可知，
∴，
∴，
（2）∵，，
∴，
又∵∠ADF=∠DCA，
∴，
∴，
在Rt△ADF中，，
∴，
∴，
又∵在矩形中，AB//CD,
∴，
∴．
【点睛】本题综合考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、三角形全等判定和性质、直角三角形性质等；本题综合性强，熟练掌握实数的运算，利用三角函数转换线段比是解题的关键．